2009年广东省高考理科数学试卷及答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集UR，集合{212}Mxx和{21,1,2,}Nxxkk的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A.3个B.2个C.1个D.无穷多个【解析】由{212}Mxx得31x，则3,1NM，有2个，选B.2.设z是复数，()az表示满足1nz的最小正整数n，则对虚数单位i，()aiA.8B.6C.4D.2【解析】()ai1ni，则最小正整数n为4，选C.3.若函数()yfx是函数(0,1)xyaaa且的反函数，其图像经过点(,)aa，则()fxA.2logxB.12logxC.12xD.2x【解析】xxfalog)(，代入(,)aa，解得21a，所以()fx12logx，选B.4.已知等比数列{}na满足0,1,2,nan，且25252(3)nnaan，则当1n时，2123221logloglognaaaw.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.(21)nnB.2(1)nC.2nD.2(1)n【解析】由25252(3)nnaan得nna222，0na，则nna2，3212loglogaa2122)12(31lognnan，选C.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m5.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.①和②B.②和③C.③和④D.②和④【解析】选D.6.一质点受到平面上的三个力123,,FFF（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F，2F成060角，且1F，2F的大小分别为2和4，则3F的大小为w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.6B.2C.25D.27w.w.w.k.s.【解析】28)60180cos(20021222123FFFFF，所以723F，选D.7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.36种B.12种C.18种D.48种【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法24331212ACC；若小张、小赵都入选，则有选法122322AA，共有选法36种，选A.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为vv乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01tt和，下列判断中一定正确的是A.在1t时刻，甲车在乙车前面w.w.w.k.s.5.u.c.o.mB.1t时刻后，甲车在乙车后面C.在0t时刻，两车的位置相同D.0t时刻后，乙车在甲车前面【解析】由图像可知，曲线甲v比乙v在0～0t、0～1t与x轴所围成图形面积大，则在0t、1t时刻，甲车均在乙车前面，选A.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9~12题）9.随机抽取某产品n件，测得其长度分别为12,,,naaa，则图3所示的程序框图输出的s，s表示的样本的数字特征是．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）【解析】snaaan21；平均数10.若平面向量a，b满足1ba，ba平行于x轴，)1,2(b，则a.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】)0,1(ba或)0,1(，则)1,1()1,2()0,1(a或)1,3()1,2()0,1(a.11．巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为．【解析】23e，122a，6a，3b，则所求椭圆方程为193622yx.12．已知离散型随机变量X的分布列如右表．若0EX，1DX，则a，b．【解析】由题知1211cba，061ca，1121211222ca，解得125a，41b.（二）选做题（13~15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）若直线.2,21:1ktytxl（t为参数）与直线2,:12.xslys（s为参数）垂直，则k．【解析】1)2(2k，得1k.14．（不等式选讲选做题）不等式112xx的实数解为．【解析】112xx2302)2()1(022122xxxxxxx且2x.15．（几何证明选讲选做题）如图4，点,,ABC是圆O上的点，且04,45ABACB，则圆O的面积等于．【解析】解法一：连结OA、OB，则090AOB，∵4AB，OBOA，∴22OA，则8)22(2圆S；解法二：222445sin420RR，则8)22(2圆S.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．(本小题满分12分）已知向量)2,(sina与)cos,1(b互相垂直，其中(0,)2．（1）求sin和cos的值；（2）若10sin(),0102，求cos的值．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：（1）∵a与b互相垂直，则0cos2sinba，即cos2sin，代入1cossin22得55cos,552sin，又(0,)2，∴55cos,552sin.（2）∵20，20，∴22，则10103)(sin1)cos(2，∴cos22)sin(sin)cos(cos)](cos[.17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间]50,0[，]100,50(，]150,100(，]200,150(，]250,200(，]300,250(进行分组，得到频率分布直方图如图5.（1）求直方图中x的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.（结果用分数表示．已知7812557，12827，3652182531825791251239125818253，573365）解：（1）由图可知150x365218253(18257509125123150)9125818253，解得18250119x；（2）219)5036525018250119(365；（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为533652195036525018250119，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为52531，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为7812576653)53()52()53()52(116670777CC.18．（本小题满分14分）如图6，已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，点E是正方形11BCCB的中心，点F、G分别是棱111,CDAA的中点．设点11,EGzyxE1G1分别是点E，G在平面11DCCD内的正投影．（1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面11DCCD内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线1FG平面1FEE；（3）求异面直线11EGEA与所成角的正弦值.解：（1）依题作点E、G在平面11DCCD内的正投影1E、1G，则1E、1G分别为1CC、1DD的中点，连结1EE、1EG、ED、1DE，则所求为四棱锥11FGDEE的体积，其底面11FGDE面积为111111EDGRtFGERtFGDESSS221212221，又1EE面11FGDE，11EE，∴323111111EESVFGDEFGDEE.（2）以D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别作x轴，y轴，z轴，得)1,2,0(1E、)1,0,0(1G，又)1,0,2(G，)2,1,0(F，)1,2,1(E，则)1,1,0(1FG，)1,1,1(FE，)1,1,0(1FE，∴01)1(01FEFG，01)1(011FEFG，即FEFG1，11FEFG，又FFEFE1，∴1FG平面1FEE.（3）)0,2,0(11GE，)1,2,1(EA，则62,cos111111EAGEEAGEEAGE，设异面直线11EGEA与所成角为，则33321sin.19．（本小题满分14分）已知曲线2:Cyx与直线:20lxy交于两点(,)AAAxy和(,)BBBxy，且ABxx．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点(,)Pst是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）若曲线22251:24025Gxaxyya与D有公共点，试求a的最小值．解：（1）联立2xy与2xy得2,1BAxx，则AB中点)25,21(Q，设线段PQ的中点M坐标为),(yx，则225,221tysx，即252,212ytxs，又点P在曲线C上，∴2)212(252xy化简可得8112xxy，又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，则22121x，即4541x，∴中点M的轨迹方程为8112xxy（4541x）.（2）曲线22251:24025Gxaxyya，即圆E：2549)2()(22yax，其圆心坐标为)2,(aE，半径57r由图可知，当20a时，曲线22251:24025Gxaxyya与点D有公共点；当0a时，要使曲线22251:24025Gxaxyya与点D有公共点，只需圆心E到直线:20lxy的距离572||2|22|aad，得0527a，则a的最小值为527.20．（本小题满分14分）已知二次函数()ygx的导函数的图像与直线2yx平行，且()ygx在1x处取得极小值1(0)mm．设()()gxfxx．（1）若曲线()yfx上的点P到点(0,2)Q的距离的最小值为2，求m的值；（2）()kkR如何取值时，函数()yfxkx存在零点，并求出零点．W.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：（1）依题可设1)1()(2mxaxg(0a)，则aaxxaxg22)1(2)('；xyoxAxBD又gx的图像与直线2yx平行22a1amxxmxxg21)1()(22，2gxmfxxxx，设,ooPxy，则2002020202)()2(||xmxxyxPQmmmmmxmx2||2222222