(整理)导数的概念及导数的几何意义.

精品文档精品文档高等数学教案课型：讲授章节第二章导数与微分第一节导数及其运算1·导数的概念及导数的几何意义教学目的：1、理解导数定义，能够运用定义求解简单函数的导数2、了解导数的几何意义，会求曲线在某点的切线和法线方程3、掌握可导与连续的关系，判别函数在某点的可导性与连续性教学重点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学难点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学过程：1、简介微积分的组成，微分与积分的区别2、引入导数概念3、给出导数定义（1）函数在某点导数的定义（2）函数在某区间导数的定义（3）单侧导数的定义4、求导数举例5、导数的几何意义6、求切线和法线方程举例7、可导与连续的关系8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性9、课堂小结10、布置作业精品文档精品文档§1导数及其运算一、导数的概念1、导数的引入设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻t质点的坐标为ss是t的函数sf(t)求动点在时刻t0的速度考虑比值0000)()(tttftfttss这个比值可认为是动点在时间间隔tt0内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令tt00取比值00)()(tttftf的极限如果这个极限存在设为v即00)()(lim0tttftfvtt这时就把这个极限值v称为动点在时刻t0的速度2、导数的定义从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限00)()(lim0xxxfxfxx令xxx0则yf(x0x)f(x0)f(x)f(x0)xx0相当于x0于是00)()(lim0xxxfxfxx成为xyx0lim或xxfxxfx)()(lim000导数的定义设函数yf(x)在点x0及其近旁有定义当自变量x在x0处取得增量x时相应地函数y取得增量yf(x0x)f(x0)，如果当x0时，xy的极限存在则称这个极限为函数yf(x)在点x0处的导数记作,0()fx即xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000也可记作0|xxy0xxdxdy或0)(xxdxxdf函数f(x)在点x0处有导数（即极限xyx0lim存在），有时也说成f(x)在点x0可导如果极限xyx0lim不存在就说函数yf(x)在点x0处不可导如果不可导的原因是由于x0时精品文档精品文档xy也往往说函数yf(x)在点x0处的导数为无穷大导数的定义式也可取不同的形式常见的有hxfhxfxfh)()(lim)(0000000)()(lim)(0xxxfxfxfxx在实际中需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题在数学上就是所谓函数的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述如果函数yf(x)在开区间（a，b）内的每一点都可导就称函数y=f(x)在开区间（a，b）内可导这时对于开区间（a，b）内的任一点x都对应着一个确定的导数,()fx这样就构成了一个以（a，b）为定义域的新函数这个新函数叫做原来函数f(x)的导函数简称导数，记作)(xfydxdy或dxxdf)(即)(xf=xyx0lim或xxfxxfx)()(lim000f(x0)与f(x)之间的关系函数f(x)在点x0处的导数f(x)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值即0)()(0xxxfxf导函数f(x)简称导数而f(x0)是f(x)在x0处的导数或导数f(x)在x0处的值左右导数所列极限存在则定义f(x)在0x的左导数0,()fx=lim0x00()()fxxfxxf(x)在0x的右导数0,()fx=lim0x00()()fxxfxx.左导数和右导数统称为单侧导数.导数与左右导数的关系函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数左导数f(x0)和右导数f(x0)都存在且相等如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导且右导数f(a)和左导数f(b)都存在就说f(x)有闭区间[a,b]上可导3、求导数举例例1．求函数f(x)C（C为常数）的导数解hxfhxfxfh)()(lim)(00lim0hCCh即(C)0精品文档精品文档例2求xxf1)(的导数解hxhxhxfhxfxfhh11lim)()(lim)(002001)(1lim)(limxxhxxhxhhhh例3求xxf)(的导数解hxhxhxfhxfxfhh00lim)()(lim)(xxhxxhxhhhh211lim)(lim00例2．求函数f(x)xn(n为正整数)在xa处的导数解f(a)axafxfax)()(limaxaxnnaxlimaxlim(xn1axn2an1)nan1把以上结果中的a换成x得f(x)nxn1即(xn)nxn1(C)021)1(xxxx21)(1)(xx更一般地有(x)x1其中为常数例3．求函数f(x)sinx的导数解f(x)hxfhxfh)()(lim0hxhxhsin)sin(lim02sin)2cos(21lim0hhxhhxhhhxhcos22sin)2cos(lim0即(sinx)cosx用类似的方法可求得(cosx)sinx例4．求函数f(x)ax(a0a1)的导数解f(x)hxfhxfh)()(lim0haaxhxh0limhaahhx1lim0tah1令)1(loglim0ttaatxaaeaxaxlnlog1特别地有(ex)ex例5．求函数f(x)logax(a0a1)的导数解hxhxhxfhxfxfaahhlog)(loglim)()(lim)(00hxahahahxhxxhhxxxhxh)1(loglim1)1(loglim1)(log1lim000精品文档精品文档axexaln1log1解hxhxxfaahlog)(loglim)(0)1(log1lim0xhhahhxahxhx)1(loglim10axexaln1log1即axxaln1)(log特殊地xx1)(lnaxxaln1)(logxx1)(ln例6．求函数f(x)x|在x0处的导数解1||lim)0()0(lim)0(00hhhfhffhh1||lim)0()0(lim)0(00hhhfhffhh因为f(0)f(0)所以函数f(x)|x|在x0处不可导二、导数的几何意义设有曲线C及C上的一点M在点M外另取C上一点N作割线MN当点N沿曲线C趋于点M时如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线设曲线C就是函数yf(x)的图形现在要确定曲线在点M(x0,y0)(y0f(x0))处的切线只要定出切线的斜率就行了为此在点M外另取C上一点N(x,y)于是割线MN的斜率为0000)()(tanxxxfxfxxyy其中为割线MN的倾角当点N沿曲线C趋于点M时xx0如果当x0时上式的极限存在设为k即00)()(lim0xxxfxfkxx存在则此极限k是割线斜率的极限也就是切线的斜率这里ktan其中是切线MT的倾角于是通过点M(x0,f(x0))且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)在几何上表示曲线yf(x)在点M(x0,f(x0))处的切线的斜率即f(x0)tan其中是切线的倾角如果yf(x)在点x0处的导数为无穷大这时曲线yf(x)的割线以垂直于x轴的直线xx0为极限位置即曲线yf(x)在点M(x0,f(x0))处具有垂直于x轴的切线xx0由直线的点斜式方程可知曲线yf(x)在点M(x0,y0)处的切线方程为精品文档精品文档yy0f(x0)(xx0)过切点M(x0,y0)且与切线垂直的直线叫做曲线yf(x)在点M处的法线如果f(x0)0法线的斜率为)(10xf从而法线方程为)()(1000xxxfyy例8求等边双曲线xy1在点)2,21(处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程解21xy所求切线及法线的斜率分别为4)1(2121xxk41112kk所求切线方程为)21(42xy即4xy40所求法线方程为)21(412xy即2x8y150例9求曲线xxy的通过点(04)的切线方程解设切点的横坐标为x0则切线的斜率为0212302323)()(0xxxxfxx于是所求切线的方程可设为)(230000xxxxxy根据题目要求点(04)在切线上因此)0(2340000xxxx解之得x04于是所求切线的方程为)4(42344xy即3xy40三、函数的可导性与连续性的关系定理1如果函数yf(x)在点x处可导则函数在该点必连续设函数yf(x)在点x0处可导即)(lim00xfxyx存在则00)(limlimlimlim00000xfxxyxxyyxxxx精品文档精品文档这就是说函数yf(x)在点x0处是连续的另一方面一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例7．函数3)(xxf在区间(,)内连续但在点x0处不可导这是因为函数在点x0处导数为无穷大hfhfh)0()0(lim0hhh0lim30x