2007年广东高考理科数学试题及答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式shV31，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。如果事件A、B互斥，那么)()()(BPAPBAP.如果事件A、B相互独立，那么()()()PABPAPB.用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221,niiiniixynxybaybxxnx.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.1.已知函数xxf11)(的定义域为M，)1ln()(xxg的定义域为N，则NMA.1xxB.1xxC.11xxD.2.若复数)2)(1(ibi是纯虚数（i是虚数单位，b是实数）则b＝A.2B.21C.21D.23.若函数21()sin(),()2fxxxRfx则是A.最小正周期为2的奇函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为2的偶函数D.最小正周期为的偶函数4.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是ABCD5.已知数|an|的前n项和29nSnn，第k项满足58ka,则kA.9B.8C.7D.66.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、…、A10（如A2表示身高（单位：cm）（150，155）内的学生人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A.i6B.i7C.i8D.i97.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为A.15B.16C.17D.188.设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的,abS，对于有序元素对(,)ab,在S中有唯一确定的元素a﹡b与之对应）.若对任意的,abS,有a﹡(b﹡)ab,则对任意的,abS,下列等式中不．恒成立的是A.(a﹡b)﹡aaB.[a﹡(b﹡)a]﹡(a﹡b)aC.b﹡(b﹡b)bD.(a﹡b)﹡[b﹡(a﹡b)b二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分.9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为.（答案用分数表示）10.若向量,ab满足1,aba与b的夹角为120°，则aaab.11.在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线22(0)ypxp的焦点，则该抛物线的准线方程是.12.如果一个凸多面体n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条.这些直线中共有)(nf对异面直线，则)4(f＝图4;)(nf＝.（答案用数字或n的解析式表示）13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为33xtyt，(参数tR),圆C的参数方程为2cos2sin2xy(参数02，)，则圆C的圆心坐标为，圆心到直线l的距离为.14.（不等式选讲选做题）设函数)2(,312)(fxxxf则＝;若2)(xf，则x的取值范围是.15.（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆O的直径6AB，C为圆周上一点，3BC，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC＝，线段AE的长为.图5三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知△ABC顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(cCBA、、.（1）若5c，求sin∠A的值;（2）若∠A是钝角，求c的取值范围.17.(本题满分12分)下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.x3456y2.5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=axb;（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5）18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C与直线yx相切于坐标原点O.椭圆9222yax＝1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.（1）求圆C的方程.（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分14分）如图6所示，等腰△ABC的底边AB=66,高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记BExV(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.（1）求V(x)的表达式；（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？(3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值20.（本小题满分14分）已知a是实数，函数2()223.fxaxxa如果函数()yfx在区间[1,1]上有零点，求a的取值范围.21.（本小题满分14分）已知函数2()1,fxxx、是方程()0fx的两个根(),()fx是()fx的导数.设11()1,(1,2,)()nnnnfaaaanfa,(1)求、的值；(2)证明：对任意的正整数n，都有na;(3)记ln(1,2,)nnnabna,求数列{}nb的前n项和nS.参考答案一.CADBBCBA二.9.1910.1211.54x12.22nn,12,(1)(2)2nnn13.(0,2),2214.6,[1,1]15.30,3三.解答题16.(1)解:25AC,设AC中点为M,则525cossin55AMAAAB;(2)解:(3,4),(3,4)ACcAB,若A是钝角,则253(3)1603ACABcc.17.解:(1)散点图略(2)4166.5iiiXY4222221345686iiX4.5X3.5Y266.544.53.566.563ˆ0.78644.58681b;ˆˆ3.50.74.50.35aYbX所求的回归方程为0.70.35yx(3)100x,1000.70.3570.35y吨,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65(吨)18.解:(1)设圆C的圆心为(,)mn则,0,0222mnmnmn解得22mn所求的圆的方程为22(2)(2)8xy(2)由已知可得210a5a椭圆的方程为221259xy,右焦点为(4,0)F.设存在点(,)QxyC满足条件,则2222(2)(2)8(4)16xyxy解得412(,)55Q故存在符合要求的点412(,)55Q.19.解:(1)11(96)(036)326xVxxx即363636Vxx(036)x;(2)226636(36)1212Vxx,(0,6)x时,0;V(6,36)x时,0;V6x时()Vx取得最大值.(3)以E为空间坐标原点,直线EF为x轴,直线EB为y轴,直线EP为z轴建立空间直角坐标系,则(0,666,0),(3,636,0),(3,36,0)ACAC;(0,0,6),(6,0,0)(6,0,6)PFPF,设异面直线AC与PF夹角是361cos7376720.解:若0a,则()23fxx有唯一零点为3[1,1]2,故0a不符合要求;由2()2230fxaxxa2232(21)32(21)xaxxax,[1,1]x且22x.由2222(261)(21)xxxax当22610xx时,137[1,1],2x23712x,当122[1,),(,)22xx时,0a,a在两个区间上分别递增;当122(,),(,1]22xx时,0a,a在两个区间上分别递减;由1x时,5,a1x时,1a,1372x时,372aPzyxDFECBA37(,][1,)2a分析如图:解法二:若0a,()23fxx,显然在上没有零点,所以0a令248382440aaaa得372a当372a时,yfx恰有一个零点在1,1上;当11150ffaa即15a时,yfx也恰有一个零点在1,1上;当yfx在1,1上有两个零点时,则208244011121010aaaaff或208244011121010aaaaff解得5a或372a因此a的取值范围是372a或;1a21解:(1)由210xx得152x152152(2)(数学归纳法)①当1n时,1511,2a命题成立;②假设当*(1,)nkkkN时命题成立,即51,2ka21511151822121221622kkkkkaaaaa,又等号成立时51,2ka512ka时,1ka1nk时命题成立;由①②知对任意*nN均有na.(3)()21fxx221112121nnnnnnnaaaaaaa1na22221()(1)()212121nnnnnnaaaaaa同理1na2()21nnaa21111()ln2lnnnnnnnnnaaaaaaaa