导数的概念及其几何意义

让每一个学生享受优质教育细心用心专心11．函数的概念？设AB、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数(fx）和它对应，那么就称:fAB为从集合A到集合B的一个函数．记作：(,yfxxA）．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合(fxxA）}叫做函数的值域．2．判断函数的单调性有哪几种方法？定义法、图象法、复合函数的单调性结论：“同增异减”等.一、导数的概念1．函数的平均变化率：一般地，已知函数()yfx，0x，1x是其定义域内不同的两点，记10xxx，10yyy10()()fxfx00()()fxxfx，则当0x时，商00()()fxxfxyxx称作函数()yfx在区间00[,]xxx（或00[,]xxx）的平均变化率．注：这里x，y可为正值，也可为负值．但0x，y可以为0．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()yfx在0x附近有定义，当自变量在0xx附近改变量为x时，函数值相应的改变00()()yfxxfx．如果当x趋近于0时，平均变化率00()()fxxfxyxx趋近于一个常数l（也就是说平均变化率与某个常数l的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l称为函数()fx在点0x的瞬时变化率．“当x趋近于零时，00()()fxxfxx趋近于常数l”可以用符号“”记作：“当0x时，00()()fxxfxlx”，或记作“000()()limxfxxfxlx”，符号“”读作“趋近于”．函数在0x的瞬时变化率，通常称为()fx在0xx处的导数，并记作0()fx．这时又称()fx在0xx处是可导的．于是上述变化过程，可以记作导数的概念及其几何意义知识讲解知识回顾每一个学生享受优质教育细心用心专心2“当0x时，000()()()fxxfxfxx”或“0000()()lim()xfxxfxfxx”．3．可导与导函数：如果()fx在开区间(,)ab内每一点都是可导的，则称()fx在区间(,)ab可导．这样，对开区间(,)ab内每个值x，都对应一个确定的导数()fx．于是，在区间(,)ab内，()fx构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()yfx的导函数．记为()fx或y（或xy）．导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．二、导数的几何意义1.导数的几何意义：设函数()yfx的图象如图所示．AB为过点00(,())Axfx与00(,())Bxxfxx的一条割线．由此割线的斜率是00()()fxxfxyxx，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线过点A的切线，即000()()limxfxxfxx切线AD的斜率．由导数意义可知，曲线()yfx过点00(,())xfx的切线的斜率等于0()fx．2.求曲线的切线方程若曲线()yfx在点00(,)Pxy及其附近有意义，给横坐标0x一个增量x，相应的纵坐标也有一个增量00()()yfxxfx，对应的点00(,)Qxxyy.则PQ为曲线()yfx的割线.当0x时QP,如果割线PQ趋近于一确定的直线，则这条确定的直线即为曲线的切线.当然，此时割线PQ的斜率yx就趋近于切线的斜率.切线的方程为00()yykxx.题型一、导数的概念【例1】如图，函数()fx的图象是折线段ABC，其中ABC，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))ff；函数()fx在1x处的导数(1)f．1234654321BCAOyxx0xyxODCBA让每一个学生享受优质教育细心用心专心3【例2】求函数21yx在0x到0xx之间的平均变化率．【例3】求函数2()fxxx在1x附近的平均变化率，在1x处的瞬时变化率与导数．【例4】求yx在0xx处的导数．每一个学生享受优质教育细心用心专心4题型二、导数的几何意义【例5】已知曲线1yxx上一点(12)A，，用斜率定义求：⑴过点A的切线的斜率；⑵过点A的切线方程．【例6】函数()fx的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A．0(2)(3)(3)(2)ffffB．0(3)(3)(2)(2)ffffC．0(3)(2)(3)(2)ffffD．0(3)(2)(2)(3)ffff【例7】求函数()afxaxx(0)a的图象上过点A2(1)aa，的切线方程．Oyx321让每一个学生享受优质教育细心用心专心5题型三、综合问题【例8】已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为()A．3B．－3C．5D．－5【例9】曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2【例10】设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝()A．1B.12C．－12D．－1【例11】若函数f(x)＝－13x3＋12f′(1)x2－f′(2)x＋5，则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线l的方程为________．【例12】已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1(π2)＋f2(π2)＋…＋f2012(π2)＝________.【例13】曲线C：f(x)＝sinx＋ex＋2在x＝0处的切线方程为________．【例14】已知直线y＝kx与曲线y＝lnx有公共点，则k的最大值为________．【例15】设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是________．【例16】曲线C：f(x)＝sinx＋ex＋2在x＝0处的切线方程为________．【例17】若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为（）A．430xyB．450xyC．430xyD．430xy【例18】设P为曲线C：21yxx上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[13]，，则点P纵坐标的取值范围是_______．【例19】若存在过点(10)，的直线与曲线3yx和21594yaxx都相切，则a等于（）A．1或2564B．1或214C．74或2564D．74或7【例20】已知函数21()()5gxfxx的图象在P点处的切线方程为8yx，又P点的横坐标为5，则(5)(5)ff________．每一个学生享受优质教育细心用心专心6【例21】⑴曲线32242yxxx在点(13)，处的切线方程是____．⑵曲线32242yxxx过点(13)，的切线方程是_________．【例22】已知曲线31433yx，则过点(24)P，的切线方程是_______．【例23】已知曲线s：33yxx及点(22)P，，则过点P可向s引切线的条数为_____．【例24】曲线1yx和2yx在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是______．【例25】已知直线y＝kx与曲线y＝lnx有公共点，则k的最大值为________．【例26】偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．【例27】设有抛物线C：y＝－x2＋92x－4，通过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．【例28】已知曲线32yxx在点0P处的切线1l平行直线410xy，且点0P在第三象限，⑴求0P的坐标；⑵若直线1ll，且l也过切点0P，求直线l的方程．让每一个学生享受优质教育细心用心专心7【例29】已知函数32()cfxxbxxd的图象过点(02)P，，且在点(1(1))Mf，处的切线方程为670xy．求函数()yfx的解析式．【例30】已知直线1l为曲线22yxx在点(10)，处的切线，2l为该曲线的另一条切线，且12ll，（1）求直线2l的方程；（2）求由直线1l、2l和x轴所围成的三角形的面积．【练1】函数2()21fxx在闭区间[11]x，内的平均变化率为（）A．12xB．2xC．32xD．42x【练2】曲线324yxx在点(13)，处的切线的倾斜角为（）A．30B．45C．60D．120【练3】过点(11)，作曲线3yx的切线，则切线方程为__________．【练4】已知函数32()(1)(2)fxxaxaaxb()abR，．若函数()fx的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a，b的值．【练5】已知曲线C：4323294yxxx，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程．随堂练习每一个学生享受优质教育细心用心专心8【练6】已知曲线y＝16x2－1与y＝1＋x3在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值．【题1】若函数2()fxx，则当1x时，函数的瞬时变化率为（）A．1B．1C．2D．2【题2】已知曲线1yxx上一点522A，，用斜率定义求：⑴过点A的切线的斜率；⑵过点A的切线方程．【题3】设函数()bfxaxx，曲线()yfx在点(2(2))f，处的切线方程为74120xy．⑴求()yfx的解析式；⑵证明：曲线()yfx上任一点处的切线与直线0x和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值．课后作业