随机事件及概率

2020/2/151内容回顾1.概率论中的基本概念：样本点，样本空间，随机事件2.随机事件的四种关系和三种运算以及运算定律3.事件的统计性规律4.概率的公理化定义：非负性，规范性，可加性5.概率的四条性质2020/2/152第四节古典概型古典概型:假定随机试验满足1有限性试验的基本事件只有有限个；2.等可能性任一基本事件发生的可能性大小相同,则称其为古典概率模型简称古典概型.,N定义对于古典概型,如果样本空间的基本事件总数是而,AMA事件包含的基本事件数是则事件发生的概率():PA定义为.这个定义称为概率的古典定义()MPAN2020/2/153预备知识：n21mmmM1.加法原理：完成1件事，有n类办法.在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法，……在第n类中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有2.乘法原理：完成1件事，需要分成n个步骤.做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有n21mmmN2020/2/1543.排列：从n个不同元素中（按不放回方式）取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为(1)(1)mnAnnnm4.组合：从n个不同元素中（按不放回方式）取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记为(1)(1)!mnnnnmCmnm2020/2/155每个盒子至多装一只球，则第一只球共有N种装法，第二只球有N-1种装法，……，第n只球有N-n+1种，故N(A)=N(N-1)…(N-n+1),于是解：设A为每个盒子至多装一只球，将n只球随机地装入N个盒子中去，问每个盒子至多装一只球的概率（设盒子容量不限,n≤N）.例1.nNNNNn只球随机地装入N个盒子共有nNnNNNAP)1()1()(2020/2/156事件A的取法共有种，于是所求概率为不放回地抽取15件样品共有种取法，设事件A表示“取出的15件样品中恰有2件次品”,251395CC解：1377.0)(15100251395CCCAP例2.设一批产品共100件,其中共有95件正品和5件次品,从中任取15件，求其中恰有2件次品的概率。15100C2020/2/157例3.袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一只球，(1)作放回抽样；(2)作不放回抽样求第i(i=1,2,…,)人取到白球(记为事件B)的概率（设k≤a+b）.2020/2/158第五节条件概率条件概率是概率论中的一个重要概念，什么是条件概率？同时，我们将发现它也是用来计算复杂模型中概率的重要工具。2020/2/15101011010引例：张彩票中只有张中奖票，人同时摸这张彩票，1==AB张三和李四各有张，记张三中奖，李四中奖，则()PA110()PBB若李四先刮开奖票，并且李四中奖了，即发生，此时()PA0此时的概率我们记作()0;PABB若李四先刮开奖票，并且李四没有中奖，即发生，此时()PA19此时的概率我们记作1();9PABBA由此可见，事件发生与否影响了事件发生的概率显然，()()()PAPABPAB例掷一骰子一次，设事件A为得到奇数点，事件B为点数小于等于3。若已知点数小于等于3，求其为奇数点的概率。事件B事件A32P(AB)2/62P(B),P(AB),P(A|B)66P(B)3/63解设A={得到奇数点}，B={点数小于等于3}样本空间缩减为B32)|(BAP2020/2/15122.条件概率的定义为事件B已发生的条件下事件A发生的条件概率.)()()|(BPABPBAP设A与B是E的随机事件,若P(B)0,则称()0,PABA同理，若也可定义事件在已经发生条件下的条件概率：()PBA()()PABPA可验证条件概率符合三个假设，亦是概率，具有概率的一切性质.2020/2/1513BASamplespaceReducedsamplespacegiveneventBAB条件概率P(A|B)的样本空间()PAB(|)PAB条件概率也是概率,故具有概率的性质：0)(ABP1)(AP11iiiiABPABP非负性归一性可加性)()()()(212121ABBPABPABPABBP)(1)(ABPABP)()()(21121ABBPABPABBP2020/2/1517二、概率乘法公式);|()()(BAPBPABP).|()()(ABPAPABP概率的乘法定理：对事件A和B，若P(B)0,则或若P(A)0,则乘法公式还可推广到三个事件的情形：P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).一般地，有下列公式：P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).2020/2/1518(2)求这件次品在第3次检验时得到的概率。1件次品与4件正品混在了一起，需要逐个进行检验将次品找出来。（1）求至少需要检验3次才能找出这件次品的概率；例.)()1(AP)(21BBP54解：设A表示至少需要检验3次才能找出这件次品Bi表示“第i次检验时得到正品”,)()2(321BBBP)|()|()(213121BBBPBBPBP542.06.0434331)|()(121BBPBP2020/2/1519A12,,nSBBBn设样本空间为，是个两两互不相容事件，且12nBBBS，也即12+++nBBBS，,()0,iiPB其中.iB则称为一个完备事件组或者说样本空间的划分,A则对于任一随机事件有AAS12()nABBB()ABCABAC事件分配律12nABABAB12nABABAB三、全概率公式与贝叶斯公式B1B2B3…Bi…Bn2020/2/152012nAABABAB()PA12()nPABABAB和的概率等于概率的和12=()()()nPABPABPAB由概率乘法公式这就是全概率公式.如图AB1B2B3…Bi…Bn化整为零各个击破1122=()(|)()(|)()(|)nnPBPABPBPABPBPAB2020/2/1521例.甲、乙两家工厂生产某型号车床，其中次品率分别为20%,5%。已知每月甲厂生产的数量是乙厂的两倍，现从一个月的产品中任意抽检一件，求该件产品为合格的概率？则()PA23解：设A表示产品合格，B表示产品来自甲厂()PB()PAB()()PBPAB4513192051602020/2/1522进一步考虑下列问题，如果抽检的确实件次品，那么该件产品究竟是由哪个厂家生产的呢？8(|)=9PBA以上这类问题在医药领域相当重要，显然，甲的可能性要大得多，因为甲产量多，次品率也高。实际上因为人们常常需要从诊断的结果来寻找真正的原因。2020/2/1523贝叶斯公式(或逆概率公式),)|(ABPi)()(APABPi)|()(iiBAPBPnjjjBAPBP1)|()(ni,,2,1AB1B2B3…Bi…Bn12,,,,nBBB如果事件组是S的一个划分则2020/2/1526行刺美国总统里根案1981年3月30日，美国总统里根在华盛顿希尔顿饭店召开一次劳工集会上发表演讲后遭到枪击胸部受伤，同行的白宫新闻秘书詹姆斯.布雷迪、一名华盛顿当地警察及一名联邦特工也在枪击中受伤。行刺的枪手是25岁的科罗拉多州失业青年Hinckley。1982年审判他时，Hinckley以精神病为理由作为其无罪的辩护。在18个医师中作证的医师Danial，他告诉法院当给被诊断为精神分裂症的人以CAT扫描时，扫描显示30%的案例为脑萎缩，而给正常人以CAT扫描时，只有2%的扫描显示脑萎缩。Hinckley的辩护律师试图拿他的扫描结果为依据，争辩说因Hinckley的扫描展示了脑萎缩，他极有可能患有精神病，从而免于收到法院的起诉。2020/2/1527行刺美国总统里根案,3.0)|(ABP;02.0)|(ABP,01.0)(AP案例分析：令A=｛该人是精神病患者},B=｛该人CAT扫描为脑萎缩｝，根据医学资料知一个国家所以人群中，得精神病的比例比较低因Hinckley已扫描为脑萎缩，要判断他是精神病人的概率多大，即计算P（A|B）)|(BAP)|()()|()()|()(ABPAPABPAPABPAP02.099.030.001.030.001.01316.0根据贝叶斯公式2020/2/1528肝癌普查问题,94.0)|(ABP;04.0)|(ABP,0004.0)(AP甲胎蛋白免疫检测法(简称AFP法)被普遍应用于肝癌的普查和诊断。设A={肝癌患者},B={AFP检验反应为阳性};由过去的资料已知：假阳性率又已知在人群中肝癌的发病率为今有一人AFP检测为阳性,现问该人患肝癌的可能性有多大？真阳性率解：)|()()|()()(ABPAPABPAPBP由全概率公式知04036.004.09996.094.00004.0)|(BAP)|()()|()()|()(ABPAPABPAPABPAP04036.094.00004.0%93.02020/2/15292020/2/1529第六节随机事件的独立性一、事件相互独立1.问题的引入设A，B是试验E的两事件，)()()|(BPABPBAP现比较P(A|B)与P(A).一般地,P(A|B)≠P(A).只有B的发生对A发生的概率无影响，才会有P(A|B)=P(A),若P(B)0，可定义这时有)(ABP)(BP)(BP)|(BAP)(AP2020/2/15302020/2/1530对任意两个随机事件A与B,则称事件A与事件B相互独立(简称为独立).P()P()P()ABAB若2.两事件的独立定义.容易证明，若P(A)0,P(B)0,则A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立的.注：独立与互不相容的关系2020/2/15312020/2/1531定理1若事件A与B相互独立，且P(B)0,则BA与定理2若事件A与B相互独立，BA与也相互独立.则下列各对事件BA与P(A|B)=P(A).反之亦然.推论：若这四对事件中,只要有一对独立，则其余三对也独立.BABABABA,;,;,;,证明2020/2/15332020/2/1533例2:一个均匀的正四面体,其第一面染成红色，第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以A,B,C分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问A，B，C是否两两独立?并验证P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立？解:由于在四面体中红、白、黑分别出现两面,因此,21)()()(CPBPAP又由题意知,41)(ABP伯恩斯坦反例)(BCP)(ACP2020/2/15342020/2/1534故有,41)()()(,41)()()(,41)()()(CPAPACPCPBPBCPBPAPABP则三事件A,B,C两两独立.且)(ABCP8141)()()(CPBPAP2020/2/15352020/2/15353.多个事件的独立性定义2.设三个事件A、B、C，如果满足下述等式P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A、B、C相互独立.注：3个事件相互独立3个事件两两独立（两两独立）2020/2/15362020/2/1536n个事件的独立性nnnnCCC3201)11(nnnCC),3(,,,21nAAAn设有n个事件若其中任意k个事件),2(,,,21nkAAAk