平面向量数乘运算

2.2平面向量的线性运算——数与向量的乘法复习1:向量的加法BA如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.bao.O.Ca+bbaABba+ba复习2:向量的减法o.BAa-b如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.aba-bo.BAab练习1：有一边长为１的正方形ABCD，设,aABcACbBC,求：cba1cba3cba2ＤＣＡＢbacEOFGDBc2、判断题：（1）相反向量就是方向相反的向量（2）（3）（4）在△ABC中，必有（5）若，则A、B、C三点必是一个三角形的三个顶点。0BAABOBOAAB0CABCAB0CABCAB（错）（对）（错）（错）（对）3、选择题：（1）在△ABC中，，则等于（）bCAaBC,AB)()(baBbaA)(baC)(abD)(0)(dcbaD（2）如图，已知且四边形ABCD为平行四边形，则（）0)(dcbaB0)(dcbaA,,,,dODcOCbOBaOA0)(dcbaCOBADCBBCAAD)1(4、填空题：DCCBAB)2(CDBDACAB)3(CDAD0实际背景在物理中：位移与速度的关系：s=vt，力与加速度的关系：f=ma.其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量=a3ABCDa++aaaa(-)(-)(-)a3-ABCDaaa++＝练习1:OAPB探究:相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？-a如图,已知向量a,作向量a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)..aa-aaa-aOA=a+a+aPB=(-a)+(-a))+(-a)=3a=-3a-a定义:特别地，当λ=0或a=0时,λa=0(2)方向当λ0时,λa的方向与a方向相同；当λ0时,λa的方向与a方向相反；(1)长度|λa|=|λ|·|a|一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa。它的长度和方向规定如下：几何意义：将的长度扩大（或缩小）倍，改变（不改变）的方向，就得到了λa|λ|aa数乘向量的几何意义就是把向量沿的方向或反方向放大或缩短.若,当沿的方向放大了倍.当沿的方向缩短了倍.当,沿的反方向放大了倍.当沿的反方向缩短了倍.由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问题.0a时，1时，〈〈10时1a时，〈〈01aaaaaa练习2:结论:2a+2b=2(a+b)结论:3(2a)=6a(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a≠0)，并比较。abbaba22a2b2(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并比较。a)2(3a)2(3aa6=三、向量的数乘运算满足如下运算律：)();()1(2)(3);().aaaaaabab，是实数，）（（aaabab特别地:（）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算解:(1)原式=(2)原式=(3)原式=(3-2-1)a+(3+2)b=5b(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c=-a+5b-2c-12a向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意的向量a,b以及任意实数λ,μ,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b））（）（计算：例cbacbaababaa23()32()3()(2)(3)2(431.1如图:ABCD的两条对角线交于点M,且,试求bADaAB,.,,,MDMCMBMAADBMC思考:当a与b同方向时，有b=μa;当a与b反方向时，有b=-μa，所以始终有一个实数λ，使b=λa。1、如果b=λa,那么，向量a与b是否共线？2、如果非零向量a与b共线，那么是否有λ，使b=λa？对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得b=λa,那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长度的μ倍，即有|b|=μ|a|,且则情况会怎样？若）（）为什么规定思考：（,0201ba向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ，使得b=λa.定理:例2关系与说明均为非零向量，设）已知（abeebeeaee,101,524,1212121BCABbaOCbaOBbaOAba//:3,3,2,2求证是非零不共线向量与）（三点共线、、证明设是非零不共线向量与）（CBAbaOCbOBaOAba:23,,,3）证明三点共线方法（41)(,,.3nmPNMbabaOPbnONamOM求证：共线时，、、，当不共线与例的含义：）（aa3小结回顾:二、知识应用：1.证明向量共线；2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线；3.证明两直线平行:AB=λCDAB∥CDAB、CD不重合直线AB∥直线CD一、概念与定理①λa的定义及运算律②向量共线定理(a≠0)b=λa向量a与b共线例3：如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M、N、C三点共线。31ADBCMN提示：设AB=aBC=b则MN=…=a+b6131MC=…=a+b21基础知识反馈aaC.的方向相反与aaA.的方向相同与aa2B.(2).设是非零向量,是非零实数,下列结论正确的是().aaD.a(1).下列四个说法正确的个数有().B.2个A.1个C.3个D.4个;bmambambam）（，恒有、和向量对于实数;),(baRmbmam则有若;,0),(nmaRnmanam则有、若;)(anamanmanm，恒有和向量、对于实数BC例4:若其中,是已知向量,求，分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得aanm23bnm3bam112113解：记①，②bnm3933②得③,113111ban①-③得abybax5152,5152anm23bnm3bmn例5如图所示，已知说明向量与的关系．,3'OAOA,3''ABBAOB'OB解：因为''''BAOAOBABOA33)(3ABOAOB3所以，与共线同方向，长度是的3倍OB'OBOBoAB'B'A问题:如果把3都换成k(不为0),结论会有什么变化?反馈演练：1.在中,设D为边ＢＣ的中点,求证:ABC)(21)1(ACABADADCABCAB223)2(ＡＢＣＤ解：因为BDABADBCAB21)(21ABACAB)(21BCAB（２）CABCABAB22原式左边CAACAB2右边ADACAB2所以，所证等式成立ＡＢＣＤE过点B作BE,使ACBE连接CE则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中点，则D也是AE中点.由向量加法平行四边形法则有ADAEACAB2)(21ACABAD解2:例6:如图，在中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取点D,使BD=OB.DC与OA交于E,设请用.OAB31，，bOBaOADCOCba，表示向量，ECODBA分析:解题的关键是建立的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。baODOC，与,解：因为A是BC的中点，所以.22),(21baOBOAOCOCOBOA即babbaOBOCODOCDC35232232ab,,31bACaABBCBDBCABCD，设边上一点，且中是等于则AD（C）)(31.baA)(31.abB)2(31.baC)2(31.abDNCANbADaAB3,,分析:由所以在平行四边形ABCD中,,M为BC的中点,则等于＿＿＿＿＿＿MN,21,334,3baAMbaACANNCAN）（得bababaMN4141)21()(43ba4141(1)(2)ABCD二、定理的应用：1.证明向量共线2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线3.证明两直线平行:AB=λCDAB∥CDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CD课堂小结：一、①λa的定义及运算律②向量共线定理(a≠0)b=λa向量a与b共线