分式和分式方程培优精讲

二、知识点梳理知识点一：分式的定义一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子BA叫做分式，A为分子，B为分母。知识点二：与分式有关的条件1、分式有意义：分母不为0（0B）2、分式值为0：分子为0且分母不为0（00BA）3、分式无意义：分母为0（0B）4、分式值为正或大于0：分子分母同号（00BA或00BA）5、分式值为负或小于0：分子分母异号（00BA或00BA）知识点三：分式的通分①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。确定最简公分母的一般步骤：Ⅰ取各分母系数的最小公倍数；Ⅱ单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；Ⅲ相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。Ⅳ保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。知识点四：分式的四则运算与分式的乘方1、分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：dbcadcba分式除以分式：式子表示为ccbdadbadcba2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子nnnbaba3、分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为cbacbca异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为bdbcaddcba注意：加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。知识点五：分式方程的解的步骤⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）⑵解整式方程，得到整式方程的解。⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。2、产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。三、典型例题例一当x有何值时，下列分式有意义（1）44xx（2）232xx（3）122x（4）3||6xx（5）xx11例二：考查分式的值为0的条件当x取何值时，下列分式的值为0.（1）31xx（2）42||2xx（3）653222xxxx例三：考查分式的值为正、负的条件（1）当x为何值时，分式x84为正；（2）当x为何值时，分式2)1(35xx为负；（3）当x为何值时，分式32xx为非负数.例四：化简求值题1、已知：511yx，求yxyxyxyx2232的值。2、已知：21xx，求221xx的值。提示：整体代入，①xyyx3，②转化出yx11.例五若0106222bbaa，求baba532的值.例六如果21x，试化简xx2|2|xxxx|||1|1.例七计算（1）874321814121111xxxxxxxx；（2）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1xxxxxx；例八若关于x的分式方程3132xmx有增根，求m的值.例九解下列不等式（1）012||xx（2）03252xxx四、课堂练习1．当x取何值时，下列分式有意义：（1）3||61x（2）1)1(32xx（3）x1112．当x为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5xx（2）562522xxx（3）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1xxxxxx.3、当a为何整数时，代数式2805399aa的值是整数，并求出这个整数值.4、已知：31xx，求1242xxx的值.5、已知：0132aa，试求)1)(1(22aaaa的值.6、计算2121111xxx；7、已知：121)12)(1(45xBxAxxx，试求A、B的值.8．已知0152xx，求（1）1xx，（2）22xx的值.9、解下列方程（组）(1)569108967xxxxxxxx(2))3(4111)2(3111)1(2111xzzyyx10、若分式方程122xax的解是正数，求a的取值范围.11．若73212yy的值为81,则96412yy的值是（）（A）21（B）171（C）71（D）7112.有三个连续正整数,其倒数之和是6047,那么这三个数中最小的是（）（A）1（B）2（C）3（D）413．若dcba,,,满足addccbba,则2222dcbadacdbcab的值为（）（A）1或0（B）1或0（C）1或2（D）1或114.方程71011zyx的正整数解zyx,,是_____.15.若11,11zyyx,则xyz_____.16．解方程:708115209112716512311222222xxxxxxxxxxxx.五、课后作业1、（1）当a时，分式321aa有意义；（2）当_____时,分式4312xx无意义；（3）当______时,分式68xx有意义；（4）当_______时,分式534xx的值为1；（5）当______时,分式51x的值为正；（6）当______时分式142x的值为负.2、（1）当分式44xx=-1时,则x__________；（2）若分式11xx的值为零，则x的值为（3）当x________时,1xxx有意义.3、计算：①3333xxxx；②212211933aaa；③2111111xxx.4、若关于x的方程1101axx有增根，则a的值为5、如果分式方程11xmxx无解，则m的值为6、如果解关于x的方程222xxxk会产生增根，求k的值.7、当k为何值时，关于x的方程1)2)(1(23xxkxx的解为非负数.8、已知51xx，求（1）22xx的值；（2）求44xx的值.9．设轮船在静水中的速度为v,该船在流水(速度为vu)中从上游A驶往下游B,再返回A，所用的时间为T,假设0u,即河流改为静水,该船从A至B再返回A,所用时间为t,则（）（A）tT（B）tT（C）tT（D）不能确定T与t的大小关系