第七章 薄板弯曲问题有限元法

本章将讨论弹性板弯曲的有限单元法。当平板的厚度h远小于其长度a与宽度时，称为薄板。对于薄板小挠度问题，它的变形完全由横向挠度w所确定。因此，可以取w和它的若干阶导数作为结点参数建立平板单元。目前已经提出了非常多的平板单元，但是这里将着重介绍比较常用的矩形单元和一种三角形单元。显然都不是完全协调的单元，但是所得到的计算结果表明，它们的收敛性和精确度是良好的。薄板小挠度弯曲问题可视为薄膜弯曲问题，即假设1)Kirchhoff直线法假设。2)。3)中面不产生应变。)5(bhb)5(hw0,0zwzz0zwz0xzyz0,0zuxwzvywxzyz如图所示的薄板，取右手坐标系oxyz，使坐标平面oxy位于板的中面，根据假设2)知：w仅为x、y的函数，而与z无关，即w=w(x,y)根据假设1)得，即图7-1ywzvxwzu,ywxw,),(,),(21yxfywzvyxfxwzu),(1yxf),(2yxf得上面两式分别对z积分，并注意，即与z无关，得式中和是x，y的任意函数。0,000zzvuywzvxwzu,根据假设3)，可得，得而w=w(x,y)(7-32)式中u，v和w是板内某点对于坐标轴方向的位移分量。从上面二式可以看出，在平板中面各点u=v=0，它不产生平面方向的位移，也就是中面不伸长。同时，平板中面的挠度w可以表示板内各点的挠度，因为它和坐标z无关。(7-31)利用几何方程，可以得到板内各点的应变分量是yxwywxwzxvyuyvxuxyyx222222(7-33)zyxwywxwDzDxyyx2222222100010112ED根据薄板的简化假定，我们可以把略去不计，于是板内各点的应力可以用挠度表示为式中(7-35)(7-34)是平板的弹性矩阵，它和平面应力问题中的弹性矩阵完全相同。yx,xyyxwywxwDhdzzMMMMhhxyyx22222322212从平板理论知道，若取微元hdxdy，那么在微元上作用着弯矩Mx，My和扭矩Mxy；它是由正应力和剪应力在板截面上的合力矩。如果Mx，My和Mxy表示单位宽度上的内力矩，于是有式中h是平板厚度。内力矩的正方向如图。(7-36)Mhz312Mhhz226比较(7-34)式和(7-36)式，可以得到用内力矩表示的平板应力特别是在平板的上下表面处应力为最大，它是由以上各式可以看到，平板中面挠度w可以作为基本未知量。如果挠度w为已知，则板中位移、内力和应力均可按照上述公式计算。(7-37)下面开始讲述平板弯曲的有限单元法。将平板中面用一系列矩形单元划分，得到一个离散的系统以代替原来的平板，欲使各单元至少在结点上有挠度及其斜率的连续性，必须把挠度及其在x和y方向的一阶偏导数指定为结点位移（或称广义位移）。通常将结点i的位移列阵写成iiiyixiiixwy(7-39)一．矩形单元的位移模式zyxwwxyxiyiiyixiiMMWRyx,yxMM,与之相对应的结点力列阵可以表示为它们的符号规定：对于挠度w和与之对应的结点力W以沿z轴的正方向为正；对于转角和与之对应的结点力矩，则按右手定则标出的矢量沿坐标轴正方向为正。图7-1中标出的位移和力的方向均为正。(7-39)o31231131029283726524321aaaaaaaaaaaaw对于矩形单元，如平面问题中引入一个自然坐标系来研究单元特性。由于矩形单元的每个结点有三个位移分量，一个单元有四个结点共有十二个结点位移分量，因此我们选取含有十二个参数的多项式作为位移模式，即(7-40)最后两项的选取是使在单元边界有三次式的形式。按照上式可以算出转角为)3322(1212311210928653aaaaaaaabbwywx(7-41))3232(131221129827542aaaaaaaaaawxwyii,4141)(iiiiyiyixixiiiNNNwNweNwTTTTTeNNNNN43214321将矩形单元的四个结点坐标分别代入(7-40)式和(7-41)式，就可以得到用十二个参数表示结点位移分量的联立方程组，求解这十二个方程，从中解出a1至a12再代入(7-40)式，经归并整理后就可以改写成如下形式或者写成标准形式其中(7-43)(7-42))4,3,2,1(iNNNNiyixii8/)1()1()1(8/)1()1()1(8/)2()1()1(200200220000iiyiixiaNbNN00i0i0如果把形函数写成通式于是其中记号和分别是，。(c)(7-44)由(7-31)式可以看到，整个薄板的位移完全由平面在z方向的挠度w所决定，而在中面各点不产生x和y方向位移。因此薄板所可能产生的刚性位移就只有沿z方向的平动以及绕x和y轴的转动，而对于z轴方向的旋转是没有的。位移模式(7-40)式中是前三项反映了薄板单元的这三个刚体位移。再由(7-33)式看到，板内各点的应变完全由挠度w的三个二阶导数所决定。如果这三个二阶导数不随坐标而变化，则描述平板单元的一个常应变状态，(7-40)式中的第四、五、六三个二次项反映了这个常应变状态（或称常曲率状态）。因此，我们总是能够保证存在一组结点位移，可以反映单元的刚体位移和常应变状态，因此，这个矩形单元是完备的。从(7-33)式和(7-34)式可以看出，应变和应力是有挠度w的二阶偏导数所决定。因此，如果要得到一个协调的单元还要求在单元的交界面上有斜率的连续性，这个要求经常使问题复杂化。swnw1342321ccccwc由(7-42)和(7-44)式可以看出，在单元边界上挠度和挠度沿切线边界方向的偏导数，可以通过边界上的结点位移所唯一地决定，但是挠度沿边界法线方向的偏导数则不然，也就是说，w和的值在单元交界线之间是连续的，而对于却不连续；s表示交界线切线方向而n表示交界线法线方向，因此，我们现在所讨论的单元是非协调元，或称为不完全协调单元。以的ij边界为例说明ssn1n2ijjjyiiyjiawa,,,cywji该边界上两端点i,j共有4个已知条件：将这4个条件代入中，就可以完全确定4个常数c1,c2,c3,c4。如果边界是两相邻单元的公共边界，则两个单元分别按上述4个条件所确定的常数c1,c2,c3,c4也一定相同，即两相邻单元的公共边界、上有相同的挠度w。这表明，所选取的位移模式w满足了相邻单元的挠度在公共边界上的连续条件。jix342321ddddxixibwjjxbwjix再由式(7-41)的第一式看出，在单元边界上的法线转角也是x（或）的三次多项式上式仍需要两端点i,j有4个已知条件来确定常数d1,d2,d3,d4，但是，现在只有和两个条件，不可能确定出4个常数d1,d2,d3,d4。因此，板单元整个公共边界上的法线转角是不连续的，只有在公共边界的两端点i,j上有共同的法线转角。eeBBBBB4321,,,,2,2,,,,222iiiiiixyiyyixxiiNNbaNababzabNbNaNzNNNzB,,,ixxiNN2222,iiNxN将(7-42)式代入几何方程式(7-33)，可以将单元应变用结点位移列阵表示为式中记号等分别表示。(7-45)(7-46)二．矩形单元的刚度矩阵)123()123()433(4120)31()1()1(341)1()31(0)1(341020222,0000,0000,iiiiiiiiiabNabaNbababNab)4,3,2,1(i按照(c)式和(7-44)式可以算出(d)44434241343332312423222114131211kkkkkkkkkkkkkkkkk221111hhjTijTiijdddabBDBdxdydzBDBk于是单元刚度矩阵可以写成如下形式其中子矩阵的计算公式是(7-47)ddNNNNbaNNNNNNababDkjTijTijTijTijTiij,,,,221111,,,,,,22)1(2)1(1223hED333231232221131211aaaaaaaaakij把(7-35)式和(7-36)式代入上式，并完成对z的积分，于是有式中它就是弹性薄板的弯曲刚度。如果再利用(d)式把(7-48)式展开并完成全部积分，就可以得到子矩阵(7-48)(7-49)(7-50)式中的九个元素的显式如下120220222102202213022022120022220220221151553235155323515532355414153ababaHbaababHaababaHbaababbaabHaijjjiijii)3()3(5)53(12)()(155155323)()(15)3()3(5)53(120022002332332130220223123002200222abHaaaabHaaababHaaabHabaHbajijiijjjiji(7-51)式中jijiabDH00,,601111ddabNqMMWQTiyixiiei)4,3,2,1(iiyiixiibaqMabqMabqW3,3,20200)4,3,2,1(i如果平板单元受有分布横向载荷q的作用，于是等效结点力是当q=q0为常量时，将(7-14)式代入上式并进行积分，于是得(7-52)三．矩形单元的等效