高等教育出版社 概率论与数理统计教案 第三章

第三章随机变量的数字特征第一节数学期望第二节方差第五节大数定律第三节原点矩与中心矩第四节协方差与相关系数第一节数学期望二.连续型随机变量的数学期望三.几个重要分布的数学期望四.数学期望的性质五.应用0—1分布求数学期望的方法六.随机变量函数的数学期望一.离散型随机变量的数学期望68246108928471X43214103928172X20610208920282047引例1甲、乙两射手的成绩如下,如何进行评价?甲(X1)环数78910乙(X2)环数78910射中次数4286射中次数1234一.离散型随机变量的数学期望)(8.83.0104.091.082.07环10410103910281017)(94.0103.092.081.07环引例2设某班40名学生的概率统计课程成绩及得分人数如下所示：分数4060708090100人数1691572则学生的平均成绩=总分÷总人数。即)(5.7640210040790401580409704066040140271596121007901580970660140分平均成绩定义1.若1)(kkkpxXE为随机变量(r.v.)X的数学期望.),,,2,1(}{~nkpxXPXkk则称1||kkkpx其中数学期望——描述随机变量取值的平均特征例1掷一颗均匀的骰子,以X表示掷得的点数,求X的数学期望.2761}{)(6161kkkkkxXPxXE于是分析根据数学期望的定义,要计算随机变量的数学期望,必须先求随机变量的分布律.解先计算随机变量X的分布律.).6,5,4,3,2,1(61}{,.6,5,4,3,2,1:kkxxXPX即能值的概率相等而且取每一种可的取值为随机变量思考?6,5,4,3,2,1的算术平均数为多少取值随机变量X?,)(果这是偶然还是必然的结与算术平均数相等的数学期望随机变量本例中XEX结论:即相等都为机会且取到每个值的概率个值取有限的随机变量一般地,/1)(,,,,,21nxxxnXnniiixXPxXE1}{)(则有nxxxnxnnii2111即数学期望为算术平均数,于是又称数学期望为加权平均数.}{ixXPXnnnxxxn/1/1/121当随机变量取每个值的权重相等时,数学期望等于算术平均数.例2从装有6个红球与4个白球的袋中任意取出3个球,求其中红球的数学期望.分析先求红球数的分布律,再按数学期望的定义求解解设X—取出的红球数,其取值为0,1,2,3;而且3,2,1,0,}{310346iCCCiXPii8.112020312060212036112040}{)(3031034631iiikkkCCCixXPxXE于是习作题已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱装有3件合格品和3件次品;乙箱仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件放入乙箱,求乙箱中次品件数X的数学期望(3/2).例3假设有10只同种电器元件,其中有两只废品,装配仪器时,从这批元件中任取一件,如果是废品,则扔掉重新再取一件,如果还是废品,则继续再取一件.求在取到正品之前,已取出的次品数X的数学期望.)(}1{21AAPXP)(}2{321AAAPXP4511818191111012CCCCCC【返回】).3,2,1(—;2,1,0,—kkAXk次取得的是正品第取值为次品数取到正品之前已取出的设解)(}0{1APXP31}{)(iiixXPxXE故458191811012CCCC8.0/11018CC)/()(121AAPAP)/()/()(123121AAAPAAPAP.92451245818.00二.连续型随机变量的数学期望定义2设连续型随机变量X的密度函数为dxxxfXE)()(则称为X的数学期望。,)(,)()(存在且dxxfxxxf连续型随机变量X的数学期望是离散型的推广。ix1ixiixxiixxfdxxfxxxPii)()(}{11)(ixfx)(xf0yiiixXPxXE}{)(此时,概率分布iiiiiiixxfxxXPxXE)(lim}{lim)(00}{ixXPXnnnxxfxxfxxfxxx)()()(110010可视为X的离散近似,于是.)(dxxfx例1设随机变量X的概率密度为othersxxxxxf,010,101,1)(求数学期望E(X)dxxxfXE)()(解：110011)()()()(dxxxfdxxxfdxxxfdxxxf1100110)1()1(0dxxdxxxdxxxdxx031213121103102013012xxxx10)(xf0xxf1)(1xxf1)(0)(xf到积分范围从x你能给出结果的直观解释吗?【返回】1xy011xxf1)(xxf1)(0)(XE例2.若随机变量X服从拉普拉斯分布,其密度函数为求E(X).)(exp21)(xxxf解dxxxdxxfxXEexp2)()(dtetdtetttxt|||/)()(212令00dtet.)(.,0,21,2,10,)(XEothersxxxxxfX求数学期望的密度函数为已知随机变量习作题【返回】三.几个重要随机变量的数学期望1.0—1分布的数学期望ppxXPXi1}{102.二项分布B(n,p)nkkkxXPxXE0}{)(nkppCkXPknkkn,...1.0)1(}{}{}{)(2211xXPxxXPxXEnkknkknppCk1)1(nkknkppknknk1)1(!)(!!ppp1)1(0knknkppknkn)1()!()!1(!1)1(111)1()!()!1()!1(knknkppknknnpnpppnpn1)]1([tntntpptntnnpkt)1(10)1(!])1[(!!)1(1令tntnttnppCnp1101)1(...,2,1,0,!}{~kekkXPXk泊松分布的概率分布为0}{)(kiixXPxXE3.泊松分布0!kkekk11)!1(kkke.ee01!tttkte令entntt!!2!11!2104.均匀分布U(a,b),,0,,1)(其他的密度函数为随机变量bxaabxfXdxxfxXE)()(abbadxxfxdxxfxdxxfx)()()(bbaadxxdxabxdxx010badxabx12babax221xa0)(xf到积分范围从b)/(1)(abxf0)(xf)(2/)(平均值间的中点正好为区ba000)(xxexfXx的密度函数为随机变量dxxxfXE)()(00dxexexx5.指数分布dxxxfdxxxf00)()(dxexdxxx000)(0xedx1100xe二项分布泊松分布均匀分布指数分布记号数学期望常见分布的数学期望E(X)npXE)(),(~pnBX)(~PX)(XE],[~baUX2)(baXE)(~eX1)(XE【返回】1.E(C)=C,C为常数;四.数学期望的性质证明:)()()()(XCEdxxxfCdxxCxfCXE则,)(xfX的密度函数为设连续型随机变量3.E(X+Y)=E(X)+E(Y))()(,11nkkknkkkXECXCE有一般地4.若X与Y独立,则E(XY)=E(X)E(Y)这一性质要求随机变量X与Y独立的条件过强了,其实只要X与Y不相关即可得到上述结论.2.E(CX)=CE(X),C为常数;例1设随机变量Xe(2),YU(0,1),ZB(5,0.2),且X,Y,Z独立,求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望.例2设有随机变量.,...,1nXXiiXE)(且求随机变量niiXnX11的数学期望.12.05)(2/12/)()(,2)(npZEbaYEXE依题设条件得解)]14)(32[()(ZYXEUE故)31228(YYZXXZE)3()12()2()8(YEYZEXEZXE)(3)()(12)(2)()(8YEZEYEXEZEXE2/27)2/1(31)2/1(1222128)1()(1niiXnEXE解)(11niiXEnniiXEn1)(1niin11例3设随机变量X与Y相互独立,概率密度分别为..0,0;0,)(.0,0;0,)(的数学期望求随机变量YXZyyeyfxxexfyYxX00)()(dxxxfdxxxf0000dxxedxxedxxxxdxxxfXE)()(解后续内容将介绍用随机变量函数的数学期望求解之.0)(xexd00dxexexx00)(10xxeddxe.10xe1)(YE同理可得.211)()()(YEXEYXE故例4已知(X,Y)的联合分布律如右表,求:E(X+Y)解先求E(X)和E(Y),为此必须先求X和Y的边缘分布.656132)()()(YEXEYXE于是XY011/301/21/6013/103/1}1,0{}0,0{}0{YXPYXPXP6/52/13/1}0,1{}0,0{}0{YXPYXPYP【返回】3/26/12/1}1,1{}0,1{}1{YXPYXPXP}{)(kkxXPxXE故.3/2)3/2(1)3/1(06/16/10}1,1{}1,0{}1{YXPYXPYP}{)(kkyYPyYE故6/1)6/1(1)6/5(0.,0;,1,)1不发生次试验事件第发生次试验事件第其中之和量分解为若干个新随机变将AiAiXXXii,1—0分布服从则iX21}{)(iiiixXPxXEniiniiniipXEXEXE111)()()()2五.应用0—1分布求数学期望的方法解题方法与步骤iiiiippxXPX1}{10niiXX1且iiippp1)1(0例1若X服从二项分布,即X~B(n,p),求E(X)..,0;,1不发生次试验事件第发生次试验事件第设解AiAiXiniiiXXX1,1—0且分布服从则pppXEi1)1(0)(因nppXEXEXEniniinii111)()()(故ppxXPXi