高等教育出版社积分变换第五版课后答案

整理文档很辛苦,赏杯茶钱您下走!

免费阅读已结束,点击下载阅读编辑剩下 ...

阅读已结束,您可以下载文档离线阅读编辑

资源描述

1-11�试证�若��ft满足Fourier积分定理中的条件�则有������dd00cossinftatbt��������������其中��������ddππ11cos,sin.afbf����������������������分析�由Fourier积分的复数形式和三角形式都可以证明此题�请读者试用三角形式证明.证明�利用Fourier积分的复数形式�有����jjeedπ12ttftf��������������������������jjdedπ11cossin2tf��������������������������������jjd1cossin2abtt�����������������由于��������,,aabb���������所以������dd11cossin22ftatbt����������������������dd00cossinatbt��������������2�求下列函数的Fourier积分�1���2221,10,1ttftt���������;2)��0,0;esin2,0ttfttt���������3)��0,11,101,010,1ttfttt�����������������������分析�由Fourier积分的复数形式和三角形式都可以解此题�请读者试用三角形式解.解�1�函数��2221,10,1ttftt���������为连续的偶函数�其Fourier变换为j21()[()]()ed2()cosd2(1)cosd00tFftfttftttttt���������������������F122330sin2cos2sinsin4(sincos)2tttttt������������������������������(偶函数)f(t)的Fourier积分为j311()()ed()cosd02ππ4(sincos)cosd0πtftFFtt���������������������������2)所给函数为连续函数�其Fourier变换为����jjω()()edesin2ed0tttFftftttt���������������F2j2jj(12jj)(12jj)ee1eed[ee]d02j2j0tttttttt������������������������(12jj)(12jj)01ee2j12jj12jjtt���������������������������224252jj1121(2)j1(2)j256�����������������������������实部为偶函数�虚数为奇函数�f(t)的Fourier变换为��j1()ed2πtftF�������������224252j1cosjsind2π256tt�����������������������������2224242245cos2sin5sin2cos11ddπ256π2565cos2sin2dπ0256tttttt�������������������������������������������������这里用到奇偶函数的积分性质.3�所给函数有间断点-1�0�1且f(-t)=-f(t)是奇函数�其Fourier变换为����j()()ed2j()sind0tFftfttfttt����������������F12j(cos1)2j1sind0tt����������奇函数�f(t)的Fourier积分为����jj()edsindπ0π021cossindπ0tftFFtt����������������������1=2其中t�-1�0�1�在间断点0t处�右边f(t)应以����00002ftft���代替�.3�求下列函数的Fourier变换�并推证下列积分结果�1���e(0),tft�����证明�22cosπde;02tt������������2�()ecostftt���证明�242πcosdecos;042ttt�����������3�sin,π()0,πttftt���������证明�2πsin,πsinπsin2d010,πtttt����������������证明�1�函数��etft���为连续的偶函数�其Fourier变换为����jeed2ecosd0tttFftttt�����������������������F��22220ecossin22ttttt���������������������再由Fourier变换得����j22112edcosd2ππ0tftFtt������������������即22cosπde02tt������������2�函数��ecostftt��为连续的偶函数�其Fourier变换为��jj()edecosedtttFftttt������������������jjjeeeed2ttttt����������(1jj)(1jj)(1jj)(1jj)001edededed200tttttttt�������������������������������������(1jj)(1jj)(1jj)(1jj)001eeee21jj1jj1jj01jj0tttt���������������������������������������������2411111221jj1jj1jj1jj4�����������������������������再由Fourier变换公式得����2j41112()edcosdcosd2ππ0π04tftFFtt��������������������������即242πcosdecos042ttt�����������3�给出的函数为奇函数�其Fourier变换为������ππjjππedsinedsincosjsindttFftttttttt������������������������ππ002jsinsindjcos1cos1dtttttt�������������������2sin1πsin1πsinsin2jsinjj1010111tt���������������������������������������������-1j2112jsinπedcosjsind2π2π1tFFtt���������������������������F20sin,π2sinπsindπ10,πtttt������������������故20πsin,πsinπsin2d10,πtttt����������������4.求函数����e0,0tftt������的Fourier正弦积分表达式和Fourier余弦积分表达式.解�根据Fourier正弦积分公式�并用分部积分法�有����002sindsindπfttf�������������������002sindsindπett����������������������220sincos2sindπ0ett��������������������������2202sind.πt����������根据Fourier余弦积分公式�用分部积分法�有����002cosdcosdπfttf�������������������002cosdcosdπett����������������������220sincos2cosdπ0ett��������������������������2202cosd.πt����������1-21�求矩形脉冲函数,0()0,Atft���������其他的Fourier变换.解�����jjjj01ee()()()eded0jjttttAFftfttAtA��������������������������������F2.设��F�是函数��ft的Fourier变换�证明��F�与��ft有相同的奇偶性.证明���F�与��ft是一个Fourier变换对�即����jedtFftt��������������j1ed2πtftF���������如果��F�为奇函数�即����FF������则������������jj11eded2π2πttftFF������������������������令u������j1ed2πutFuu�������换积分变量u为������j1ed2πtFft������������所以��ft亦为奇函数.如果��ft为奇函数�即����ftft����则����������jjededttFfttftt�����������������������令tu�����jedufuu���������换积分变量u为t�����jedtfttF������������所以��F�亦为奇函数.同理可证��ft与��F�同为偶函数.4�求函数����e0tftt���的Fourier正弦变换�并推证��20012sinπde��������������解�由Fourier正弦变换公式�有��()ssFft������F��0sinfttt�����d0sinttt������ed��2sincos10ttt�����������e21����由Fourier正弦逆变换公式�有��120022sin()()sin1ssstftFFt�����������������������Fddππ由此�当0t���时�可得����20sinππde0122f����������������5�设��()ftF������F�试证明�1���ft为实值函数的充要条件是()()FF�����2���ft为虚值函数的充要条件是()()FF�����.证明�在一般情况下�记������riftftft��j其中��rft和��ift均为t的实值函数�且分别为��ft的实部与虚部.因此����������jedjcosjsindtriFfttftftttt�������������������������������cossindjsincosdririfttftttfttfttt������������������������������ReImFjF������������其中������RecossindriFfttfttt���������������������a������ImsincosdriFfttfttt���������������������b1�若��ft为t的实值函数�即������,0rifttfft��.此时���a式和��b式分别为����RecosdrFfttt����������������ImsindrFfttt�������������所以������RejImFFF����������������������RejImFFF��������������反之�若已知����FF�����则有��������RejImRejImFFFF�������������������������此即表明��F�的实部是关于�的偶函数���F�的虚部是关于�的奇函数.因此�必定有������cosdjsindrrFftttfttt���������������亦即表明����rftft�为t的实值函数.从而结论1�获证.2�若��ft为t的虚值函数�即������j,0irftfftt��.此时���a式和��b式分别为����ResindiFfttt����������������ImcosdiFfttt������������所以������RejImFFF��������������������RejImFF�������������������RejImFF���������������F���反之�若已知����FF������则有��������RejImRejImFFFF��������������������������此即表明��F�的实部是关于�的奇函数���F�的虚部是关于�的偶函数

1 / 44
下载文档,编辑使用

©2015-2020 m.777doc.com 三七文档.

备案号:鲁ICP备2024069028号-1 客服联系 QQ:2149211541

×
保存成功