江西省红色七校2020届高三第一次联考数学(理)试卷Word版含答案

江西省红色七校2020届高三第一次联考数学（理）试卷考试时间：120分钟满分150分一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．已知复数201812izi，则复数z的虚部为（）A.25B.25iC.15iD.152.已知集合421|xxP，30|xNxQ则QP（）A.[1,2]B.(0,2)C.{1,2}D.{1}3.已知向量ba,的夹角为2|2|2||60baa，，，则||b（）A．4B．2C.2D．14.执行如图所示的程序框图，如果输出s＝4，那么判断框内应填入的条件是（）A.k≤14?B.k≤15?C.k≤16?D.k≤17?5.已知直线m，n，平面，；命题:p若//,m//,则m//；命题:q若m//,m//,n,则m//n，下列是真命题的是()A．pqB.()pqC.()pqD.()pq6.二项式21011xxx展开式中4x的系数为（）A.120B.135C.140D.1007.设0a，则函数yxxa的图象的大致形状是（）8.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A．12B．13C.41D．429.一个半径为1的球对称的消去了三部分，其俯视图如图所示，那么该立体图形的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π10.函数y=sin（2x﹣6）的图象与函数y=cos（x﹣3）的图象（）A．有相同的对称轴但无相同的对称中心B．有相同的对称中心但无相同的对称轴C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴11.设抛物线28yx的焦点为F，过点4,0M的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，4BF，则BCF与ACF的面积之比BCFACFSS（）A.34B.45C.56D.2512.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{}na称为“斐波那契数列”，则20172019aa－()22018a等于()A．1B．－1C.2017D．－2017二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设x，y满足约束条件x＋y－7≤0，x－3y＋1≤0，3x－y－5≥0，则z＝2x－y的最大值为_______.14.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝____.15.小明有中国古代四大名著：《三国演义》，《西游记》，《水浒传》，《红楼梦》各一本，他要将这四本书全部借给三位同学，每位同学至少一本，但《西游记》，《红楼梦》这两本书不能借给同一人，则不同的借法有_______.16.定义：如果函数)(xf在ba,上存在)(,2121bxxaxx满足，abafbfxf)()()(1abafbfxf)()()(2则称函数)(xf是ba,上的“中值函数”.已知函数mxxxf232131)(是m,0上的“中值函数”，则实数的取值范围是_____.三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共70分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（sinA﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB）（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=7，△ABC的面积为233，求△ABC的周长．18.数列na满足2111,2()nnaaanN.（1）求证：数列2na是等差数列，并求出na的通项公式；（2）若12nnnbaa，求数列nb的前n项和.19.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是3，D是AC的中点。（1）求二面角A1-BD-A的大小；（2）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由。20.某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）空气质量指数50,0100,50150,100200,150250,200300,250空气质量等级1级优2级良3级轻度污4级中度污5级重度污6级严重污染染染染该社团将该校区在2018年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.（Ⅰ）请估算2018年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（Ⅱ）该校2018年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，则该天需要净化空气费用1万元，出现6级严重污染，则该天需要净化空气费用2万元，假设每天的空气质量等级相互独立，记这三天净化空气总费用X万元，求X的分布列及数学期望.21.已知椭圆)0(1:2222babyaxC，圆0324:22yxyxQ的圆心Q在椭圆C上，点)1,0(P到椭圆C的右焦点的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P作直线l交椭圆C于BA,两点，若AQBSAQBtan，求直线l的方程．22.已知函数21()ln12fxxaxbx的图像在1x处的切线l过点11(,)22.（1）若函数()()(1)(0)gxfxaxa，求()gx的最大值（用a表示）；（2）若4a，121212()()32fxfxxxxx，证明：1212xx.江西省红色七校2020届高三第一次联考数学（理）试卷参考答案1-12ADDBDBBCCADA13.814.3415.3016.33(,)4217.解：（Ⅰ）由已知a（sinA﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB）由正弦定理，得a（a﹣b）=（c﹣b）（c+b），（2分）即a2+b2﹣c2=ab．（3分）所以cosC==，又C∈（0，π），所以C=．（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2+b2﹣c2=ab．所以（a+b）2﹣3ab=c2=7，又S=sinC=ab=，所以ab=6，所以（a+b）2=7+3ab=25，即a+b=5．（9分）所以△ABC周长为a+b+c=5+．（10分）18.......6分....12分19.（1）作CO⊥AB于O，所以CO⊥平面ABB1A1，所以在正三棱柱ABC-A1B1C1中如图建立空间直角坐标系O-xyz。因为AB=2，AA1=3，D是AC的中点。所以A（1，0，0），B（-l，0，0），C（0，0，3），A1（1，3，0），所以D（21，0，23），BD=（23，0，23），1BA=（2，3，0）。设n=（x，y，z）是平面A1BD的法向量，所以，，0·0·1BAnBDn即,032,02323yxzx令x=-3，则y=2，z=3，所以n=（-3，2，3）是平面A1BD的一个法向量。由题意可知1AA=（0，3，0）是平面ABD的一个法向量，所以cosn，1AA=3432=21。由题知二面角A1-BD-A为锐角，所以它的大小为3。......6分（2）设E（1，x，0），则EC1=（1，x-3，-3），11BC=（-1，0，-3），设平面B1C1E的法向量m=（x1，y1，z1），所以，，0·0·111BCmECm即,03,03)3(11111zxzyxx令z1=-3，则x1=3，y1=x36，m=（3，x36，-3），又m·n=0，即-33+x312-33=0，解得x=33，所以存在点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD且AE=33。......12分20试题解析:（Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为1105.1093653.0365)2.01.0(（天）......4分（Ⅱ）由题可知，X的所有可能取值为：0，1，2，3，4，5，6，则：12564)54()0(3XP，12524)54(101)1(213CXP12527500108)54()101()54()101()2(2131223CCXP10004954101)101()101()3(12133CCXP10002754)101(101)101()4(223223CCXP10003101)101()5(223CXP10001)101()6(3XP.....8分X的分布列为X0123456P1256412524125271000491000271000310001......10分万元）(9.010001610003510002741000493125272125241125640EX......12分21：试题解析：（1）因为椭圆C的右焦点)0,(cF，2PF，所以3c，:因为)1,2(Q在椭圆C上，所以11422ba，由322ba，得62a，32b，所以椭圆C的方程为13622yx......4分（2）由AQBSAQBtan得：AQBAQBQBQAtansin21，即2cosAQBQBQA，可得，2QBQA......6分①当l垂直x轴时，2314)13,2()13,2(QBQA，此时满足题意，所以此时直线l的方程为0x；......7分②当l不垂直x轴时，设直线l的方程为1kxy，由113622kxyyx消去y得044)21(22kxxk，设),(11yxA，),(22yxB所以221214kkxx，221214kxx，代2QBQA入可得：2)1,2()1,2(2211yxyx，代入111kxy，122kxy，，得2)2()2(21221xxkxx，代入化简得：0221821)1(4222kkkk，解得41k，经检验满足题意，则直线l的方程为：044yx综上所述直线l的方程为0x或044yx．......12分22.（1）由'1()fxaxbx，得'(1)1fab，l的方程为1(1)(1)(1)2yababx，又l过点11(,)22，∴111(1)(1)(1)222abab，解得0b.∵21()()(1)ln(1)12gxfxaxxaxax，∴2'1()(1)1(1)1()1(0)axxaxaxagxaxaaxxx，当1(0,)xa时，'()0gx，()gx单调递增；当1(,)xa时，'()0gx，()gx单调递减.故2max111111()()ln()(1)1ln22gxgaaaaaaaa.......6分（2）证明：∵4a，∴2212121211221212()()3ln21ln213fxfxxxxxxxxxxxxx，212121212ln()2()22xxxxxxxx，∴2121212122()ln()xxxxxxxx令12(0)xxmm，()lnmmm，'1()mmm，令'()0m得01m；令'()0m得1m.∴()m在(0,1)上递减，在(1,)上递增，∴()(1)1m，∴212122()1xxxx，120xx，解得：1212xx......