Maxwell-Boltzmann分布律

Maxwell-Boltzmann，Bose-Einstein，Fermi-Dirac的统计分布律宏观状态、微观状态、微观状态数对于N个全同近独立子组成的孤立体系，粒子限定在体积V内，体系总能量是E。iiiEniiNn我们把用N，V，E一组数值描述的体系状态定义为体系的宏观状态能实现宏观状态（N，V，E）的微观状态非常多，在满足上面两式的前提下，N个粒子可以有各种不同的方式分配在各个量子态上，我们把每一种分配方式称为一个特定的微观状态例:有一个由3个独立、定域的简谐振子（A,B,C）组成的系统，系统总能量为11/2hv，试描述能满足此（宏观状态）要求的微观运动状态？v(v1/2)v0,1,2,3,Ehv1357,,,,2222Ehhhh(振动量子数)简谐振子的能级为：简谐振子的能级公式为：解：宏观态为（N,V,E）=(3,V,11hv/2)系统含3个粒子，总能量为11/2hv，这对每个简谐振子运动状态有一定限制。每个振子至少有1/2hv的能量，为满足总能量为11/2hv的条件，体系中任一粒子的最高能量不得超过9/2hv。简谐振动的各能级是非简并的，即只有一个量子态，gi=1.g:能级的简并度。E1/2h3/2h5/2h7/2h9/2h11/2h状态1A:n=0B:n=0C:n=4n=0,E=1/2hn=1,E=3/2hn=2,E=5/2hn=3,E=7/2hn=4,E=9/2hn=5,E=11/2h……状态2A:n=0B:n=4C:n=0状态3A:n=4B:n=0C:n=0状态4A:n=0B:n=3C:n=1状态5A:n=0B:n=1C:n=3状态6A:n=3B:n=0C:n=1状态7A:n=1B:n=0C:n=3A：B：C：E1/2h3/2h5/2h7/2h9/2h11/2hn=0,E=1/2hn=1,E=3/2hn=2,E=5/2hn=3,E=7/2hn=4,E=9/2hn=5,E=11/2h……状态8A:n=3B:n=1C:n=0状态9A:n=1B:n=3C:n=0状态10A:n=0B:n=2C:n=2状态11A:n=2B:n=0C:n=2状态12A:n=2B:n=2C:n=0状态13A:n=2B:n=1C:n=1状态14A:n=1B:n=2C:n=1状态15A:n=1B:n=1C:n=2与宏观状态对应的粒子的分配有4种分布类型，每种类型有若干微观状态。分布类型各种分布的微观状态数1n0=2,n4=1t1=2n0=1,n1=1,n3=1t2=3n0=1,n2=2t3=4n1=2,n2=1t4=133!32!1!C11326CC133C133C则体系宏观状态对应的微观状态数为：1234!,,15!iiiNNVEttttn思考：本题对于玻色子或费米子，微观状态数会如何变化宏观状态（N,V,E)分布类型1分布类型2分布类型n……微观状态1.1微观状态1.2微观状态……微观状态n.1微观状态n.2微观状态…………微观状态数Ω(N,V,E)体系的每一个微观状态都对应一个特定的宏观状态；体系的每一个宏观状态对应多个的微观状态。对于特定宏观状态，实现它的微观状态数目是确定的，因此微观状态数是宏观状态的函数，可以表示为Ω(N,V,E)随着系统拥有的粒子数的增多和总能量的增加，每一宏观状态所对应的微观状态数急剧增加。以上题为例，当粒子增至5个，系统总能量增至15/2hν时，与此要求相对应的微观状态便增至126种。核心问题：给定宏观态下，各可能微观态出现的概率有多大？等概率原理（玻耳兹曼，1870s）大数粒子经过频繁碰撞和其他扰动后，满足宏观条件的各种微观态都会出现。对于处于平衡态的孤立系统，各可能微观态出现概率相等。——统计物理基本假设正确性由其推论与实验相符而得到证实。讨论：由微观量统计计算宏观量存在两种观点1.对宏观状态对应的所有微观状态求统计平均；2.在测量时间间隔内体系所有可及微观状态相应微观量的统计平均值------时间平均按这一观点，需要根据等概率假设确定分布函数按这一观点，需要另一个基本假设-----各态历经假设平衡态孤立体系从任一初始的微观状态出发，经过足够长时间以后，体系将经历能量曲面上的一切微观状态。能级分布及微观状态数对于宏观状态为（N,V,E）的体系，粒子分布可以描述如下能级ε1ε2…εi…简并度ω1ω2…ωi…粒子数n1n2…ni…用｛ni｝表示上述分布，代表了N个粒子在微观能级上的一种分布方式显然分布｛ni｝应该满足宏观状态的限制，即：iiiEniiNn分布｛ni｝拥有的微观状态数需要对于不同的体系加以讨论玻尔兹曼系统定域子，粒子可由位置分辨，处在同一个量子态上的粒子数不受限制；N中选取n1个粒子置于能级ε1，并加以排列，每个粒子有ω1个量子态可选择，排列数为1111111!()!!nnnNNCNnnN-n1中继续选取n2个粒子置于能级ε2，每个粒子有ω2个量子态可选择，排列数为2221122122()!()!!nnnNnNnCNnnn…………………………………………..则分布｛ni｝拥有的微观状态数为：11211211122!()!......!()!!()!!!nnniXiiNNntNNnnNnnnn对满足宏观限制的一切分布加和，即得宏观状态（N,V,E）的微观状态数1(,)!!niXXNEiitNn玻色系统离域子、粒子不可分辨、处在同一个量子态上的粒子数不受限制；首先计算能级εi上ni个粒子放在ωi个量子态上的排列数这一排列相当于ni个球放在ωi个盒子里的排列，如图所示，可以表示为ni个球和ωi-1个隔板的排列，排列数为（ni+ωi-1)!另外由于小球不能分辨，盒子本来不需要排列，因而要除去相应排列数，则最后排列数为(1)!(1)!!iiiinn则分布｛ni｝拥有的微观状态数为：(1)!!(1)!iiXiiintn宏观状态（N,V,E）总的微观状态数(,)(1)!(1)!!iiXXNEiiintn费米系统离域子、粒子不可分辨、处在同一个量子态上的粒子数只限一个；讨论能级εi上ni个粒子放在ωi个量子态上的排列数第1个粒子有ωi种放法：第2个粒子有ωi-1种放法：……第ni个粒子有ωi-(ni-1)种放法：!()!!iiiinn则分布｛ni｝拥有的微观状态数为：!()!!iXiiiitnn宏观状态（N,V,E）总的微观状态数(,)!()!!iXXNEiiiitnn相乘得放置方式数为!()!iiin进一步考虑粒子不可分辨性，排列数为经典极限如果在玻色子或费米子体系中niωi（非简并条件）(1)!(1)(2)!(1)!!!!iniiiiiiiiMBBEiiiiiiinnnttnnnN!(1)(1)!()!!!!iniiiiiiMBFDiiiiiiiinttnnnnN玻色子分布与费米子分布在非简并条件趋向相同，都趋向于麦-玻分布，显然N！是粒子不可分辨性代入的校正因子从前面讨论可以看出：微观状态数Ω是宏观状态的状态函数，可以表示为Ω(N,V,E)，事实上Ω是以N,V,E为特征变量的特性函数Maxwell-Boltzmann分布律对于N,V,E确定平衡态体系，有很多可及的能级分布，根据等几率假设，微观状态数最大的分布出现的概率也最大，这种分布称为最概然分布分布｛ni｝拥有的微观状态数为：12,,...,,...!!iniiiitnnnNn求最概然分布的问题在数学上是一个条件极值问题在满足N,E守恒条件12,,...,,...0iiignnnnN12,,...,,...0iiiihnnnnE的前提下，求使得函数112ln,,...,,...ln!!niiiitnnnNn取极大的变量值分布｛ni*｝（1）（2）（3）lnt最大的必要条件是其一级变分为0lnln!lnln!iiiiitNnn假设所有ni1，应用Stirling公式lnN!=NlnN-NlnlnlnlniiiiiitNNnnn则一级变分lnlnlnlnln0iiiiiiiiiiiiitntnnnnnnN,E守恒条件写作变分形式，有0iin0iiin（4）（5）由于δni受到守恒条件(4)(5)式的限制，应用Lagrange不定乘数法，分别用α、β乘以(4)(5)两式，并减去(6)式（6）ln0iiiiinnln0(1,2,...)iiini或写作exp()(1,2,...)iiini这样的ni取值使得lnt有极值，且又22()lnln0iiiiiiinntnn（7）（7）式的分布｛ni｝确实使得lnt(因而t)为极大，这一分布也就是最概然分布，称之为Maxwell-Boltzmann分布律Lagrange不定乘数α,β由守恒条件确定iiiiiNneiiiiiiiEne（8）（8）iiiNeeβ的数值现阶段还无法直接求解，以后我们会证明1kT（9）(8)(9)代入(7)式可得Maxwell-Boltzmann分布律(1,2,.expexp..)iiiiiiikTnNkTexpexpiiiiiikTnNkTexpikT能级εi的Boltzmann因子数值与能量零点选择有关expiikT能级εi的有效量子态数定义：单粒子配分函数expiiiqkT1.q是单粒子所有可及能级的有效量子态数的加和；2.只有独立子体系才能定义单粒子配分函数；3.q与能量零点的选择有关；4.q是V,T的函数;5.所有热力学性质都可以用粒子的配分函数q来表达，因此统计力学求算热力学性质最终归结为求算配分函数qM-B分布律的各种表达形式（1）按能级的分布expexpexpiiiiiiiiNkTnNqkTkT（2）按量子态的分布exprrNnqkTexpexpriiqkTkT量子态能级（3）两能级粒子数之比expijiijjnnkT（4）经典表述11111111,...,exp...,...,,,...,......,...,...exp...rrrrrrrrqpdqdpkTnqqppdqdqdpdpNqpdqdpkT根据量子态与相空间体积，量子力学量与经典力学量的对应关系，不难将M-B定律的量子表述转换为经典表述11,...,,,...,irrqqpp11......rrirdqdqdpdph1111,...,,,...,......irrrrnnqqppdqdqdpdp11,...,...exp...rrqpZdqdpkT定义单粒子经典配分函数rZqh最概然分布与真实分布我们考察最概然分布｛ni*｝的一个邻近分布｛ni｝N时，最概然分布真实分布，因而最概然分布拥有的微观状态数tX*总微观状态数(N,V,E)，或者说lntX*ln最概然分布｛ni*｝的微观状态数邻近分布｛ni｝的微观状态数***!!iniXiitNn!!iniXiitNn令f(n1,n2,…,ni,…)=lntX(n1,n2,…,ni,…)，将f在n1*，n