第三节 重力模型法

第三节重力模型法（GravityModel）主要内容概述模型参数标定无约束模型（简单模型）单约束模型双约束模型模型理论解释重力模型特点分布模型选择一、重力模型理论GM模型描述：交通区i、j之间出行量与交通区i的产生量和交通区j的吸引量的乘积成正比，与交通区i、j之间的交通阻抗R（时间、费用、距离等）成反比。1955年Casey第一次将重力模型用于地域内两个城镇之间购物出行预测。GM模型原理：该模型模拟物理学中的牛顿的万有引力定律，即：两物体间的引力与两物体的质量之积成正比，与它们之间距离的平方成反比。ODCijijijtk重力模型法（GM）认为交通区i到j的出行分布量不仅与社会经济因素有关（驱动因素），而且还与时间、空间等阻碍因素有关。重力模型的基本公式为：其中，Pi，Pj——小区i，j的人口数；Oi，Dj——小区i，j的产生交通量与吸引交通量；R——小区i，j间的阻抗（距离、费用等）；k,α,,——模型参数。2dPPijjiijktODCijijijtkCasey模型OD()ijijijtkfCf（Cij）称为阻抗函数，它是减函数，表示当出行阻抗Cij（距离、时间、费用等）增加时函数值降低，即出行量减少。常用的阻抗函数形式有：（1）指数形式）（ijCexp)(ijCf（2）幂形式nijC)(ijCf（3）综合函数）（ij-nijCexpC)(ijCf对于公式：ODOD()CijijijijijtkkfC在现状OD表已知的条件下，Oi,Dj,Cij和tij已知，k,α,,可以用最小二乘法求得。对（6.3.1）式取对数:lnlnlnlnlnijijijtkODC:,0.1则有若令lnlnODlnlnCijijijtk已知bxaY多元回归分析式二、重力模型参数标定ODCijijijtk（6.3.1）tij123O（∑j）120010010040021502502006003100150150400D（∑i）4505004501400现状OD表小区之间阻抗表Cij123114324023216223402212假设α,均为1，请标定重力模型的参数k和。例题：参数标定解：一元线性回归公式lnlnlnlnijijijtODkC令)ln(lnjiijDOtYlnijXCkbln01bXbbY10则：Y=采用最小二乘法求解得：b0=-5.627;b1=-0.5224由此求得：k=0.0036;=0.52240.52240.0036/ijijijTODC-6.8-7.6-7.5-7.5-7.1-7.2-7.5-7.2-7.12.643.473.693.472.773.093.693.092.48X=不考虑未来P、A的约束，直接用公式和标定的参数对未来的Tij进行预测。例如：将未来的P、A、Cij代入前面公式：0.52240.0036/ijijijTODC即可得到未来年份的出行分布矩阵。三、无约束重力模型无约束模型的计算结果，由于不考虑未来P、A的约束，可能与给定的产生量P、吸引量A差别很大，需要借助于增长系数法迭代后才能使用。见课本P142页例题。为了避免预测与理论数值差别过大的情况，需对重力模型进行约束。通常有单约束、双约束、三约束等。只服从其中的一个约束，就称为单约束重力模型。如果两个条件约束都服从，则称为双约束重力模型。注意四、单约束重力模型TPA()ijijijkfCTPA()PTAP()AijijijijjijjiijjiikfCkfC或守恒条件S.t.1A()jijjkfC或1P()iijikfC推导过程：1、乌尔希斯模型jijjijjijcfcf)(A)(APTijiijPtS.t.ij)(P)(PATijiijiijcfcfijijAtS.t.P、A——预测年份的产生和吸引量。P、A——预测年份的产生和吸引量。约束P约束A问题分解：（1）用现状OD矩阵和阻抗矩阵标定阻抗参数γ；（2）用未来的P、A、距离矩阵、参数γ计算未来的分布矩阵。（3）此处采用约束P的方法。解：假设阻抗函数为(C)CijijijSf小区1总体可达性j=18141010244njijDC假设γ=1，下面采用乌尔希斯模型来检验其是否合理。交通区1：j=1jijijinjijDCTODC根据计算小区1到各小区出行量：1214482.810T118283.210T121048210T1214482.810T118283.210T81410可以看出，由于采用单约束，只满足了现状产生量O约束，没有满足现状吸引力D约束。D同样计算交通区2，交通区3。γγγ（2）计算未来的交通分布矩阵。交通区1：∑A1/C1j=16/2+28/4+40/4=25T(1,1)=16*8/25=5.12T(1,2)=16*7/25=4.48T(1,3)=16*10/25=6.4交通区2：∑A2/C2j=16/4+28/1+40/2=52T(2,1)=28*4/52=2.15T(2,2)=28*28/52=15.08T(2,3)=28*20/52=10.77交通区3：∑A3/C3j=16/4+28/2+40/2=38T(3,1)=40*4/38=4.21T(3,2)=40*14/38=14.74T(3,3)=40*20/38=21.05未来OD矩阵为：123P15.124.486.41622.1515.0810.772834.2114.7421.0540A11.4834.338.22由于为单约束P，此处A约束不满足！五、双约束重力模型双约束重力模型公式参数标定方法例题(C)ijiijjijtaObDf现状阻抗函数11(C)(C)ijjijjjiiijiabDfbaOf双重约束重力模型S.t.1、双约束重力模型公式()()ijiijjijijjijjjiiijjiitaObDfCOtbDaOfCD守恒条件S.t.推导过程：2、双约束重力模型计算步骤第一步，给参数γ取初值。γ可用最小二乘法标定，若无法标定，则令γ=1；第二步，用迭代法求约束系数。以幂指数交通阻抗为例(C)Cijijf（1）令m=0，m为计算次数。（2）令1.(1/C)mmmmijjiiijiabbaO，求出（3）求出11111(a1/C)1/C)mmmmmmiijjijjjiiijjiabDbbaO，(第三步，将求得参数代入，用现状OD值求现状理论分布表｛｝第四步，计算现状实际OD分布表的平均交通阻抗，再计算理论分布表中的平均交通阻抗：，求两者相对误差。（4）收敛判定。若下式满足，则结束计算；反之，令m+1=m，返回第（3）步重复计算。,1/11mimiaa1/11mjmjbbijtˆijijijRtt1RijijijRtt1Rˆ第五步，如果满足要求(3%)，则接受γ的求解，否则：①若，则理论分布量小于实际，应减少γ的值，可令γ＝γ／2；②若，则理论分布量大于实际，应增大γ的值，令γ＝2γ；③返回第一步，重新计算。RRˆDO345∑j1150100503002400100200700∑i5502002501000现状OD表小区之间现状阻抗表Cij34513252354假设α,均为1，求双约束重力模型的公式。3、例题-CijiijjijtaObD解：第一步，给出参数γ初始值，令γ=1。第二步，采用迭代法求约束系数ai，bj。第一次迭代。令b3=b4=b5=1，则：1110.003155012001250/C325jjijjabD2110.003499155012001250/C354jjijjabD用a1，a2的数值求解b3，b4，b5，则：3110.89580.033000.003499700/C33iiijibaO4111.06400.033000.003499700/C25iiijibaO5111.26210.033000.003499700/C54iiijibaO第二次迭代。求解新的a1，a2数值，则：11/C10.0029960.89585501.0642001.2621250325jjijjabD21/C10.0035010.89585501.0642001.2621250354jjijjabD用a1，a2的数值再次求解b3，b4，b5，为：b3=0.8957，b4=1.0643，b5=1.2618第三次迭代。求解新的a1，a2，b3，b4，b5数值，结果与第二次迭代相同，满足收敛条件（3%)，停止迭代。第三步，根据求出的参数计算现状分布理论值。-13131C0.0029960.89573005503147.59ijijtaObD-24241C0.0035011.06437002005104.33ijijtaObD…….求出各交通区之间的理论分布值为：DO345∑j1147.5995.756.73002402.4104.3193.3700∑i5502002501000第四步，检验。根据实际OD和理论OD表求得平均交通阻抗：4.3100042005100340055021003150R3996.3100043.19353.10434.40257.5627.9536.147ˆR%3ˆRR认为γ=1可以接受。六、三维约束重力模型（Tri-proportionalGravityModels）OD矩阵或阻抗矩阵中的某些单元格满足附加条件。例如，某个区域中有四类出行，如下表所示：DO12341ABCD2BCDA3CDAB4DABC如果各类出行已知，则可以看作对双约束重力模型又增加一维约束，例如:∑A=XXX或∑B=XX或∑C=X或∑D=XXXX不仅重力模型可以有三维约束，增长系数法也可以有三维约束，原理同三维重力模型法。七、模型理论解释概率论解释信息论解释－最大熵原理了解即可，详细见课本P146页。优点：①直观上容易理解；②能考虑路网的变化和土地利用对出行的影响；③特定区的现有OD交通量为零时，也能预测；④能比较敏感地反映交通小区之间行驶时间变化的情况。缺点：①虽考虑路网变化和土地利用对出行的影响，但没有考虑出行者的个体因素影响；②交通区内出行交通量无法求出；③若交通小区之间的距离非常小时，有夸大预测的可能性。八、重力模型的特点九、交通分布模型的选用重力模型法能够考虑路网阻抗的变化，要求数据不苛刻，因此适用范围较广，可用于各种交通规划。增长系数法可以作为重力模型法的补充，在重力模型法无法满足约束条件时，可以辅助应用（例如课本P142）；也可以用于预测城市外部交通量及公路交通量。DO123合计预计117.07.04.028.038.627.038.06.051.091.934.05.017.026.036.0合计28.050.027.0105.0预计39.390.336.9166.5ijjiijcDOkt)(作业：按上次作业给出的现状OD表和将来生成、发生与吸引交通量，采用重力模型，求出将来OD表，并和底特律法比较。收敛标准ε=1%。假设重力模型公式如下：183.0k152.1536.1答案：现状行驶时间将来行驶时间Cij12318.017.022.0217.015.023.0322.023.07.0Cij12314.09.011.029.08.012.0311.012.04.0现状OD与未来PA八、思