84(1)弹性波的基本理论

第一节弹性介质与地震波一、弹性介质地震勘探的地球物理前提是地层间的弹性差异,地震勘探中将地层叫做介质;因此需要研究地层介质的弹性性质。。岩层受外力产生形变，将岩层随外力消失而恢复原形的形变称为弹性形变，产生弹性形变的介质叫弹性介质。在弹性介质内传播的地震波称地震弹性波。研究地震弹性波可用弹性波理论，如虎克定律等。可以对介质进行分类如下：•（一）各向同性介质和各向异性介质•对某一特定岩层，如果沿不同方向测定的物理性质均相同，称各向同性介质，否则是各向异性介质。（二）均匀介质、层状介质•若介质的弹性性质不仅与测定方向无关，而且与坐标位置无关，就称为均匀各向同性介质；如速度v=c（常数）。非均匀介质中，介质的性质表现出成层性，称这种介质为层状介质；其中每一层是均匀介质；不同介质层的分界处称界面（平面或曲面）；两个界面之间的间隔称为该层的厚度。界面h厚度界面将速度v是空间连续变化函数的介质定义为连续介质。连续介质是层状介质的一种极限情况。即当层状介质的层数无限增加，每层的厚度h无限减小，层状介质就过渡为连续介质，如v=v0(1+z)叫线性连续介质。V0是表层介质的速度，z是深度，是速度随深度的变化率。（一）应力与应变应力：弹性体受力后产生的恢复原来形状的内力称内应力，简称为应力。应力和外力相抗衡，阻止弹性体的形变。对于一个均匀各向同性的弹性圆柱体，设作用于s面上的法向应力为N，若力f在s面上均匀分布，则应力pn定义为Pn=f/s（1.1—1）若外力f非均匀分布，则可以取一小面元△S,作用于小面元上的外力为△f，则应力定义为dsdfsflinPn因此应力的数学定义为：单位横截面上所产生的内聚力称为应力。根据力的分解定理，可以将力分解成垂直于单元面积的应力—法向应力;相切于单元面积的应力—切向应力（剪切应力）。正应力x，y，z使介质产生纵波;切应力xy,xz,yz;ij使介质产生横波,下脚标i表示应力方向，j表示应力作用于垂直于j轴的平面。物理定义：弹性体受应力作用，产生的体积和形状的变化称为应变。只发生体积变化而形状不变的应变称正应变；反之，只发生形状变化的应变称为切应变。数学定义：弹性理论中，将单位长度所产生的形变称应变。例如，柱体原长为L,长度的变化量位△L,则应变等于△L/L3.应力与应变的关系应力与应变成正比关系的物体叫完全弹性体，虎克定律表示了应力与应变之间的线性关系。对于一维弹性体，虎克定律为F=kx对于三维弹性体，用广义虎克定律表示应力与应变之间的关系。（二）弹性模量（弹性参数）1.杨氏弹性模量（E）E表示膨胀或压缩情况下应力与应变的关系，所以又叫压缩模量。数学定义：物体受胀缩力时应力与应变之比。设沿x方向受应力为f/s,产生的应变为△L/L,则杨氏弹性模量物理定义：杨氏弹性模量表示固体对所受作用力的阻力的度量。LLsfE//固体介质对拉伸力的阻力越大，则杨氏弹性模量越大，物体越不易变形；反过来说，坚硬的不易变形的物体，杨氏弹性模量大。在拉伸变形中，物体的伸长总是伴随着垂直方向的收缩，所以把介质横向应变与纵向应变之比称泊松比，LLdd//式中加负号表示纵向拉长总是伴随着横向缩短，为使泊松比为正，要加负号。显然泊松比是表示物体变形性质的一个参数，如果介质坚硬，在同样作用力下，横向应变小，泊松比就小，可小到0.05。而对于软的未胶结的土或流体，泊松比可高达0.45-0.5。一般岩石的泊松比为0.25左右。设一物体，受到静水柱压力p的作用，产生体积形变，△v/v,其中v是物体的原体积，△v是体积变化量。但形状未发生变化。则这种情况下的应力与应变的比称为体变模量。vvpK/指物体受剪切应力作用，并发生形状变化时，应力与应变之比。如图所示，受剪切力为xy,切变角为，则剪切模量为=xy/弹性模量是阻止剪切应变的度量。液体的=0，因此没有抗剪切能力。液体内也不会产生横波。;2623;)1(2;)21(3;39KKEEKkkE弹性模量之间的关系式三、波动方程•是地震波传播规律的方程。•在不同的介质模型中，地震波传播有不同的规律，各种不同的传播规律需用不同的传播方程描述。均匀、各向同性、理想弹性介质是一种最简单的介质模型。根据固体弹性动力学理论，地震波在均匀、各向同性、理想弹性介质中传播满足以下偏微分方程222()(117)UUgradFt该式称为矢量弹性波方程。式中矢量U表示介质质点受外力(F)作用后的位移，称为位移矢量：U=U（u,v,w）u,v,w分别为三个坐标轴的位移分量。矢量F表示对介质的外力，称为力矢量，在弹性波方程中，外力F（爆炸力或锤击）既包含胀缩力(正压力)，也包含旋转力(剪切力)，位移U也包含体变和形变两部分。对(1-1-7)式两边取散度(div)，即对介质只施加胀缩力，可得纵波满足的方程2222(118)divFt同样，若对(1.1.7)式两边取旋度，即只对介质施加旋转力，可得横波满足的方程222(119)rotFt1222spvv令（1-1-10）222'2(119)svrotFtrotF代表旋转力，该式描述了在只有旋转力作用时，弹性介质只产生与形变有关的扰动，(1-1-9)式为用位移表示的横波波动方程，式中vs为横波传播速度。为使纵、横波方程简单化，在场满足一定的物理条件下，可进一步用标量位函数表达纵、横波方程。2222(1113)svt2222(1112)pvt位函数表示的纵、横波波动方程式(1-1-12)、(1-1-13)是标量位函数表示的三分量标量波动方程，(1-1-12)式是纵波标量波动方程，在波传播方程中，当速度vp、vs分别为常数，则表示均匀、各向同性、理想弹性介质中波的传播规律。假设地震波在完全弹性和各向同性的均匀介质中传播，地层介质受力后发生小形变，在远离震源处，震源作用已全部结束。这时纵波和横波位移位所满足的波动方程为齐次方程，此时只研究波动传播问题。22220(1114)pvt22220(1115)svt