【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)11.3二项式定理课件 理 新人教B版

第三节二项式定理三年10考高考指数:★★★1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1.利用通项公式求特定的项或特定项的系数，或已知某项，求指数n等是考查重点；2.赋值法、化归思想是解决二项展开式问题的基本思想和方法，也是高考考查的热点；3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题为主.1.二项式定理二项式定理二项展开式的通项公式二项式系数二项展开式中各项的系数(k=0,1,2,…,n)0n1n12n22nnnknkknnnnCaCabCabCabCb(nN)它表示第_____项knkkk1nTCab,k+1(a+b)n=knC【即时应用】(1)思考：(a+b)n展开式中，二项式系数(k=0,1,2,…,n)与展开式中项的系数一定相同吗？提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念,二项式系数是指,,,…,,它只与各项的项数有关，而与a,b无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a,b所代表的项有密切关系.knC0nC1nC2nCnnC(2)=__________.【解析】原式=(1-2)11=-1.答案：-1(3)(－)6的展开式中，x3的系数等于________.【解析】Tr＋1＝＝令得r＝2，故x3的系数为答案：15xyyxr6rr6xyC()()yx－－336rr3rr226C1xy－，36r32－，3r302－＝，226C115.－＝012311111111111111C2C4C8C2C2.二项式系数的性质对称性最大值二项式系数的和与首尾等距的两个二项式系数相等，即mnmnnCC当二项式的幂指数n是偶数时，展开式中间一项的二项式系数最大，最大值为n12Tn2nC.当二项式的幂指数n是奇数时，展开式中间两项的二项式系数相等且最大.n1n1122TT与012nnnnnnCCCC2024135n1nnnnnnCCCCCC2【即时应用】(1)二项式(1-x)4n+1的展开式中，系数最大的项为第______项.(2)若展开式中第6项的系数最大，则不含x的项等于________.【解析】(1)因为4n+1为奇数，所以展开式有4n+2项，则系数分别为所以系数最大的项为第2n+1项.(2)由已知得，第6项应为中间项，则n=10.令30-5r=0，得r=6.∴答案：(1)2n+1(2)2103n21(x)x2n2n2n14n1TCx,2n12n12n24n1TCx,2n4n1C,2n14n1C,10rr3rr305rr1101021TCx()Cx,xggg66110TC210.求二项展开式中特定的项或特定项的系数【方法点睛】1.理解二项式定理应注意的问题(1)Tr+1通项公式表示的是第“r+1”项，而不是第“r”项；(2)通项公式中a和b的位置不能颠倒；(3)展开式中第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心,以防出差错.rnC2.求特定项的步骤(1)根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n为正整数，r为非负整数，且r≤n)；(2)根据所求项的指数特征求所要求解的项.【例1】(1)(2012·大连模拟)在的展开式中，系数为有理数的项共有________项.(2)(2012·威海模拟)的展开式中常数项为______.(3)在的展开式中，系数绝对值最大的项是第几项？【解题指南】(1)先明确系数为有理数的项的特征，然后由二项展开式的通项找出符合条件的项的个数.204x3y28112x(x)x822(x)x(2)将问题转化成求的常数项及求含x-2的项，再利用二项式定理求解.(3)设第r+1项系数的绝对值最大，则该项不小于其相邻的项，据此可构造含有r的不等式组，求出r的范围后，再求项数.【规范解答】(1)∵要求系数为有理数的项，则r必须能被4整除.由0≤r≤20且r∈N知，当且仅当r=0,4,8,12,16,20时所对应的项系数为有理数.答案：681(x)x1rr20rrrr20rr44r12020TCx(3)yC3xy,g(2)先求的展开式中常数项以及含x-2的项；由8-2r=0得r=4，由8-2r=-2得r=5;即的展开式中常数项为,含x-2的项为∴的展开式中常数项为答案：-4281(x)xrr8rrr82rr1881TCx()C1x,x81(x)x48C5528C1x,28112x(x)x4588C2C42.(3)设第r+1项系数的绝对值最大，则故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.5r8r4rrrrr2r18822TCx()1C2xxgrrr1r188C2C2rrr1r188C2C2,128rr1 5r621r9r，即：，【反思·感悟】求二项式n次幂的展开式中的特定项，一般利用结合律，借助于二项式定理的通项求解；当幂指数比较小时，可以直接写出展开式的全部或局部.二项式系数和或各项的系数和【方法点睛】赋值法的应用(1)对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可.(2)若f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为偶数项系数之和为【提醒】“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意.024f1f1aaa,2135f1f1aaa.2【例2】设(3x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4.(1)求a0+a1+a2+a3+a4;(2)求a0+a2+a4;(3)求a1+a3;(4)求a1+a2+a3+a4;(5)求各项二项式系数的和.【解题指南】本题给出二项式及其二项展开式，求各项系数和或部分项系数和，可用赋值法，即令x取特殊值来解决.【规范解答】(1)令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(3-1)4=16.(2)令x=-1得a0-a1+a2-a3+a4=(-3-1)4=256,而由(1)知a0+a1+a2+a3+a4=(3-1)4=16.两式相加，得a0+a2+a4=136.(3)由(1)、(2)得(a0+a1+a2+a3+a4)-(a0+a2+a4)=a1+a3=-120.(4)令x=0得a0=1，亦得a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4-a0=16-1=15.(5)各项二项式系数的和为01234444444CCCCC216.【反思·感悟】①在求解本例第(4)题时容易忽略a0的值导致错解.②运用赋值法求值时应充分抓住代数式的结构特征，通过一些特殊值代入构造相应的结构.二项式定理的综合应用【方法点睛】二项式定理的综合应用(1)利用二项式定理做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1+x)n≈1+nx.(2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题:在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧.(3)利用二项式定理证明不等式:由于(a+b)n的展开式共有n+1项，故可以对某些项进行取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的.【例3】(1)求证：4×6n＋5n＋1－9能被20整除.(2)根据所要求的精确度，求1.025的近似值.(精确到0.01).【解题指南】(1)将6拆成“5+1”，将5拆成“4+1”,进而利用二项式定理求解.(2)把1.025转化为二项式，适当展开，根据精确度的要求取必要的几项即可.【规范解答】(1)4×6n＋5n＋1－9＝4(6n－1)＋5(5n－1)＝4［(5＋1)n－1］＋5［(4＋1)n－1］＝20［(5n－1＋Cn15n－2＋…＋Cnn－1)＋(4n－1＋Cn14n－2＋…＋Cnn－1)］，是20的倍数，所以4×6n＋5n＋1－9能被20整除.(2)1.025=(1+0.02)5=1+C51·0.02+C52·0.022+C53·0.023+C54·0.024+C55·0.025∵C52×0.022=0.004,C53×0.023=8×10-5∴当精确到0.01时，只要展开式的前三项和，1+0.10+0.004=1.104，近似值为1.10.【反思·感悟】利用二项式定理证明整除问题时，首先需注意(a＋b)n中，a，b中有一个是除数的倍数；其次展开式有什么规律，余项是什么，必须清楚.【易错误区】对展开式中的项考虑不全面而致误【典例】(2011·新课标全国卷)的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()(A)-40(B)-20(C)20(D)405a1(x)(2x)xx【解题指南】用赋值法求各项系数和，确定a的值，然后再求常数项.【规范解答】选D.令x=1，可得的展开式中各项系数和为1+a，∴1+a=2，即a=1.∵的通项公式∴的展开式中的常数项为5a1(x)(2x)xx51(2x)x5rrrrr5r52rr1551TC2x()C21x.x511(x)(2x)xx3232123551xC21xC21x40.x【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时有两点容易出错：(1)各项系数的和与二项式系数和混淆，不能准确求出a的值；(2)对展开式中的常数项的构成考虑不全面，造成计算错误.备考建议解决二项展开式问题时，还有以下几点容易失误，在备考时要高度关注：(1)二项展开式的通项Tr+1中项数与r的关系搞不清；(2)不能正确写出二项式通项公式导致错误；(3)对于二项式定理的应用不会逆用公式而导致错误；(4)在展开(a-b)n时忽略中间的“-”号.在解决这些问题时，一定要准确理解题意，正确运用二项展开式的通项进行运算，才能避免此类错误.1.(2011·陕西高考)(4x-2-x)6(x∈R)展开式中的常数项是()(A)-20(B)-15(C)15(D)20【解析】选C.Tr+1=C6r(4x)6-r(-2-x)r=C6r·22x(6-r)·(-1)r·2-xr=C6r·(-1)r·212x-3xr令12x-3xr=0，则r=4，所以T5=C64=15，故选C.2.(2011·山东高考)若展开式的常数项为60，则常数a的值为________.【解析】由二项式定理的展开式Tk+1=令6-3k=0，则k=2,答案：462a(x)x62a(x)xkk6kkk63k662aCx()Cax,x226Ca15a60,a4.3.(2011·浙江高考)设二项式的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是________.【解析】令r=2,得A=C62·a2=15a2;令r=4,得B=C64·a4=15a4由B=4A可得a2=4，又a＞0，所以a=2.答案：26a(x)(a0)x＞3r6rr6rrr2r166aTCx()aCxx