【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)8.9曲线与方程(含轨迹问题)课件 理 新

第九节曲线与方程(含轨迹问题)三年4考高考指数:★★1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.1.求点的轨迹、轨迹方程是高考的重点;一般用直接法、定义法或相关点法求解,所求轨迹一般为圆锥曲线；2.经常在解答题的第一问中出现，属中低档题目；有时也在选择、填空题中出现.1.曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程F(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线C上点的坐标都是_________________；(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在_______上.那么，这个方程叫做____________，这条曲线叫做____________________.方程F(x,y)=0的解曲线C曲线C的方程方程F(x,y)=0的曲线【即时应用】(1)思考：在“方程的曲线与曲线的方程”的定义中，若只满足“曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解”，那么这个方程是该曲线的方程吗？提示：不一定是.因为只满足“曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解”说明这条曲线可能只是方程所表示曲线的一部分，而非整个方程的曲线.(2)思考：在“方程的曲线与曲线的方程”的定义中，若只满足“以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上”，那么该曲线是这个方程的曲线吗？提示：不一定是.因为只满足“以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上”说明这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程.(3)方程x2+xy=x所表示的曲线是_________.【解析】因为方程x2+xy=x可化为：x(x+y-1)=0，所以x=0或x+y-1=0，它们表示两条直线,因此方程x2+xy=x表示的曲线为两条直线.答案：两条直线2.求曲线方程的基本步骤建系设点列式代换验证建立适当的平面直角坐标系轨迹上的任意一点一般设为P（x，y）列出或找出动点P满足的等式将得到的等式转化为关于x、y的方程验证所求方程即为所求的轨迹方程【即时应用】(1)已知点A(-2,0)、B(-3,0)，动点P(x,y)满足则点P的轨迹方程是__________.(2)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为___________.【解析】(1)由题意得=(-2-x,-y),=(-3-x,-y)，所以=(-2-x,-y)·(-3-x,-y),又因为=x2+1,所以(-2-x,-y)·(-3-x,-y)=x2+1,化简得：y2+5x+5=0.2PAPBx1，PAPBPAPBPAPB(2)设点A(x,y)，因为B(0,0)，所以AB的中点又C(5,0),|CD|=3，所以化简得：(x-10)2+y2=36.又∵△ABC中的三点A、B、C不能共线，所以去掉点(4,0)和(16,0).答案：(1)y2+5x+5=0(2)(x-10)2+y2=36(除去点(4,0)和(16,0))xyD(,),2222xy(5)(0)3,22直接法求轨迹方程【方法点睛】直接法求轨迹方程及注意问题(1)如果动点运动的轨迹简单明确，易于表示成含x、y的等式，从而得到轨迹方程，这种方法称之为直接法.(2)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点.(3)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.【例1】(1)已知点M、N为两个定点，|MN|=6,且动点P满足求点P的轨迹方程.(2)已知直角坐标平面上的点Q(2,0)和圆C：x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程.【解题指南】(1)先建立平面直角坐标系，设出动点P的坐标，依据得出轨迹方程；(2)可设出动点M的坐标，依据动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ＞0)即可得出方程.PMPN6，PMPN6【规范解答】(1)以点M、N所在的直线为x轴，MN的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则M(-3,0)、N(3,0),设P(x,y)，则=(-3-x,-y)，=(3-x,-y),=(-3-x,-y)·(3-x,-y)，又因为=6,所以(-3-x,-y)·(3-x,-y)=6，化简整理得：x2+y2=15.PMPNPMPNPMPN(2)设直线MN切圆C于N点，则动点M的集合为：P={M||MN|=λ|MQ|}，因为圆C的半径|CN|=1,所以|MN|2=|MC|2-|CN|2=|MC|2-1，设点M的坐标为M(x,y)，则化简整理得：(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+1+4λ2=0(λ＞0).2222(xy)1(x2)y，【反思·感悟】1.从两个题目的求解可以看出，求轨迹的方程，其关键是建立平面直角坐标系后寻找等量关系，从而得出方程；2.求解轨迹方程时，一定要注意检验，以防产生增根或漏解.定义法求轨迹方程【方法点睛】定义法求轨迹方程及注意问题(1)若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是理解有关曲线的定义.(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.【例2】(1)(2012·济南模拟)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是()(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线(2)已知动圆P与圆C1:(x+5)2+y2=9和圆C2:(x-5)2+y2=1都外切，求动圆圆心P的轨迹方程.【解题指南】(1)由椭圆的焦点三角形的中位线及椭圆的定义可得;(2)由动圆P与圆C1、圆C2均外切得出|C1P|=r+3，|C2P|=r+1，由此得到|C1P|-|C2P|=2，由双曲线的定义即可得出所求轨迹及轨迹方程.【规范解答】(1)选B.如图所示，设椭圆其中ab0.由题知|PF1|+|PF2|=2a，连MO，由三角形的中位线可得：|F1M|+|MO|=a(a|F1O|),则动点M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆，故选B.2222xy1ab，(2)设动圆圆心P的坐标为P(x,y)，半径为r，因为动圆P与圆C1外切，所以|C1P|=r+3，又动圆P与圆C2外切，所以|C2P|=r+1，因此|C1P|-|C2P|=2，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的一支(右支).由圆C1:(x+5)2+y2=9和圆C2:(x-5)2+y2=1可知：C1(-5,0)、C2(5,0)，所以双曲线的实轴长为2，焦距为10，所以所求轨迹方程为22yx1x1.24【反思·感悟】1.本例两个题目都是求轨迹方程，它们的共同特点是利用题设条件，找到符合某种曲线的定义，即得出点的轨迹，进而求出轨迹方程；2.利用定义求轨迹或轨迹方程时，一定要注意曲线定义的内涵及外延，有一点不符合定义就有可能得出另外的结论.相关点(代入)法求轨迹方程【方法点睛】相关点(代入)法求轨迹方程的解题思路动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x′,y′)的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x′、y′表示成x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，整理化简即得动点P的轨迹方程.【提醒】用代入法求轨迹方程是将x′、y′表示成x、y的式子，同时注意x′、y′的限制条件.【例3】设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.【解题指南】设点N，M，P的坐标分别为N(x,y)，M(x′,0)，P(0,y′),可由已知条件得出x′、y′与x、y之间的关系，同时得到x′、y′满足的方程，用代入法即可求出轨迹方程.【规范解答】设M(x′,0),P(0,y′)，N(x,y),由得(x-x′,y)=2(-x′,y′),所以解得MN2MP，PMPF，MN2MP，xx2xy2y，xxyy2，又因为=(x′,-y′)，=(1,-y′),所以(x′,-y′)·(1,-y′)=0,即x′+y′2=0,所以即y2=4x.因此所求的轨迹方程为y2=4x.PMPF，PMPF2yx()02，【反思·感悟】1.解答本题的关键是从已知条件中发现x′、y′之间的关系式及x′、y′与x、y之间的关系；2.用代入法求轨迹方程，关键是发现相关点的轨迹方程，同时要注意验证应该删除的点或遗漏的点，以防增解或漏解.【满分指导】求轨迹方程主观题的规范解答【典例】(12分)(2011·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，直线l:x=-2交x轴于点A.设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP.(1)当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；(2)已知T(1，-1)，设H是E上的动点,求|HO|+|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；(3)过点T(1，-1)且不平行于y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取值范围.【解题指南】(1)由已知可得，动点M到直线l与到原点O的距离相等，或点M在x轴负半轴上，从而可求出轨迹方程；(2)利用抛物线的定义，其上的点到准线的距离等于到焦点的距离，可得答案；(3)由几何性质可得结论.【规范解答】(1)如图所示，连接OM，则|PM|=|OM|,∵∠MPO=∠AOP,∴动点M满足MP⊥l,或M在x轴的负半轴上，设M(x,y),xyoMAlx=-2PM①当MP⊥l时，|MP|=|x+2|,|OM|=|x+2|=化简得y2=4x+4(x≥-1).………………………2分②当M在x轴的负半轴上时，y=0(x＜-1).综上所述，点M的轨迹E的方程为y2=4x+4(x≥-1)或y=0(x＜-1).……………………………………………………………………4分22xy，22xy，(2)由(1)知M的轨迹E是顶点为(-1,0)，焦点为原点的抛物线和y=0(x＜-1).①若H是抛物线上的动点，过H作HN⊥l于N，由于l是抛物线的准线，根据抛物线的定义有xyolx=-2NN′H′TH|HO|=|HN|，则|HO|+|HT|=|HN|+|HT|当N，H，T三点共线时，|HN|+|HT|有最小值,|TN|=3，求得此时H的坐标为…………………………6分②若H是y=0(x＜-1)上的动点,显然有|HO|+|HT|＞3,综上所述，|HO|+|HT|的最小值为3,此时点H的坐标为……………………………………………………………………8分3(,1).43(,1).4(3)如图，设抛物线顶点B(-1,0)，则直线BT的斜率∵点T(1,-1)在抛物线内部,∴过点T且不平行于x,y轴的直线l1必与抛物线有两个交点，则直线l1与轨迹E的交点个数分以下四种情况讨论：BT1k,2xyol1l1l1TB①当k≤时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点,②当＜k＜0时，直线l1与轨迹E有且只有三个不同的交点,………………………………………………………………………10分③当k=0时，直线l1与轨迹E有且只有一个交点，④当k＞0时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点.综上所述，直线l1的斜率k的取值范围是(-∞,］∪(0,+∞).………………………………………………………………………12分121212【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示解答本题时有两点容易造成失分:(1)对于第(1)问中，点M的位置没有分类讨论，只按照一种情形解答；(2)求第(3)问中k的取值范围时，不要忽视轨迹E可能为一条射线，亦可能为一条抛物线，另需分k=0或k≠0讨论，以免漏解.备考建议解决轨迹的问题时，要注意以下几点：(1)当动点(