江苏省高数专转本冲刺班数学习题训练9至12讲

第九讲：定积分的概念与微积分基本定理的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1．设初等函数fx在区间,ab有定义，则fx在,ab上一定（C）A．可导B．可微C．可积D．不连续解：初等函数在定义区间内必连续，连续必可积。2．若f连续，下列各式正确的是（D）A．badfxdxfxdxB．dfxdxfxdxdxC．bxdftdtfxdxD．xadftdtfxdx解：xaddftdtFxfxdxdx选D3．下列关系式中正确的是（B）A．21100xxedxedxB．21100xxedxedxC．21100xxedxedxD．以上都不对解：（1）在0,1区间内：22xxxxee（2）由比较定理：21100xxedxedx选B4．下列各式中，正确的是（B）A．21001xedxB．2101xedxeC．2120xeedxeD．以上都不对解：（1）令2xfxe，2'20xfxex，0,1xfx（2）01,01Mfemfe由估值定理：2101xedxe5．下列函数在区间1,1上可用牛顿——莱布尼兹公式的是（A）A．21xxB．1xC．31xD．21xx解：2112112211111220211dxxdxxxx，选A6．设在,ab上，0,'0,''0fxfxfx记110Sfxdx，2Sfbba，32baSfbfa，则有（B）A．123SSSB．213SSSC．312SSSD．231SSS解：选B二、填空题（每小题4分，共24分）7．020sinln14limtan121xxttdtxx解：原式=002sinln14lim122xxttdtxx3044lim3'xxxx8．设fx连续，且xexFxftdt，则'Fx解：''xxFxfeefxxxefefx9．设'fx连续，则10'2xfdx解：111000''22222xxxxfdxfdf=202xff10．设120121fxfxdxx则10fxdx解：令10fxdxA，1112000121fxdxdxAdxx10arctan2AxA，12A11．设fx连续，且21301,(1)xftdtxx则8f解：2223123,12fxxxfxx，令218,3xx，故982f12．设01xytdt，则y的极小值为解：（1）'10yx驻点1x，（2）''10.1yx为极小值点，（３）极小值101111122yxdx三、计算题（每小题8分，共64分）13．方程00cos0yxtedttdt，确定yyx，求0xdydx解：（1）'cos0yeyx（2）当0x时，00ytedt，00tey（3）000'cos00,'10eyy，故有01xdydx14．设fx在0,1连续，且满足132043fxxxfxdx，求fx解：（1）fx在0,1连续，令10fxdxA（2）1113200043fxdxxdxAxdx413100,1AxAxAA故有121,2AA（3）32342fxxx15．讨论方程4013101xxdtt在区间0,1内实根的个数解：（1）令401311xfxxdtt41'301fxfxx故0fx至多有一实根（2）fx在0,1连续，且010f140113121101fdtt由零点定理，至少有一实根（3）综上所述：0fx在0,1有且仅有一个实根16．设fx在,ab连续，且在,ab单调减少，讨论1xaFxftdtxa在区间,ab的单调性解：2'xafxxaftdtFxxa，由积分中值定理xaftdtfxaax2'fxfxaFxxafx在,ab，ffx，故'0Fx在,ab单调减少17．求2220020limxtxxtedttedt解：原式=2222002limxtxxxxedtexee=22202lim2xxxxeexex202lim212xx18．设2xaxFxftdtxa其中f为连续函数，求limxaFx解：22limlimxxaaxaxaftdtxftdtaxaxa22limxafafxafa连续19．设01122xftdtfx，且fx可导，0fx，求fx解：（1）1'2fxfx且01f（2）'2fxfx，1ln2fxxc，2xfxce由01f得1c，故有2xfxe20．若fx为连续的奇函数，判别0xftdt的奇偶性解：令0,,xFxftdtx00xxtuFxftdtfudu00xxffuduftdtFx为奇函数故0xftdt为偶函数同理：若fx为连续偶函数，则0xftdt为奇函数四、综合题（每小题10分，共20分）21．设2021cos010121cos0xtdtxxFxxxxx讨论Fx在0x处的连续性和可导性解：（1）22200221cos2limlim1xxxxxx22000coslimlimcos1xxxtdtxx且01F故Fx在0x处连续（2）22'30021cos122cos0limlimxxxxxxFxx2002sin2cos1limlim332xxxxxxx2022lim03xxx22'0200coscos10limlim02xxxtdtxxFxx''000FF，故Fx在0x处可导22．利用拉格郎日中值定理的推论，计算22sincos00arcsinarccosxxtdttdt之值，其中02x解：（1）令22sincos00arcsinarccosxxFxtdttdt22'arcsinsinsin'arccoscoscos'Fxxxxxsin2sin20xxxx由拉格郎日中值定理的推论知：FxC0,2x（2）确定常数C，0,42x112200arcsinarccostdttdtC120arcsinarccosCttdt120arcsinarccos22xxdt12024t故有22sincos00arcsinarccos4xxtdttdt五、证明题（每小题9分，共18分）23．证明21224022xxeedxe证：（1）令2,0,2xxfxex（2）2'21xxfxex。令'0fx，驻点12x（3）0(0)1fe，422(2)fee11142412fee（4）比较上述函数值大小：124,meMe，由估值定理知：21224022xxeedxe证毕24．若fx在,ab连续，且0fx，又1xxabFxftdtdtft，证明0Fx在,ab有且只有一实根证：（1）1'0FxfxfxxF在,ab单调增，故0Fx在,ab至多有一实根（2）Fx在,ab连续，且10abFadtft，10abFbdtft由零点定理知：0Fx在,ab至少有一实根（3）综上所述：0Fx在,ab有且只有一实根证毕选作题：若fx为连续偶函数，判别xaftdt的奇偶性，（a为常数）解：（1）当0a时，0xftdtFx00xxtuFxftdtfudu0xffuduFx为偶函数Fx为奇函数（2）0a时，00()()xxaaftdtftdtftdt=偶函数+奇函数=非奇非偶函数第十讲：定积分的计算方法与广义积分的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1．设sinxx是fx的一个原函数，则2'xfxdx（A）A．41B．41C．14D．14解：（1）sinxFxx2cossin'xxxfxFxx（2）原式=2222cossinsinxxxxxdfxxxx22sin44cos211xx选A2．已知01f，12f，'13f，则10''xfxdx（B）A．1B．2C．3D．4解:原式=111000'''xdfxxfxfxdx10'10'110ffxfff=3212选B3．下列积分为零的是（D）A．0dxB．1311dxxC．1221tanxxdxD．33sincosxxdxx解：sinxx为奇函数，cosx为偶函数sincosxx为奇函数，故33sin0cosxxdxx选D4．下列广义积分收敛的是（A）A．211dxxB．101dxxC．1201dxxD．11dxx解：11dxx收敛21p（或12211111limlim011bbbbdxdxxxx）选A5．2007221sinxxxdx（C）A．0B．1C．2D．2解：原式=20082222sinsinxxdxxxdx2220002cos02cos2sin2xdxxxx选C6．设fx为线性函数，且112111fxdxfxdx则（C）A．12fxxB．12fxxC．3122fxxD．3142fxx解：（1）1110212axbdxbb（2）2111axbdx122211211432axaxdxa233,42aa故3122fxx选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．111221xedxx=解：原式=11112112211xxedeeeeex8．1201xxdx解：原式=12201112xdx321201111101123312x9．3sincosxxxdx解：原式=3cossincosxxdxxxdx00010．21