自动控制原理课件 第四章 根轨迹法

第四章根轨迹法§1反馈系统的根轨迹)(,.1locusrootS轨迹。平面内变化的轨迹称根式的根在闭环系统特征方程到无穷变化时开环系统某一参数从零根轨迹的概念C(s)R(s))15.0(SSK2k-1--1s2k-1-1s:02k2ss22ss2k)()((s))2(2)(.2122两闭环极点为系统的特征方程为该系统的闭环传函为图所示设有一单位反馈系统如例ksRsCsskSG.k,1-2kj-1s1/2k-1s1/2k,s2102s0s0k:01,2212121沿上述直线趋于无穷远时上位于垂直与实轴的直线实部相同时时均为负实数时同闭环极点与开环极点相时极点分布的影响到无穷变化对系统闭环从下面分析参数sskk-20KK2k-1--1s2k-1-1s210.5k0.5k0.5k0:,,:k,:2.欠阻尼临界阻尼过阻尼动态性能数确定对应的静态误差系同时可以确定系统的型别根据坐标原点的根数稳态性能即为临界增益与虚轴交点处的右半平面根轨迹若越过虚轴进入稳定性根轨迹与系统性能s)()()()((S)kkklfmhqn)()()()(KG(S)H(S))()(KH(S))()(KG(S)(S).31111HG111111H11GG(S)H(S)1G(S)jmjinijhjifiGjhjiqijljifijhjjljiqiifiZSKPSPSZSKPSPSZSZSPSZSPSZS则一般开环传函可以写成函为如图所示系统的闭环传点之间的关系闭环零极点与开环零极G(s)C(s)R(s)H(s).,:,(3),;(2).,;,(1):找出闭环极点方法通过图解的点的分布及根轨迹增益如何由已知的开环零极迹法的基本任务根轨益均有关开环极点以及根轨迹增闭环极点与开环零点零点闭环零点就是开环对于单位反馈系统的极点所组成函传馈通路路传递函数的零点和反闭环零点由开环前向通统根轨迹的增益环系就等于开闭环系统根轨迹的增益对于单位反馈系统增益根轨迹等于开环系统前向通道闭环系统根轨迹增益结论n1im1i1m121m21)p-(s-)z-(sG(s)H(s)||||K|G(s)H(s)|)2,1,0,(i360180G(s)H(s)1|G(s)H(s)|)())(()z-(s)z-)(sz-K(sG(s)H(s)-1G(s)H(s)0(s)H(s)1..4iiiniiinpszsipspspsG相角条件幅值条件的集合根轨迹是所有闭环极点根轨迹方程§2绘制根轨迹的基本规则)1,,1,0(12::.4,3.2.1.80.1a11amnlmnlmnZPnimiii渐近线与实轴的交角渐近线与实轴的交点根轨迹的渐近线远点终止于开环零点或无穷根轨迹起始于开环极点根轨迹的起点与终点于实轴的曲线根轨迹是连续的且对称性根轨迹的连续性与对称程的阶数环极点数或等于特征方根轨迹的分支数等于闭根轨迹分支数根轨迹的绘制规则一:G(S).)22)(4(1)K(S2解确定根轨迹的有关数据试根据目前所知的法则为设控制系统的开环传函例SSSS)2(300)1(180)0(6067.114)1()1()1()4(0,3m-(3)n(2)1Zj--1Pj,-1P-4,P0,P(1)35)12(a33)12(a31)12(aa14321llljjmnlmnlmnl与实轴的交角为为其渐近线与实轴的交点条根轨迹终止于无穷远实轴有四条根轨迹且对称于和无穷远终止于根轨迹起始于-4-3-2-10dsdk0dsd)(.6,.5)()(11SZSPSimiini分离点与会合点根轨迹与实轴的交点则该区域必是根轨迹数之和为奇数若其右边开环零极点个实轴上的某一区域实轴上的根轨迹)(577.1423.002630)]2)(1([300,180,601:.)2)(1()()(.212dsdaa舍解试画出其根轨迹传函为已知某负反馈系统开环例ssssSSSkSHSG)(577.1423.002630)]2)(1([300,180,601:.)2)(1()()(.212dsdaa舍解试画出其根轨迹传函为已知某负反馈系统开环例ssssSSSkSHSG-2-106K(rad/S)2002-0k3-0kj23-j-,(2)K0)])H(jG(jIm[10,)])H(jG(jRe[10))H(jG(j10)()(1(1).7C2,313223c由此解得交点可求得根轨迹与虚轴的接上例判据应用及解得令得代入把根轨迹与虚轴的交点RouthsHsGjsmljjjlnjjlnljjjlmjjlZZPZPPZP11Zl11Pl)()(180)()(180::8.与实轴正方向的夹角点处的切线方向根轨迹进入开环复数零入射角与实轴正方向的夹角点处的切线方向根轨迹离开开环复数极出射角角根轨迹的出射角与入射∠（p1-p2）∠（p1-z1）∠（p1-p3）θp1Az1p3p2p1)()()()360180(360180)()()(312111001003121111ppppzpiippppzppp:G(S).)5.15.0)(5.15.0)(5.2(j)-2j)(S21.5)(SK(S解迹试绘制系统的概略根轨设系统开环传函为例jSjSSS5.149117-90-1211991535.631807937-90-108.5-591956.5-180,(4)(3)180(2)][-2.5,-[0,-1.5]-2.5pj1.5-0.5pj1.5--0.5p0p(1)z1p24321入射角出射角无分离点一条渐近线实轴上的根轨迹起始点-1-2θ1=108.5°90°59°37°19°56.5°7937905.10859195.561802p90°121°153°199°63.5°117°5.149117901211991535.631801z-20n1i01i-1nn1iin21n2101-1n-1nn0,sa)(-as,0)s-(s)s-)(ss-(s,s,,s,s0asasas.9assiiin故有对于稳定系统有关系由代数方程根与系数的则有设根为闭环极点的和与积322j-3s-s--3s-3s02s3ss0G(s)H(s)1:..2)2)(1()()(.2133212332,1jssksjssssksHsG解三闭环极点试确定这种情况下的第闭环极点的两个的根轨迹与虚轴相交时已知系统例:.G(S)H(S)1..K.1020)4S4)(SS(SK||||||||||||22121解的草图试绘制该系统的根轨迹传函为已知负反馈系统的开环例根轨迹的绘制二开环增益的求取mlllnlllZSZSZSPSPSPSl)45(3153)135(225213514502(3)[0,-4](2)j4--2Pj4,-2P-4,P0,P(1)47a45a43a4a4)12(a4224a4321lllll渐近线实轴上的根轨迹开环极点为0-4p1p2p3p4A10jS026026S260k0kS0Sk26S0808Sk361S0k80S36S8SS)6(909090)180(180(5)j2.5--2sj2.5-2s-2s02018s6ss0)]204)(4([)()4(2268k-80260268k-80261234234p4241241p3321232dsd得根轨迹与虚轴的交点出射角解得的分离点与实轴交点根轨迹tgtgssss1006.25)(46.51.55.225.22)5.24()5.24(K)7(2222A点的增益A8.16k1.1j(4)-71.6(3)-2.3(2)135,4525.1(1)cpiaa分离点-3-2.5:2)2S3)(SS(SG(S)H(S)2.2解例K高阶系统的试差求解02411124-11-1-1.525.0111.111-96.02524-22.5-9.99-0.9-5.0327.111.310.9-88.027.124-18.97-7.91-0.7-0.7-7.03524-2435121024351223取取取sss§3广义根轨迹.,2.1)-m-n,0,1,(1.:,,180i3600G(S)H(S)1|G(S)H(S)|1G(S)H(S)0G(S)H(S)-1.2a则该区域为根轨迹极点为偶数某一区域若其右侧的零实轴上的根轨迹渐近线与实轴的交角现说明如下改相关的一些规则需作修只是与相角条件根轨迹的绘制基本相同零度根轨迹的绘制与分别为故幅值条件和相角条件对于正反馈系统零度根轨迹一lmnl.K,G(S)H(S).0]G(jw)H(jw)-Im[10]G(jw)H(jw)-Re[1.4)()(0)()(0.3C)22)(3(2)K(S11zl11pl2确定临界增益图试绘制该系统的根轨迹传函为设某正反馈系统的开环例根轨迹与虚轴的交点入射角与出射角SSSmljjjlnjjlnljjjlmjjlZZPZPPZP.01G(S)H(S)0)()(1,:)22)(3(2)k(S2根轨迹的规则来绘制因此需按这样根轨迹方程为则有因给定系统为正反馈解SSSSHSG3k03k6.716.716.269045900(4)-0.8s02236s21s4s0][(3)180,01,0(2)-2Zj--1pj,-1p-3,p1m3,n)1(c|)2(0||(-3)-0||j)-(-1-0||j)(-1-0|cp32111p223)2()22)(3(dsdaa22a13212临界增益出射角根轨迹与实轴交点无需计算渐近线开环零点开环极点arctgarctglasssssl-3-2-1p2p3k1p1Kc=3:.)164(3)2S-k(-SG(S)H(S).)(S::.22解图试绘制该系统的根轨迹开环传递函数为设某非最小相位系统的例零点或极点和平面的右半部具有开环非最小相位系统平面的左半部点均位于反馈系统的全部开环极最小相位系统迹非最小相位系统的根轨二SSSS3.07k,3.140k0,3.53.53.6021Z-3Z3j2-2P0P1)164(3)-2Sk(S:1)164(3)2S-k(-S3,21P3P2a21212222mnlSSSSSS标准化处理为-1)()(0)()(1