自动控制理论第四章 线性系统的根轨迹分析

•控制系统的稳定性，由其闭环极点唯一确定，系统暂态响应和稳态响应的基本特性与系统的闭环零、极点在Ｓ平面上分布的位置有关。因此,在分析系统性能时,需要定量研究系统的一个或者多个参量在一定范围内变化时,系统闭环极点的位置变化以及对系统性能的影响。第四章线性系统的根轨迹分析•1948年,伊万斯（W.R.Evans）根据反馈系统开、闭环传递函数之间的内在联系,提出了直接由开环传递函数寻求闭环特征根（即闭环极点）移动轨迹的方法,建立了一套绘制根轨迹的规则,这就是被广泛应用的根轨迹法。该方法可以简便、直观地分析系统特征根与系统参数之间的关系。适用于单闭环系统,也可用于多闭环系统。•根轨迹法作为经典控制理论的基本方法,与频率特性法互为补充,是分析和研究自动控制系统的有效工具。•实际上，我们可以利用matlab方便地绘制系统的根轨迹图。第一节根轨迹的基本概念第二节绘制根轨迹的方法第三节参量根轨迹和多回路系统根轨迹第四节正反馈系统和零度根轨迹第五节利用根轨迹分析系统的暂态性能第六节延迟系统的根轨迹本章小结、重点和习题本章内容例如图所示的闭环传函为：特征方程的根为KSSKSRSC2)()(02KSSKS4121211KS4121212)1(SSKR(S)C(S)图4-1二阶系统第一节根轨迹的基本概念如果系统的开环增益K（根轨迹增益K1）从0向变化时，系统闭环特征根在复平面上的变化情况绘制为曲线，如图所示。这样获得的曲线称为K1从0向变化时系统的根轨迹。K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化参数)发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描绘的曲线称系统的根轨迹。一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变参量可以是系统的任意参量。以系统根轨迹增益K1为可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹。以其它参数为变量绘制的根轨迹称为参量根轨迹。３．暂态性能（１）当０＜Ｋ＜０.25时，闭环特征根为实根，系统是过阻尼状态，阶跃响应为非周期过程。（２）当Ｋ＝０.25时，两特征根会重合，均为－0.5，系统处于临界阻尼状态。（３）当Ｋ＞０.25时，两特征根变为共轭复根，系统处于欠阻尼状态，阶跃响应为衰减震荡过程。K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ从系统的根轨迹图，可以获得下述信息:１.稳定性：因为根轨迹全部位于左半Ｓ平面，故闭环系统对所有的Ｋ值都是稳定的。图4-2二阶系统的根轨迹２.稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点的极点，所以为I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。由以上分析得知：根轨迹表明了系统参数对闭环极点分布的影响，通过它可以分析系统的稳定性、稳态和暂态性能与系统参数之间的关系。利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析：（1）判断该系统在K1从0到变化时的稳定性；（2）判断系统在K1从0到变化时根轨迹的条数；（3）判断该系统K1取值在何范围时处于过阻尼、临界阻尼和欠阻尼状态；（4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性；（5）当K1值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系统闭环性能指标；或反之；一、绘制根轨迹的基本条件讨论图4-3所示系统，特征方程为1＋G(s)H(s)=0或G(s)H(s)=-1根据复数等式两边的幅值和相角应分别相等的原则，可得绘制系统根轨迹的基本条件，即：幅值条件和相角条件：以上条件是判断复平面上某点是否在系统根轨迹上的充要条件。图4-3系统方框图第二节绘制根轨迹的基本方法，，，210q),12(180)()(qSHSG1)()(SHSG…•系统开环传递函数通常可以写成两种因子形式，即时间常数表达式和零极点表达式。（1）时间常数表达式：（2）零极点表达式：此时幅值条件和相角条件分别为：1111niimjjpszsK180)12()()(11mjniijqpszs,2,1,0q…（＊）（＊＊）一、绘制根轨迹的条件njjmiissTKsHsG11)1()1()()(njjmiipszsKsHsG111)()()()(miinjjzspsK111在实际绘制根轨迹时，只要依据相角条件就可以绘制根轨迹，而幅值条件主要用于确定根轨迹上各点对应的根轨迹增益K1值。【例4-1】单位反馈系统的开环传递函数为:试检验S1=-1.5+j2.5是否为该系统根轨迹上的点；如果是，则确定与它相对应的K1值是多少。满足相角条件,s1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。)6.6)(2()4()(1ssssKsG解:（1）确定开环零、极点,并标注到复平面上p1=0,p2=-2,p3=-6.6,z1=-4，76.18011.2669.7896.12045)5.21.5()5.25.0()5.25.1()5.25.2()6.6()2()4(1111jjjjssss（2）将s1坐标带入相角条件：根据相角条件确定根轨迹上的点S1：１．以S1到各零极点连直线；２．用量角器量∠s1–p1,…等各个角．３．将量好的值代入相角条件，若等式成立，则s1就是根轨迹上的点．本例说明的是一种试探法绘制系统根轨迹的例子,十分烦琐。图4-4例4-1图（3）利用幅值条件求得与s1相对应的K1值。11111(2)(6.6)(4)sssKs1.52.50.52.55.12.52.52.5jjjj11.94在绘制根轨迹时，在感兴趣的区段，要比较细致地绘制，可用试探法，根据相角条件确定几个根轨迹上的点。允许有一定的误差，比如±５°。而其它区段的根轨迹则可根据一些规则迅速的勾画出来。绘制根轨迹图时，Ｓ平面虚轴和实轴的坐标比例应取得一致。绘制根轨迹的基本规则实际上是系统根轨迹的一些基本性质，掌握了这些基本规则，将能帮助我们更准确、更迅速的绘制根轨迹。二、绘制根轨迹的基本规则规则2：根轨迹的起点与终点。起始点：K1=0时的闭环极点，即系统的开环极点。起始点与终止点个数相等，均为n；终止点：（1）有限值终止点：当K1时，有m条分支趋向开环零点；（2）无限远终止点：n-m条分支趋向无穷远处,需要确定其方位和走向。规则1：根轨迹的分支数和对称性。根轨迹的分支数等于特征方程的阶数n；根轨迹对称于实轴。1111)()(Kpszsniimjj幅值条件改写当，必有Ｓ＝，即起点是开环极点。当，必有Ｓ＝，即终点是开环零点。01K1Kipjz但在控制系统中，总有nm，所以根轨迹从n个开环极点处起始，到m个开环零点处终止，剩下的n－m条根轨迹将趋于无穷远处。举例如题，，起点：０，－１，无零点，n=２，m=0，n－m=2，有两条根轨迹→∞)1()(SSKSGK=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ规则3:实轴上的根轨迹。实轴上某线段右边的实零点和实极点总数为奇数时，这些线段就是根轨迹的一部分。如图4-5所示。图4-5实轴上的根轨迹证明：s1左边每个开环极点或零点提供的相角为0，s1右边每个开环极点或零点提供的相角为180º，每对共轭极点和零点提供的相角之和为0或360º，互相抵消。因此开环共轭复数极点、零点对实轴上根轨迹的位置没有影响，仅取决于实轴上的开环零、极点。故，只有其右边开环零点、极点的总数为奇数的实轴线段才满足相角条件。×××-2-4σjωoo-3-1例４－2：（单位反馈）①∵有三个极点，根轨迹有三条分支②∵n=3,m=2∴有３－２＝１条根轨迹→∞，２条终止于开环零点。③在实轴上的根轨迹如图规则4:根轨迹的渐近线。当系统的根轨迹增益K1时，趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，它们趋向无穷远处的方位可由渐近线决定。（1）渐近线与实轴的倾角为：（2）渐近线与实轴的交点坐标为：当q=0时，求得的渐进线倾角最小，q增大，倾角值将重复出现，而独立的渐进线只有（n－m）条．mnqa180)12(mnzpnimjjia11在计算时，考虑到共轭复数极点、零点的虚部总是相互抵消，只须把开环零、极点的实部代入即可．【例4-3】设系统的开环传递函数为：当K1由0变化到时，试按一般步骤与规则绘制其根轨迹图。解:（1）本系统为3阶系统，有3条根轨迹；（2）起始点：系统没有开环零点，只有三个开环极点，分别为p1=0，p2=-1，p3=-2。（3）渐近线：K1时，有3条根轨迹趋向无穷远处，其渐近线与实轴的交点和倾角分别为：)2)(1()()(1SSSKSHSG180,160,03180)12(180)12(103210321aaaaqqqmnqmnppp（4）实轴上的根轨迹：在S平面实轴上[0，-1]和[-，-2]线段上存在根轨迹。根轨迹草图如图4-6所示其中一条从p3=-2出发,随着K1的增加,沿着负实轴趋向无穷远处。另两条分支分别从p1=0和p2=-1出发,沿着负实轴向a点移动。当K1值达到某一数值时,这两条分支相交于实轴上的a点,这时系统处于临界阻尼状态。当K1继续增大时,这两条分支离开负实轴分别趋近60o和-60o的渐近线，向无穷远处延伸。在Ka＜K1＜Kc时,系统处于欠阻尼状态,出现衰减振荡。而当K1＞Kc时,，系统成为不稳定状态。图4-6例4-3的根轨迹图Kc规则5：根轨迹的分离点、会合点和分离角。几条根轨迹在s平面上相遇后又分开的点称为根轨迹的分离点（或会合点）。分离点在两极点之间，会合点在两零点之间。分离点(会合点)是闭环特征方程的重根点，在K1的变化过程中，分离点(会合点)是K1取得极大值或极小值的点，在特征方程中，将K1用s及其各次幂的形式表达出来，再根据求极值的方法寻找分离点(会合点)处的s值，即分离点与会合点必须满足方程:上述方程是求取分离点或会合点的必要条件，是否确实为分离点或会合点，需要用相角条件进行判断。分离点或会合点可能在s平面上任何一点01dsdK§４－２绘制根轨迹的基本规则例４－4，求分离点上的坐标。系统的特征方程为或0)2)(1(1)(11sssKsG)2)(1(1sssK0)263(21ssdsdK上式的根577.1,423.06243662,1s因为分离点在０至－１之间，故为分离点的坐标，而舍弃423.01s577.12s用幅值条件确定分离点的增益：385.0577.1577.0423.02101sssk×××-1-2×××-1-2σjω-0.4232j2jK1=6K1=6-0.4232j2jK1=6K1=6-60°60°-60°60°分离角：根轨迹离开重根点处的切线与实轴正方向的夹角被称为分离角,其计算公式为：r为分离点处根轨迹的分支数r180用Matlab绘制根轨迹：n=[1];d=[conv([1,1],[1,2]),0];rlocus(n,d)图4-7例4-4的根轨图Matlab绘制规则6：根轨迹与虚轴的交点当增加到一定数值时，根轨迹可能穿过虚轴，进入右半Ｓ平面，这表示将出现实部为正的特征根，系统将不稳定。必须确定根轨迹与虚轴的交点，并计算对应的使系统处于临界稳定状态的开环增益。1K1K在根轨迹与虚轴的交点处，在系统中出现虚根。因此可以根据这一特点确定根轨迹与虚轴的交点。通常用以下两种根轨迹与虚轴交点。（1）劳斯判据法；（2）复数相等方法将代入特征方程。js0230)23(0)2)(1(123121KjjKjjKjjj当时，系统出现共轭虚根，此时系统处于临界稳定状态。2j61K实部虚部63,2020321321KK×××-1-2×××-1-2σjω-0.4232j2jK1=6K1=6-0.4232j2jK1=6K1=6-60°60°-60°60°续例４－3，用复数相等方法求：也可用劳斯判