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第1页（共31页）数列极限40一．选择题（共40小题）1．在无穷等比数列{an}中，，则a1的取值范围是（）A．B．C．（0，1）D．2．数列{an}满足a1=10，an+1=an+18n+10（n∈N*）记[x]表示不超过实数x的最大整数，则（﹣[]）=（）A．1B．C．D．3．在数列{an}中，an=（﹣1）2n（n∈N*），则数列{an}的极限值是（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．不存在4．等比数列{an}中，a1＞1，前n项和为Sn，若，那么a1的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2）C．D．5．如果（1﹣2x）n存在，那么x的取值范围是（）A．0≤x＜1B．0＜x＜1C．0≤x≤1D．0＜x≤16．已知Sn是数列{}的前n项和，则等于（）A．1B．C．D．7．已知=（）A．6B．5C．4D．28．==（）A．B．C．1D．09．设等比数列{an}的公比，（n=1，2，3…）各项和为10，则a1为（）A．﹣5B．﹣2C．2D．5第2页（共31页）10．设数列{an}和{bn}的通项公式为an=和bn=（n∈N*），它们的前n项和依次为An和Bn，则=（）A．B．C．D．11．等比数列{an}的首项为a1=2，前n项和为Sn，若，则=（）A．B．1C．2D．412．在等比数列{an}中，a1=2，前n项和为Sn，若，则等于（）A．B．3C．4D．813．在各项均为实数的等比数列{an}中，，则=（）A．2B．8C．16D．3214．记二项式（1+3x）n展开式的各项系数和为an，其二项式系数和为bn，则等于（）A．1B．﹣1C．0D．不存在15．已知等比数列{an}中，公比q∈R，且a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=﹣3，Sn为数列{an}的前n项和，则Sn等于（）A．B．C．6D．16．已知向量且a1=1，若数列{an}的前n项和为Sn，且，则=（）A．B．C．D．17．如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设Sn为前n个正六边形的面积之和，则Sn=（）第3页（共31页）A．2r2B．C．D．6r218．等差数列{an}中，Sn是其前n项的和，==2，则为（）A．0B．2C．D．319．等比数列{an}记Sn=a1+a2+…+an，如果S3=16且Sn=则S6=（）A．18B．144C．14D．﹣10220．已知，记M=a0+a1+a2+…+an，N=b0+b1+b2+…+b2n，则的值是（）A．2B．C．0D．21．计算的结果是（）A．B．3C．D．222．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2+a7+a8+a11=48，a3：a11=1：2，则等于（）A．B．C．1D．223．若，则的值为（）A．﹣2B．C．D．324．一个无穷等比数列的公比q适合0＜q＜1，且它的第4项与第8项之和等于第4页（共31页），而第5项与第7项之积等于，则这个无穷等比数列各项的和是（）A．32B．4C．8D．1625．已知（2n﹣）=2，则a﹣b为（）A．6B．12C．0D．﹣1226．己知数列{an}与{bn}都是等差数列，且=3，则的值为（）A．B．C．或2D．或27．计算（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（）A．B．C．D．28．已知四个无穷数列{（﹣1）n}，{（﹣1）n}，{}，{}，当n→∞时，这四个数列极限为0的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个29．下列各无穷数列中，极限存在的是（）A．1，0，1，0，1…B．，1，，1，，1，，1…C．1，0，，0，，0，，0…D．1+，，1+，，1+，，…30．等比数列{an}的首项为3，公比为2，其前n项和记为Sn；比数列{bn}的首项为2，公比为3，其前n项和记为Tn，则=（）A．B．1C．D．231．若的展开式中的第五项是，设Sn=x﹣1+x﹣2+…+x﹣n且，则S=（）第5页（共31页）A．1B．C．2D．32．已知，，则=（）A．B．C．D．633．已知（2x﹣）9，x∈R展开式的第7项为，则（x+x2+…xn）的值为（）A．B．C．﹣D．﹣34．以下各式当n→∞时，极限值为的是（）A．B．C．（﹣）D．35．数列{an}中，a1=，an+an+1=，n∈N*，则（a1+a2+…+an）等于（）A．B．C．D．36．的值为（）A．0B．C．D．137．，sn为其前n项和，则=（）A．0B．C．D．不存在38．已知数列ξ中，满足，则=（）A．1B．C．2D．39．已知复数的实部与虚部分别是等差数列{an}的第二项与第一项，若数列{bn}的前n项和为Tn，则=（）第6页（共31页）A．B．C．D．140．已知数列an=（1﹣2a）n，若存在，则a的范围是（）A．[0，1]B．C．[0，1）D．（0，1）第7页（共31页）武警解放军数列极限40参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．（2017•静安区一模）在无穷等比数列{an}中，，则a1的取值范围是（）A．B．C．（0，1）D．【分析】利用无穷等比数列和的极限，列出方程，推出a1的取值范围．【解答】解：在无穷等比数列{an}中，，可知|q|＜1，则=，a1=∈（0，）∪（，1）．故选：D．【点评】本题考查数列的极限的求法，等比数列的应用，考查计算能力．2．（2016秋•杨浦区校级月考）数列{an}满足a1=10，an+1=an+18n+10（n∈N*）记[x]表示不超过实数x的最大整数，则（﹣[]）=（）A．1B．C．D．【分析】由已知变形，利用累加法求得数列通项公式，然后代入（﹣[]）求得答案．【解答】解：由an+1=an+18n+10，得a1=10，又a1=10，∴a2﹣a1=18×1+10，a3﹣a2=18×2+10，…第8页（共31页）an﹣an﹣1=18（n﹣1）+10，累加得：an=a1+18[1+2+…+（n﹣1）]+10（n﹣1）=．∴﹣[]===．则（﹣[]）=．故选：D．【点评】本题考查数列的极限，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．3．（2015•徐汇区模拟）在数列{an}中，an=（﹣1）2n（n∈N*），则数列{an}的极限值是（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．不存在【分析】判断数列项的特征，然后利用数列的极限求解即可．【解答】解：数列{an}中，an=（﹣1）2n（n∈N*），可知：an=1．数列是常数数列．=1．故选：B．【点评】本题考查数列的极限，常数数列的极限是常数本身，基本知识的考查．4．（2015春•徐汇区校级期末）等比数列{an}中，a1＞1，前n项和为Sn，若，那么a1的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2）C．D．【分析】由等比数列的求和公式和极限运算可得q=1﹣a12，由|q|＜1可得不等式，解不等式可得．【解答】解：∵Sn=，a1＞1且，∴|q|＜1，且=，第9页（共31页）故a12=1﹣q，q=1﹣a12，由|q|＜1可得﹣1＜1﹣a12＜1，解得0＜a1＜，又a1＞1，a1的取值范围是（1，）．故选：D．【点评】本题考查等比数列的求和公式，涉及极限的运算和不等式的解法，属基础题．5．（2014秋•宝山区校级期中）如果（1﹣2x）n存在，那么x的取值范围是（）A．0≤x＜1B．0＜x＜1C．0≤x≤1D．0＜x≤1【分析】根据极限的概念，及指数函数图象特点，很容易知道应该这样对x限制：﹣1＜2x+1≤1，解出即可．【解答】解：（1）若0＜1﹣2x＜1，即0＜x＜时，根据对数函数y=ax，在0＜a＜1时，随着x的增大，函数图象无限接近0，所以对于（1﹣2x）n=0；（2）若1﹣2x=1，即x=0时，则（1﹣2x）n=1；（3）若1﹣2x=0，即x=时，则（1﹣2x）n=0；（4）若1﹣2x＞1，则根据对数函数y=ax，在a＞1时，随x的增大，函数图象向上无限延伸，函数值无限增大，所以，此时不存在极限；（5）若﹣1＜1﹣2x＜0，即＜x＜1时，若n无限增大趋向一个偶数，则（1﹣2x）n=0，n无限增大趋向一个奇数时，（1﹣2x）n=0；（6）若2x+1=﹣1，（2x+1）n是1和﹣1间隔出现的，所以不存在．（7）若2x+1＜﹣1，n趋于无穷大的偶数时，（2x+1）n趋于正无穷大，n趋于无穷大的奇数时，（2x+1）n趋于负无穷大，所以不存在极限．综上可得，x的取值范围是0≤x＜1．故选：A【点评】本题极限的概念，和指数函数图象特点．考查分类讨论思想的应用．第10页（共31页）6．（2012•南充三模）已知Sn是数列{}的前n项和，则等于（）A．1B．C．D．【分析】由=，利用裂项可求Sn，进而可求极限【解答】解：∵=∴==故选B【点评】本题主要考查了裂项求解数列的和及数列极限的求解，属于基础试题7．（2012•资阳二模）已知=（）A．6B．5C．4D．2【分析】先化简函数，再求极限，即可得到结论．【解答】解：由题意，=（x+3）=5故选B．【点评】本题考查极限的求解，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（2012秋•七星区校级月考）==（）A．B．C．1D．0【分析】直接化简分母为有理数，然后再求解数列的极限．【解答】解：=第11页（共31页）=====．故选B．【点评】本题考查数列的极限的求法，分母有理化是本题的关键，考查计算能力．9．（2011秋•嘉峪关校级期中）设等比数列{an}的公比，（n=1，2，3…）各项和为10，则a1为（）A．﹣5B．﹣2C．2D．5【分析】由等比数列{an}的公比，（n=1，2，3…），知，由各项和为10，知，由此能求出a1的值．【解答】解：∵等比数列{an}的公比，（n=1，2，3…），∴，∵各项和为10，∴=，解得a1=5，故选D．【点评】本题考查无穷递缩等比数列的前n项和的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意极限的灵活应用．第12页（共31页）10．（2011•天门模拟）设数列{an}和{bn}的通项公式为an=和bn=（n∈N*），它们的前n项和依次为An和Bn，则=（）A．B．C．D．【分析】由数列{an}和{bn}的通项公式为an=和bn=（n∈N*）可得出数列{an}和{bn}均为等比数列然后利用等比数列的前n项和公式分别求出An，Bn的表达式再根据极限的四则运算求极限即可．【解答】解：∵数列{an}和{bn}的通项公式为an=和bn=（n∈N*）∴数列{an}和{bn}的通项公式为an=和bn=（n∈N*），是以为首项以为公比的等比数列数列{bn}是以为首项以为公比的等比数列∴由等比数列的前n项和公式可得，∴故选B【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和公式、数列的极限概念．若注意到数列{an}和{bn}都是无穷递缩等比数列则从而立即得到答案！11．（2011•湖北校级模拟）等比数列{an}的首项为a1=2，前n项和为Sn，若，则=（）A．B．1C．2D．4【分析】由已知a1=2可求公比q，代入等比数列的前n项和公式可求Sn，代入进一步可求和的极限第13页（共31页）【解答】解：∵a1=2∴∴∴则故选D【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和公式的应用，考查了数列的和的极限的求解，属于基础试题．12．（2011•南宁模拟）在等比数列{an}中，a1=2，前n项和为Sn，若，则等于（）A．B．3C．4D．8【分析】由题意知结合前n项和公式可得a2=，q=，从而即可求得Sn=．【解答】解：由，得：2+a2=∴a2=∴q=则Sn=．【点评】本题考查等比数列的计算和极限，解题时要正确选取公式，注意公式的第14页（共31页）灵活运用．13．（2011•沙坪坝区校级二模）在各项均为实数的等比数列{an}中，，则=（）A．2B．8C．16D．32【分析】在各项均为实数的等比数列{an}中，由，解得q=，所以，由此能够求出．【解答】解：在各项均为实数的等比数列{an}中，∵，∴，解得q=，∴，==8．故选B．【点评】本题考查数列的极限，是基础题．解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式和前n项和公式的灵活