文元美现代通信原理课件第3章 随机过程

第2章随机过程2020/2/15通信原理通信系统原理第2章随机过程2020/2/15通信原理2.12.2平稳随机过程2.3高斯随机过程2.4随机过程通过线性系统2.5窄带随机过程2.6正弦波加窄带高斯噪声返回主目录第2章随机过程2020/2/15通信原理2.1随机过程的基本概念和统计特性2.1.1随机过程确定性过程。例如，电容器通过电阻放电时，电容两端的电位差随时间的变化就是一个确定性函数。随机过程。没有确定的变化形式，也就是说，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律，用数学语言来说，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。第2章随机过程2020/2/15通信原理x1(t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2Sn(t)tk图2-1样本函数的总体第2章随机过程2020/2/15通信原理具有两个基本特征：其一，其样本是一个时间函数；其二，在固定的某一观察时刻t1，全体样本在t1时刻的取值ξ(t1)是一个不含t变化的随机变量。第2章随机过程2020/2/15通信原理随机过程的定义：设Sk(k=1,2,…)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t),x2(t)，…,xn(t)，…}就构成一随机过程，记作ξ(t)。简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。第2章随机过程2020/2/15通信原理2.1.2随机过程的统计特性设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T，其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。我们把随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率P［ξ(t1)≤x1］，简记为F1(x1,t1)，即F1(x1,t1)＝P［ξ(t1)≤x1］F1(x1,t1)是随机过程ξ(t)的一维分布函数。第2章随机过程2020/2/15通信原理如果F1(x1,t1)对x1的偏导数存在，即有),(),(1111111txfxtxF称f1(x1,t1)为ξ(t)的一维概率密度函数。第2章随机过程2020/2/15通信原理),;,(),;,(212121212122ttxxfxxttxxF)...,,;...,,(...)...,...;,(2121212,1212nnnnntttxxxfxxxtttxxF二维概率密度函数n维概率密度函数第2章随机过程2020/2/15通信原理2.1.3dxtxfxtEta),()]([)(11.数学期望a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。第2章随机过程2020/2/15通信原理第2章随机过程2020/2/15通信原理2.方差＝)]([)(2tDt2)]()([tatE22)]([)]([tatE21)]([),(2tadxtxfx它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。第2章随机过程2020/2/15通信原理3、协方差B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝=f2(x1,x2;t1,t2)dx1dx2)]()][([2211taxtax4、相关函数Rξ(t1,t2)=E［ξ(t1)ξ(t2)］212121221),;,(dxdxttxxfxx二者关系为B(t1,t2)=R(t1,t2)－a(t1)a(t2)第2章随机过程2020/2/15通信原理2.2平稳随机过程2.2.1定义平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移而变化。设随机过程{ξ(t)，t∈T},若对于任意n和任意选定t1＜t2＜…＜tn,tk∈T，k=1,2,…,n，以及τ为任意值，且x1,x2,…,xn∈Rfn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=fn(x1,x2,…,xn;t1+τ,t2+τ,…,tn+τ)则称ξ(t)是平稳随机过程。第2章随机过程2020/2/15通信原理1、平稳随机过程ξ(t)的均值adxtxfxtEta),()]([)(12、平稳随机过程ξ(t)的方差σ2(t)=σ2=常数3、平稳随机过程ξ(t)的自相关函数R(t1,t1＋τ)=E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］＝)();,(2121221Rdxdxxxfxx表示平稳随机过程的各样本函数围绕着一水平线起伏。表示它的起伏偏离数学期望的程度也是常数。第2章随机过程2020/2/15通信原理2.2.2各态历经性2/2/)(1)(limTTTdttxTtxa2/2/)()(1)()()(limTTTdtTXtxTTXtxRaa)()(RR平稳随机过程的“统计平均”平稳随机过程中任一实现的“时间平均”“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。第2章随机过程2020/2/15通信原理注意：具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。第2章随机过程2020/2/15通信原理例2－1：某随机相位余弦波ξ(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。（1）考察ξ(t)的平稳性；（2）讨论ξ(t)是否具有各态历经性。第2章随机过程2020/2/15通信原理(1)先考察ξ(t)ξ(t)的数学期望为dtwAtEtac21)cos()]([)(20dtwtwAcc)sinsincos(cos220常数）(0]sinsincos[cos22020dtwdtwAcc第2章随机过程2020/2/15通信原理ξ(t)的自相关函数为)]()([),(2121ttEttR)]cos()cos([21twAtwAEcc]2)(cos[)([cos212122ttwttwEAccdttwAttwAcc21]2)(cos[2)(cos2122021220)(cos2122ttwAc第2章随机过程2020/2/15通信原理可见ξ(t)的数学期望为常数，而自相关函数只与时间间隔τ有关，所以ξ(t)为广义平稳随机过程。第2章随机过程2020/2/15通信原理（2）下面考察随相过程的遍历性0)cos(12/2/limdttwATaTTcTdtttwACOStwATRcTTcT])([)cos(1)(2/2/limdtwtwdtwTAcTTcTTcT)22cos(cos2lim2/2/2/2/2cwAcos22比较统计平均与时间平均，得a=,R(τ)=，因此，随机相位余弦波是各态历经的。a)(R第2章随机过程2020/2/15通信原理2.2.3设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数R(τ)=E［(ξ(t)ξ(t+τ)］(2.2-8)性质：（1）R(0)=E［ξ2(t)］=S［ξ(t)的平均功率］(2.2-9）（2）R(∞)=E2［ξ(t)］［ξ(t)的直流功率］(2.2-10）这里利用了当τ→∞时，ξ(t)与ξ(t+τ)没有依赖关系，即统计独立（统计独立导出不相关），且认为ξ(t)中不含周期分量。2)]([lim)]([lim)]()([lim)(lim)(aaatEtEttERR第2章随机过程2020/2/15通信原理（3）R(τ)=R(-τ)［τ的偶函数］(2.2-11)（4）|R(τ)|≤R(0)［R(τ)的上界］(2.2-12))()]()([)]()([)]()([)(RttEttEttER)()0(0)0()(2)0(0)]([)]()([2)]([0)]()()(2)([0)]()([22222RRRRRtEttEtEttttEttE第2章随机过程2020/2/15通信原理（5）R(0)-R(∞)=σ2［方差，ξ(t)的交流功率］(2.2-13)当均值为0时，有R(0)=σ2。第2章随机过程2020/2/15通信原理2.2.4平稳随机过程的功率谱密度第2章随机过程2020/2/15通信原理图2-2功率信号f(t)及其截短函数f(t)OtfT(t)tOT2－T2……第2章随机过程2020/2/15通信原理随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。我们知道，随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为，FT(ω)是f(t)的截短函数fT(t)（见图2-2）所对应的频谱函数。我们可以把f(t)看成是平稳随机过程ξ(t)中的任一实现，因而每一实现的功率谱密度也可用式（2.2-14）来表示。由于ξ(t)是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均，即TWFwPTTf2)()(lim第2章随机过程2020/2/15通信原理TWFTfwPTwPE2)()(lim)]([ξ(t)的平均功率S则可表示成TwEEdwwpsTT2)(21)(21lim虽然式（2.2-15）给出了平稳随机过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(ω)，但我们很难直接用它来计算功率谱。那么，如何方便地求功率谱Pξ(ω)呢？我们知道，确知的非周期功率信号的自相关函数与其谱密度是一对傅氏变换关系。对于平稳随机过程，也有类似的关系。第2章随机过程2020/2/15通信原理于是R0)]([)(212tEdwWP因为R(0)表示随机过程的平均功率，它应等于功率谱密度曲线下的面积。因此，Pξ(ω)必然是平稳随机过程的功率谱密度函数。所以，平稳随机过程的功率谱密度Pξ(ω)与其自相关函数R(τ)是一对傅里叶变换关系,即deRwpjwr)()(dWeWPRjwr)(21)(第2章随机过程2020/2/15通信原理或deRfpfrj2)()(dfefppfj2)()(简记为R(τ)Pξ(ω)以上关系式称为维纳-辛钦关系，在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具。它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。根据上述关系式及自相关函数R(τ)的性质，不难推演功率谱密度Pξ(ω)有如下性质：第2章随机过程2020/2/15通信原理（1）Pξ(ω)≥0，非负性；（2.2-20）（2）Pξ(-ω)=Pξ(ω)，偶函数。（2.2-21）因此，可定义单边谱密度Pξ(ω)Pξ1(ω)=)(2wp0W0W0例2–2某随机相位余弦波ξ(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。（1）求ξ(t)的自相关函数与功率谱密度；第2章随机过程2020/2/15通信原理解：根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即R(τ)Pξ(ω)，则因为cosωcτπ［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］所以，功率谱密度为Pξ(ω)=［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］平均功率为S=R(0)22A2)(212AdP－第2章随机过程2020/2/15通信原理2.3高斯随机过程2.3.1定义若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1,2,…）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其n维正态概率密度函数表示如下：fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)212121...)2(1Bn)])((21exp[.11kkkjkjnkjknjaxa