中国科学技术大学概率论与数理统计 课件

第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第1页§5.1大数定律§5.2中心极限定理§5.3小结第五章大数定律与中心极限定理第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第2页§5.1大数定律讨论“概率是频率的稳定值”的确切含义；给出几种大数定律：伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、马尔可夫大数定律、辛钦大数定律.第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第3页常用的几个大数定律大数定律一般形式：若随机变量序列{Xn}满足：1111()lim1nniiiinXEXnnP则称{Xn}服从大数定律.第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第4页切比雪夫大数定律定理5.1.1{Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共同的上界，则{Xn}服从大数定律.证明用到切比雪夫不等式.第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第5页依概率收敛定义5.1.1(依概率收敛)PnYY大数定律讨论的就是依概率收敛.lim1nnPYY若对任意的0，有则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y,记为第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第6页依概率收敛的性质定理5.1.2若,PnXaPnYb则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除依概率收敛到a与b的加、减、乘、除.第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第7页依概率收敛（续）PnYb推论5.1.3(多变量函数)PnXa设g(x,y)在点(a,b)连续，则，，又设函数,()(,)PnngXYgab第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第8页伯努利大数定律定理5.1.4（伯努利大数定律）设n是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每次试验中P(A)=p,则对任意的0，有lim1nnPpn第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第9页马尔可夫大数定律定理5.1.5若随机变量序列{Xn}满足：则{Xn}服从大数定律.211Var0niiXn(马尔可夫条件)第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第10页辛钦大数定律定理5.1.6若随机变量序列{Xn}独立同分布，且Xn的数学期望存在，则{Xn}服从大数定律.第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第11页(1)伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例.注意点(2)切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例.(3)伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例.第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第12页§5.2中心极限定理讨论独立随机变量和的极限分布,本节指出极限分布为正态分布.5.2.1独立随机变量和设{Xn}为独立随机变量序列，记其和为1niinYX第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第13页5.2.2独立同分布的中心极限定理定理5.2.1林德贝格—勒维中心极限定理设{Xn}为独立同分布随机变量序列，数学期望为,方差为20，则当n充分大时，有1lim()nniinnPxxX应用之例:正态随机数的产生；误差分析第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第14页林德贝格—勒维中心极限定理的推论1/1~(0,1)niinXnN1~(0,1)niinnXN/~(0,1)nXN第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第15页例5.2.1每袋味精的净重为随机变量，平均重量为100克，标准差为10克.一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率?解:设箱中第i袋味精的净重为Xi,则Xi独立同分布，且E(Xi)=100，Var(Xi)=100，由中心极限定理得，所求概率为：200120500200100205001200100iiPX1(3.54)=0.0002故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002.(很小)第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第16页例5.2.2设X为一次射击中命中的环数，其分布列为求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.XP1098760.80.10.050.020.03解:设Xi为第i次射击命中的环数，则Xi独立同分布，且E(Xi)=9.62，Var(Xi)=0.82，故10019301009.629001009.629009301000.821000.82iiPX(3.53)(6.85)=0.00021第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第17页5.2.3二项分布的正态近似定理5.2.2棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理设n为服从二项分布b(n,p)的随机变量，则当n充分大时，有(1)lim()nnnpnppPxx是林德贝格—勒维中心极限定理的特例.第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第18页二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布，所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作如下修正：注意点(1)1212210.50.50.50.5(1)(1)nnPkkPkkknpknpnppnpp第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第19页中心极限定理的应用有三大类：注意点(2)ii)已知n和概率，求x；iii)已知x和概率，求n.i)已知n和x，求概率；第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第20页一、给定n和x，求概率例5.2.3100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.解：用由此得：Xi=1表示第i个部件正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+…+X100，则E(Y)=90，Var(Y)=9.1850.590{85}0.9669.PY第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第21页二、给定n和概率，求x例5.2.4有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，每台机床工作时需15kw电力.问共需多少电力,才可有95%的可能性保证正常生产?解：用设供电量为x,则从Xi=1表示第i台机床正常工作,反之记为Xi=0.又记X=X1+X2+…+X200，则E(X)=140，Var(X)=42./150.5140{15}0.9542xPXx2252.x中解得第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第22页三、给定x和概率，求n例5.2.5用调查对象中的收看比例k/n作为某电视节目的收视率p的估计。要有90％的把握，使k/n与p的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？解：用根据题意Xn表示n个调查对象中收看此节目的人数，则20.90/0.050.05/(1)1nPXnpnpp0.05/(1)1.645npp从中解得Xn服从b(n,p)分布，k为Xn的实际取值。又由0.25(1)pp可解得270.6nn=271第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第23页例5.2.6设每颗炮弹命中目标的概率为0.01，求500发炮弹中命中5发的概率.解:设X表示命中的炮弹数,则X~b(500,0.01)55495500(1)(5)0.010.99PXC＝0.17635(2)应用正态逼近:P(X=5)=P(4.5X5.5)5.554.554.954.95=0.1742第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第24页5.2.4独立不同分布下的中心极限定理定理5.2.3林德贝格中心极限定理设{Xn}为独立随机变量序列，若任对0，有22211()()d0liminnxBniniixpxxB11()lim()niiinnXBPxx林德贝格条件则第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第25页李雅普诺夫中心极限定理定理5.2.4李雅普诺夫中心极限定理设{Xn}为独立随机变量序列，若存在0，满足：21210limninniiBEX11()lim()niiinnXBPxx李雅普诺夫条件则林德贝格条件较难验证.第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第26页例5.2.7设X1,X2,….,X99相互独立,且服从不同的0--1分布试求解:设X100,X101,….相互独立,且与X99同分布,则可以验证{Xn}满足=1的李雅普诺夫条件，且99991149.56049.56012.57350.00516.66516.665iiiiXPXP11,100iiiPXp99160iiXP99991149.5,16.665,iiiiEXVarX由此得第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第27页§5.3小结基本概念：依概率收敛、契比雪夫大数定理、伯努利大数定理、辛钦大数定理、独立同分布的中心极限定理、李雅普诺夫中心极限定理、棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理；基本概念：中心极限定理的应用；第五章大数定律与中心极限定理中科大软件学院24February2020第28页2,5,8作业