人大微积分课件12-1微分方程的基本概念

一、问题的提出二、微分方程的基本概念三、小结第一节微分方程的基本概念例1一曲线通过点(1,1),且在该曲线上任一点),(yxM处的切线的斜率为x2,求这曲线的方程.解)(xyy设所求曲线为xdxdy21,1yx时其中xdxy2,2Cxy即,0C求得.2xy所求曲线方程为一、问题的提出mgdtsdm22,,0,00vdtdsvst时1Cgtdtdsv21221CtCgts例2一质量为m的物体以初速度v0自高H处自由落下，求物体下落的距离s与时间t的函数关系（不计空气阻力）解根据牛顿第二定律代入初始条件后知0,201CvC,2102tvgts故).2(1020vgHvgt上式中令s=H得到物体落到地面所需的时间微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例,xyy,0)(2xdxdtxt,0)5(y,yxxz实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的基本概念微分方程的阶:指微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.分类1:常微分方程,偏常微分方程.,0),,(yyxF一阶微分方程);,(yxfy分类2:,0),,,,()(nyyyxF).,,,,()1()(nnyyyxfy高阶(n2)微分方程分类3:线性与非线性微分方程.),()(xQyxPy,02)(2xyyyx);()()(xfyxQyxPy分类4:单个微分方程与微分方程组.,,2,23zydxdzzydxdy.cos)(xyyxyx微分方程的解:指代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,)(阶导数上有在区间设nIxy.0))(,),(),(,()(xxxxFn.)(为方程的解则xy(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,yy例;xcey通解,0yy;cossin21xcxcy通解解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶:二阶:0000,),,(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.例3验证函数xxeCeCy221是微分方程023yyy的解.并求满足初始条件1,000xxyy的特解.解.0)(2)2(3)4(,,,4,2221221221221221221是原方程的解故代入原方程.将xxxxxxxxxxxxeCeCyeCeCeCeCeCeCyyyeCeCyeCeCy补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来).1,121CC,1,000xxyy.2xxeey所求特解为例4),(21221为任意常数求CCxCCy所满足的二阶微分方程.解322212,xCyxCCy.21,21:321yxCyxyC解得,2121中代入将xCxCy，CC整理得02yyxyx微分方程;微分方程的阶;微分方程的解;通解;初始条件;特解;初值问题;分曲积线;三、小结思考题函数xey23是微分方程04yy的什么解?思考题解答,62xey,122xeyyy4,0341222xxeexey23中不含任意常数,故为微分方程的特解.三、设曲线上点),(yxP处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分,试写出该曲线所满足的微分方程.一、填空题:1、022yxyyx是______阶微分方程；2、022cQdtdQRdtQdL是______阶微分方程；3、2sindd是______阶微分方程；4、一个二阶微分方程的通解应含有____个任意常数.二、确定函数关系式)sin(21cxcy所含的参数,使其满足初始条件1xy,0xy.练习题四、已知函数1xbeaeyxx,其中ba,为任意常数,试求函数所满足的微分方程.练习题答案一、1、3；2、2；3、1；4、2.二、.2,121CC三、02xyy.四、xyy1.