人大微积分课件8-3全微分

第三节全微分一全微分的定义二可微的条件全增量的概念如果函数在点的某邻域内有定义，并设为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差),(yxfz),(yx),(yyxxP即),(),(yxfyyxxfz为函数在点对应于自变量增量的全增量，记为zPyx,),(),(yxfyyxxf一、全微分的定义函数若在某区域内各点处处可微分，则称这函数在内可微分.DD如果函数在点的全增量可以表示为，其中BA,不依赖于而仅与有关，，则称函数在点可微分，称为函数在点的全微分，记为，即.),(yxfz),(yx),(),(yxfyyxxfz)(oyBxAzyx,yx,22)()(yx),(yxfz),(yxyBxA),(yxfz),(yxdzyBxAdz),(lim00yyxxfyx]),([lim0zyxf),(yxf二、可微的条件如果函数在点可微分,则函数在该点连续.定理1),(yxfz),(yx事实上)(oyBxAz故函数在点处连续.),(yxfz),(yx定理2（必要条件）如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数、必存在，且函数在点的全微分为xzyzyyzxxzdz),(yxfz),(yxfz),(yx),(yx),(yx证如果函数),(yxfz在点),(yxP可微分,属于),(yyxxPP的某个邻域)(oyBxAz总成立,当0y时，上式仍成立，此时||x,),(),(yxfyxxf|),(|xoxAAxyxfyxxfx),(),(lim0,xz同理可得.yzB一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各偏导数存在全微分存在．例如，.000),(222222yxyxyxxyyxf在点)0,0(处有0)0,0()0,0(yxff])0,0()0,0([yfxfzyx,)()(22yxyx如果考虑点),(yxP沿着直线xy趋近于)0,0(，则22)()(yxyx22)()(xxxx,21说明它不能随着0趋于而趋于0,0当时，),(])0,0()0,0([oyfxfzyx函数在点)0,0(处不可微.说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，证),(),(yxfyyxxfz)],(),([yyxfyyxxf)],,(),([yxfyyxf定理3（充分条件）如果函数),(yxfz的偏导数、在点),(yx连续，则该函数在点),(yx可微分．xzyz),(),(yyxfyyxxfxyyxxfx),(1)10(1在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理xxyxfx1),(（依偏导数的连续性）其中1为yx,的函数,且当0,0yx时，01.xxyxfx1),(yyyxfy2),(z2121yx,00故函数),(yxfz在点),(yx处可微.同理),(),(yxfyyxf,),(2yyyxfy当时，,0y02习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．叠加原理也适用于二元以上函数的情况．例1计算函数xyez在点)1,2(处的全微分.解,xyyexz,xyxeyz,2)1,2(exz,22)1,2(eyz.222dyedxedz所求全微分例2求函数)2cos(yxyz，当4px，py，4pdx，pdy时的全微分．.解),2sin(yxyxz),2sin(2)2cos(yxyyxyzdyyzdxxzdz),4(),4(),4(pppppp).74(82pp例3计算函数yzeyxu2sin的全微分.解,1xu,2cos21yzzeyyu,yzyezu所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz例4试证函数在点)0,0(连续且偏导数存在，但偏导数在点)0,0(不连续，而f在点)0,0(可微.思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分)0,0(),(yx，)0,0(),(yx讨论.)0,0(),(0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf证令,cosx,siny则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx1sincossinlim200),0,0(f故函数在点)0,0(连续,)0,0(xfxfxfx)0,0()0,(lim0,000lim0xx同理.0)0,0(yf),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy当点),(yxP沿直线xy趋于)0,0(时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,||21cos||22||21sinlim330xxxxxx不存在.当)0,0(),(yx时，所以),(yxfx在)0,0(不连续.同理可证),(yxfy在)0,0(不连续.)0,0(),(fyxff22)()(1sinyxyx))()((22yxo故),(yxf在点)0,0(可微.0)0,0(df多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导