第四章 大数定律和中心极限定理

一.切比雪夫不等式若r.v.X的期望和方差存在，则对任意0，有这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。它有以下等价的形式：;)X(D}|)X(EX{|P2.)X(D1}|)X(EX{|P2§1大数定率例已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。解:由切比雪夫不等式;01.0}|1{|2aaXP令1.001.02a1.02a32.0a一.依概率收敛设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，若任给0,使得1}|XX{|Plimnn则称{Xn}依概率收敛于X.可记为.XXPnaXPn如意思是:当aaanXn时,Xn落在),(aa内的概率越来越大.00,nnnaXn而意思是:0,0n||aXn,当0nn二.几个常用的大数定律1.切比雪夫大数定律设{Xk,k=1,2,...}为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望，及方差20，则PnkknXnY11即若任给0,使得1}|{|limnnYP证明:由切比雪夫不等式.)(1}|)({|2nnnYDYEYP这里nkknXEnYE1)(1)(nXDnYDnkkn212)(1)(.1}|{|22nYPn故1}|{|limnnYP2.贝努利大数定律设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记fn为n次试验中事件A发生的频率，则npfpn证明:设01iX第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则)1()(,)(ppXDpXEii由切比雪夫大数定理pnXfPniin13.辛钦大数定律若{Xk,k=1.2,...}为独立同分布随机变量序列,EXk=,k=1,2,…则PnkknXnY11推论:若{Xi,i=1.2,...}为独立同分布随机变量序列,E(X1k)=,则)(111kPnikiXEXn§2中心极限定理一.依分布收敛设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x),F(x).若在F(x)的连续点，有),x(F)x(Flimnn则称{Xn}依分布收敛于X.可记为.XXwn.}{),1,0(~..,1*满足中心极限定理则称的标准化若现令nnkwnnknXNYvrYXY二.几个常用的中心极限定理1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg)设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若EXk=，DXk=2，k=1,2,…,则{Xn}满足中心极限定理。根据上述定理，当n充分大时)(}{1nnxxXpnii例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？解:设Xk为第k次掷出的点数,k=1,2,…,100,则X1,…,X100独立同分布.123544961)(,27)(61211ikXDXE由中心极限定理123510271005001}500{1001iiXP0)78.8(1设随机变量n(n=1,2,...)服从参数为n,p(0p1)的二项分布，则).1,0(~Nnpqnpwn2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(DeMoivre-Laplace)证明:设01iX第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则niiniiXppXDpXE1),1()(,)(由中心极限定理,结论得证例2在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：(1)保险公司亏本的概率有多大？(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？解:设X表示一年内死亡的人数，则X~B(n,p),其中n=10000，p=0.6%，设Y表示保险公司一年的利润，Y=1000012-1000X于是由中心极限定理(1)P{Y0}=P{1000012-1000X0}=1P{X120}1(7.75)=0;9.0}60000{YPP{Y60000}=P{1000012-aX60000}=P{X60000/a}0.9;9.0)994.0006.010000006.01000060000(a（2）设赔偿金为a元，则令3017a由中心极限定理,上式等价于例3根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.由题给条件知，诸Xi独立，16只元件的寿命的总和为161kkXY解:设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,…,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为P(Y1920)由题给条件知,诸Xi独立,16只元件的寿命的总和为161kkXY解:设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,…,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为P(Y1920)由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理,近似N(0,1)4001600YP(Y1920)=1-P(Y1920)=1-(0.8))40016001920(1-=1-0.7881=0.2119例4.(供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车.设开工率为0.6,并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?用X表示在某时刻工作着的车床数，解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验观察该台车床在某时刻是否工作，工作概率为0.6，共进行200次试验.依题意，X~B(200,0.6),现在的问题是：P(X≤N)≥0.999的最小的N.求满足设需N台车床工作，（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台工作所需电力即N千瓦.）由德莫佛-拉普拉斯极限定理)1(pnpnpX近似N(0,1),于是P(X≤N)=P(0≤X≤N)这里np=120,np(1-p)=48)48120()48120(N由3σ准则，此项为0。)48120N(查正态分布函数表得由≥0.999，)48120(N从中解得N≥141.5,即所求N=142.也就是说,应供应142千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.999.0)1.3(48120N≥3.1,故例5在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.问对序列{Xk},能否应用大数定律？诸Xk独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.解:,9.01.001~kXk=1,2,…E(Xk)=0.1,否则00第k次取到号码1kX(1)设，k=1,2,…nkknXnP11}|1.01{|lim即对任意的ε0,解:,9.01.001~kXk=1,2,…E(Xk)=0.1,诸Xk独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.(2)至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95?解：设应取球n次，0出现频率为nkkXn11,1.0)1(1nkkXnEnXnDnkk09.0)1(1由中心极限定理近似N(0,1)nnXnkk3.01.01nXnnkk3.01.011}11.0109.0{1nkkXnP}01.0|1.01{|1nkkXnP}30|3.01.01{|1nnXnPnkk1)30(2nnXnnkk3.01.011近似N(0,1)95.01)30(2n欲使975.0)30(n即96.130n查表得从中解得3458n即至少应取球3458次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95.(3)用中心极限定理计算在100次抽取中,数码“0”出现次数在7和13之间的概率.解：在100次抽取中,数码“0”出现次数为1001kkX由中心极限定理,100110011001)()(kkkkkkXDXEX近似N(0,1)3101001kkX即近似N(0,1)E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09即在100次抽取中，数码“0”出现次数在7和13之间的概率为0.6826.1001)137(kkXP=0.68263101001kkX近似N(0,1))13101(1001kkXP)1()1(1)1(2