4-几种重要随机过程-3

几种重要随机过程正态过程（高斯过程）独立过程独立增量过程维纳过程泊松过程维纳过程定义：若随机过程{W(t),0≤t∞}满足下列条件：（1）P{W(0)=0}=1;（2）W(t)为平稳独立增量过程；（3）每一增量W(t2)-W(t1)服从均值为0,方差为σ2|t2-t1|的正态分布,且σ0;W(t2)-W(t1)～N(0,σ2|t2-t1|)则称{W(t),0≤t∞}为维纳过程。W(t)～N(0,σ2t)称σ=1的维纳过程为标准维纳过程。W(t2)-W(t1)～N(0,|t2-t1|)4.4维纳过程4.5泊松过程泊松过程定义：定义1如果计数过程{N(t),t≥0}满足：（1）P{N(0)=0}=1；（2）N(t)是平稳独立增量过程；（3）在[t,t+Δt)内出现一次事件的概率为（4）在[t,t+Δt)内出现二次及二次以上事件的概率为则称{N(t),t≥0}是参数为λ的泊松过程(齐次)。显然，在[t,t+Δt)内不出现事件的概率为{()()1}()PNttNttot{()()2}()PNttNtot{()()0}1()PNttNttot4.5泊松过程泊松过程定义：定义2如果计数过程{N(t),t≥0}满足：（1）P{N(0)=0}=1；（2）N(t)是独立增量过程；（3）对于任意0≤t1t2，N(t2)-N(t1)服从参数为λ(t2-t1)的泊松分布，即则称{N(t),t≥0}是参数为λ的泊松过程。定义1给出在小的时间间隔内增量分布的极限性质，从微观上给出增量的分布；定义2从宏观上给出了增量的具体概率分布。21()2121[()]{()()}0,1,2,!kttttPNtNtkekk齐次泊松过程的强度是常数,如果(t)随时间变化,分布如何?4.5.4非齐次泊松过程定义：如果计数过程{N(t),t≥0}满足：（1）P{N(0)=0}=1；（2）{N(t),t≥0}是独立增量过程；（3）在[t,t+Δt)内出现一次事件的概率为（4）在[t,t+Δt)内出现二次及二次以上事件的概率为则称{N(t),t≥0}是强度为λ(t)的非齐次泊松过程。显然，当λ(t)=λ时，{N(t),t≥0}是齐次泊松过程。{()()1}()()PNttNtttot{()()2}()PNttNtot4.5.4非齐次泊松过程定理：如果{N(t),t≥0}是非齐次泊松过程，且λ(t)为连续函数，则在时间间隔[t0,t0+t)内事件A出现k次的概率为其中，为强度函数。00[()()]0000[()()]{()()}!0,1,2,kmttmtmttmtPNttNtkekk0()()tmtsds特别地，当t0=0时，()[()]{()}k=0,1,!kmtmtPNtkek4.5.4非齐次泊松过程均值：方差：例：某设备的使用期限为10年，前5年内平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需维修一次，求在使用期限内只维修过1次的概率。解：维修次数与时间有关，该过程是非齐次伯松过程，其强度函数为00()[()](0,)()tkkmtENtkPtsds0()[()]()tDtDNtsds1,0t52.5()1,5t102t[(10)(0)][(10)(0)]{(10)(0)1}1!mmmmPNNe4.5.4非齐次泊松过程1051000511(10)(0)()4.52.52mmtdtdtdt94.524.59{(10)(0)1}1!2PNNee00[()()]0000[()()]{()()}!0,1,2,kmttmtmttmtPNttNtkekk00,10,1ttk例：设{X(t),t≥0}是具有跳跃强度λ(t)=1/2(1+coswt)的非齐次泊松过程(w≠0).求E[X(t)]和D[X(t)]4.5.4非齐次泊松过程01111cossin22tXEXtmtwsdstwtw011()sin2tDXtsdstwtw设某路公共汽车从早晨5时到晚上一个时有车发出。乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/时计算；5时到8时乘客平均到达率按线性增加，8时到太率为1400人/时；8时到18时保持平均到达率不变；18时到21时从到达率1400人/时按线性下降，到21时200人/时。假定乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求出两小时内来站乘车人数的数学期望。解：将时间5时至21时平移为0时至16时，依题意得乘客到达率为4.5.4非齐次泊松过程200400,031400,3131400400(13),1316tttttt313162001400tλ(t)由题意知乘客数X的变化可用非齐次泊松过程描述。因为所以在12时至14时有2000名乘客到达的概率为12时至14时乘客数的数学期望为4.5.4非齐次泊松过程979714002800XXmmds2000280028009720002000!RXXe972800XXmm设{X(t),t≥0}是具有均值函数的非齐次泊松过程，{Wn,n≥1}是其等待时间序列，求Wn的概率密度解：当t0时，由于{Wnt}={X(t)≥n}，故对t求导，可得Wn的概率密度由于4.5.4非齐次泊松过程0tmtsds!jmtnjnmtPWtPXtnej1!!njjmtmtWtjnjnmtmtfmtemtejjmtt1!njmtWmtfttej,01!0,0njmtWmttetftjt以T1，T2，…记强度函数为λ(t)的非齐次泊松过程的事件来到间隔。求T1的分布，T2的分布，诸Ti独立吗？Ti同分布吗？解：因为由N(t)的独立增量与s有关，所以T1，T2不独立4.5.4非齐次泊松过程10mtPTtPNte11mtTFte211|,|0|1,0,0expPTtTsPsstTsPNtsNsNsNuusPNtsNsmtsms又故所以T1，T2不同分布由上述过程和结论可得，诸Ti不独立，也不同分布4.5.4非齐次泊松过程11msmsTfseems1221000|TmtsmsmsmtsPTtPTtTsfsdseemsdsemsds事件发生的次数为泊松过程,如果每次发生产生若干个结果,那么在一段时间内产生的所有结果数目的统计特征如何?4.5.5复合泊松过程定义：设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程，{Yn,n≥1}是相互独立同分布的随机变量序列，且{N(t),t≥0}与{Yn,n≥1}相互独立，记则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。当Yn=1时，X(t)=N(t),{X(t),t≥0}是通常的泊松过程。物理意义：若{N(t),t≥0}表示粒子流，N(t)表示[0,t)内到达的粒子数，Yn表示第n个粒子的能量，X(t)表示[0,t)内到达的粒子的总能量。()1(),0NtnnXtYt4.5.5复合泊松过程判断是否复合泊松过程的要点：要存在一个泊松过程和一个随机变量序列；判断随机变量序列的独立性，以及随机变量序列与泊松过程的独立性。举例：（1）若顾客到达某服务系统的时间间隔为相互独立、同服从指数分布的随机变量，那么，顾客到达某服务系统的次数{N(t),t≥0}为泊松过程。若在tn(n≥1)时刻同时到达的顾客数为Yn(n≥1),{Yn,n≥1}是相互独立同分布，且与顾客到达时刻相互独立，则在[0,t)内到达的顾客总人数便为复合泊松过程。如果每次到达的顾客数都是1，则是通常的泊松过程。()1(),0NtnnXtYt4.5.5复合泊松过程举例：（2）保险公司接到索赔的次数是一泊松过程，每次索赔的金额是一列独立同分布的随机变量，显然索赔的金额与索赔的时刻相互独立，则在[0,t)内的索赔总金额是一复合泊松过程。（3）若某设备发生故障的次数为泊松过程，各次故障的修理费是相互独立和同分布的，而且修理费和发生故障的时间相互独立，则在[0,t)内的总修理费是一复合泊松过程。……4.5.5复合泊松过程统计特征：设{X(t),t≥0}为复合泊松过程，{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程，{Yn,n≥1}是相互独立同分布的随机变量序列，且{N(t),t≥0}与{Yn,n≥1}相互独立，均值：()1()NtnnXtY111[()]{[()|()]}[()|()][()][|()][()][][()][][()][][()][][()][()][][]kkknnknknknnknknnnkEXtEEXtNtEXtNtkPNtkEYNtkPNtkEYPNtkEYPNtkkEYPNtkEYkPNtkENtEYtEY均方值：2222211221,11,12[()]{[()|()]}[()|()][()][()|()][()][()][()][][()]{[][]}[()]{[kkknnknknkkkknnmnnmknnmknnmnmnmnEXtEEXtNtEXtNtkPNtkEYNtkPNtkEYPNtkEYYYPNtkEYEYYPNtkkEY222222222222]()[()]}[()][][()][()]()[()][][()][()]{[()][()]}[][()]nknnkknnnnkkEYPNtkEYkPNtkEYkkPNtkEYENtEYENtENttEYtEY4.5.5复合泊松过程统计特征：方差：协方差：2222222[()][()][()][()][][()][()][()][][]nnnDXtEXtEXtENtEYEXtEXtENtEYtEY121221221122212(,){[min(,)]}{[min(,)]}()(),(),XnnnCttDXttENttEYtEYtttEYtt4.5.5复合泊松过程统计特征：特征函数：11()()()0000010()[]{[|()]}[|()]{()}[|()]{()}[]{()}[]{()}[()]{()}([()]kknnnnnnniuXtiuXtXiuXtkiuYiuYkkkiuYkYkknkYkuEeEEeNtEeNtkPNtkEeNtkPNtkEePNtkEePNtkuPNtktu0()[()1][()])!!nYYnnkkYttktututtueekkeee一个出版商用邮寄订阅来销售杂志，她的顾客响应符合一天平均率为6的泊松过程，他们分别以1/2,1/3,1/6的概率就订阅1年，2年，3年，其选择是相互独立的，对于每次订阅，在安排了订阅后，订阅一年，她得1元手续费。令X(t)表示她在[0,t)内从销售订阅得到的总手续费，求数学期望E[X(t)]和方差D[X(t)]解：其是一个平均率为6个/天的复合泊松过