第1节 不等式的性质与一元二次不等式

1《创新设计》2019版高三一轮总复习实用课件数学2目录目录CONTENTS@《创新设计》第1节不等式的性质与一元二次不等式01020304考点三考点一考点二例1训练1比较大小及不等式的性质的应用一元二次不等式的解法(多维探究)不等式的恒成立问题(多维探究)诊断自测例2-1例2-2例3-1例3-2训练3例3-3训练23目录@《创新设计》诊断自测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)a＞b⇔ac2＞bc2.()(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.()解析(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞b⇏ac2＞bc2.(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a0)没有实根．则不等式ax2＋bx＋c0的解集为∅.(4)当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立．答案(1)×(2)√(3)×(4)×4目录@《创新设计》考点一比较大小及不等式的性质的应用[例1](1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是()A．c≥baB．ac≥bC．cbaD．acb解析(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，∴b－a＝a2－a＋1＝a－122＋340，∴ba，∴c≥ba.比较判断两数大小，一般是从分析两数差入手，而判断两数差的符号，往往利用分解因式、配方等方法进行化简、变形5目录@《创新设计》考点一比较大小及不等式的性质的应用[例1](2)(一题多解)若1a＜1b＜0，给出下列不等式：①1a＋b＜1ab；②|a|＋b＞0；③a－1a＞b－1b；④lna2＞lnb2.其中正确的不等式是()A．①④B．②③C．①③D．②④(2)法一因为1a＜1b＜0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为lna2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4＞0，所以④错误．综上所述，可排除A，B，D.法二由1a＜1b＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以1a＋b＜0，1ab＞0.故有1a＋b＜1ab，即①正确；②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.6目录@《创新设计》考点一比较大小及不等式的性质的应用[例1](2)(一题多解)若1a＜1b＜0，给出下列不等式：①1a＋b＜1ab；②|a|＋b＞0；③a－1a＞b－1b；④lna2＞lnb2.其中正确的不等式是()A．①④B．②③C．①③D．②④故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；③中，因为b＜a＜0，又1a＜1b＜0，则－1a＞－1b＞0，所以a－1a＞b－1b，故③正确；④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2＞lna2，故④错误．由以上分析，知①③正确．答案(1)A(2)C7目录@《创新设计》考点一比较大小及不等式的性质的应用1.比较大小常用的方法：(1)作差法；(2)作商法；(3)函数的单调性法．2．判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．8目录@《创新设计》[训练1](1)(2018·赣州、吉安、抚州七校联考)设0ab1，则下列不等式成立的是()A．a3b3B.1a1bC．ab1D．lg(b－a)0(2)已知p＝a＋1a－2，q＝12x2－2，其中a2，x∈R，则p，q的大小关系是()A．p≥qB．pqC．pqD．p≤q考点一比较大小及不等式的性质的应用解析(1)取a＝13，b＝12，可知A，B，C错误，故选D.(2)由a2,故p＝a＋1a－2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2，所以q＝12x2－2≤12－2＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.这是两个完全不同的函数，应分别考察其各自的值域，然后判断其大小＝(a－2)＋1a－2＋2一般用基本不等式利用二次函数的性质以及指数函数的单调性答案(1)D(2)A9目录@《创新设计》考点二一元二次不等式的解法(多维探究)[例2-1](2018·河北重点八所中学模拟)不等式2x2－x－30的解集为()A.x|－1x32B.x|x32或x－1C.x|－32x1D.x|x1或x－32命题角度1不含参的不等式由2x2－x－30，得(x＋1)(2x－3)0，解得x32或x－1.∴不等式2x2－x－30的解集为x|x32或x－1解答案Byxy=2∙x2x332–3–2–11234–2–112O10目录@《创新设计》考点二一元二次不等式的解法(多维探究)命题角度2含参不等式[例2－2]解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a≤0)．原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.②当a＜0时，原不等式化为x－2a(x＋1)≤0.当2a＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤2a；当2a＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；当2a＜－1，即0＞a＞－2，解得2a≤x≤－1.解yxy=ax2+(a-2)x-22a–11234567–4–3–2–11O11目录@《创新设计》考点二一元二次不等式的解法(多维探究)命题角度二含参不等式[例2－2]解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a≤0)．yxy=ax2+(a-2)x-22a–11234567–4–3–2–11O综上所述,当a＝0时,不等式的解集为{x|x≤－1};当－2＜a＜0时，不等式的解集为x2a≤x≤－1；当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a＜－2时，不等式的解集为x－1≤x≤2a.12目录@《创新设计》考点二一元二次不等式的解法(多维探究)含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．13目录@《创新设计》考点二一元二次不等式的解法(多维探究)[训练2]已知不等式ax2－bx－10的解集是x|－12x－13，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．解析由题意，知－12，－13是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a0，所以－12＋－13＝ba，－12×－13＝－1a，解得a＝－6，b＝5.故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.答案{x|x≥3或x≤2}14目录@《创新设计》考点三不等式的恒成立问题(多维探究)[例3-1]若一元二次不等式2kx2＋kx－38＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A．(－3，0]B．[－3，0)C．[－3，0]D．(－3，0)解析一元二次不等式2kx2＋kx－38＜0对一切实数x都成立，则必有2k＜0，Δ＝k2－4×2k×－38＜0，命题角度1在R上恒成立解之得－3＜k＜0.答案D注意：虽然k=0时不等式恒成立，但不是一元二次不等式了所以k≠015目录@《创新设计》考点三不等式的恒成立问题(多维探究)命题角度2在给定区间上恒成立[例3－2](一题多解)设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________.要使f(x)＜－m＋5在[1，3]上恒成立，则mx2－mx＋m－6＜0，即mx－122＋34m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立．有以下两种方法：法一令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1，3]．当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.所以m＜67，则0＜m＜67.12x对称轴解16目录@《创新设计》考点三不等式的恒成立问题(多维探究)命题角度二在给定区间上恒成立[例3－2](一题多解)设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________.当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.所以m＜6，所以m＜0.综上所述，m的取值范围是m0＜m＜67或m＜0.17目录@《创新设计》考点三不等式的恒成立问题(多维探究)命题角度二在给定区间上恒成立[例3－2](一题多解)设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________.法二因为x2－x＋1＝x－122＋34＞0，又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜6x2－x＋1.因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m＜67即可．因为m≠0，所以m的取值范围是m0＜m＜67或m＜0.答案m0＜m＜67或m＜018目录@《创新设计》考点三不等式的恒成立问题(多维探究)命题角度三给定参数范围的恒成立问题[例3－3]已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为()A．(－∞，2)∪(3，＋∞)B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(－∞，1)∪(3，＋∞)D．(1，3)把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，所以f(－1)＝x2－5x＋6＞0，且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，解不等式组x2－5x＋6＞0，x2－3x＋2＞0，得x＜1或x＞3.答案Cayf(a)1-1O解19目录@《创新设计》考点三不等式的恒成立问题(多维探究)1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．20目录@《创新设计》考点三不等式的恒成立问题(多维探究)[训练3](1)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是()A．[－1，4]B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D．[－2，5](2)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．(1)由于x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.(2)二次函数f(x)对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则f（m）＝m2＋m2－1＜0，f（m＋1）＝（m＋1）2＋m（m＋1）－1＜0，解得－22＜m＜0.答案(1)A(2)－22，0