第一型曲线积分

§1第一型曲线积分本节将研究定义在平面或空间曲线段上的第一型曲线积分.此类积分的典型物理背景是求非均匀分布的曲线状物体的质量.二、第一型曲线积分的计算一、第一型曲线积分的定义第二十章曲线积分一、问题的提出实例1:求曲线形构件的质量.Ms均匀之质量分割,,,,121insMMM,),(iiis(,).iiiiMs求和1(,).niiiiMs取极限01lim(,).niiiiMs近似值精确值近似取oxyABL),(ii1nMiM1iM1M2Mis(,)xy设线密度为：(连续)(1,2,,),iiLinL个可求长度的小曲线段的弧长n,它把LLTL定义在上的函数.对曲线做分割分成,isT1||||max,iinTsiL记为分割的细度为在上任取一点(,)(1,2,,).iiin若有极限||||01lim(,),niiiTifsJ为平面上可求长度的曲线段,L(,)fxy定义1设为J(,)iiT与点且的值与分割的取法无关,则称此极限为(,)fxyL在上的第一型曲线积分,记作(,)d.Lfxys(1)为空间可求长曲线段,L(,,)fxyzL若为定义在上(,,)fxyzL的函数,则可类似地定义在空间曲线上的第一型曲线积分,并且记作(,,)d.Lfxyzs(2)曲线形构件的质量(,)d.LMxys注:曲线积分也是一个确定的常数，它只与被积函数f(x,y)及积分弧段L有关.(,)d(1,2,,)iLfxysik(1,2,,)icik1.若存在，为常数,则1(,)dkiiLicfxys也存在,且11(,)d(,)d.kkiiiiLLiicfxyscfxysL12,,,kLLL2.若曲线段由曲线首尾相接而成,(,)d(1,2,,)iLfxysik(,)dLfxys都存在,则也存在,且2.第一型曲线积分性质1(,)d(,)d.ikLLifxysfxys3．(,)d(,)dLLfxysgxys若与都存在,且在L上则(,)(,),fxygxy(,)d(,)d.LLfxysgxys4．(,)d(,)dLLfxysfxys若存在,则||也存在,|(,)d||(,)|d.LLfxysfxys且(,)dLfxys若L,s5．存在,的弧长为则存在常数(,)d,Lfxyscs,c使得inf(,)sup(,).LLfxycfxy这里二．第一型曲线积分的计算定理20.1设有光滑曲线(),:[,],(),xtLtyt(,)fxyL为定义在上的连续函数,则22(,)d((),())()()d.(3)Lfxysfttttt基本思路:计算定积分转化求曲线积分说明:(1)0,ks因此积分限必须满足!(2)注意到22)(d)(ddyxstttd)()(22xdydsdxyox[,]ab上有连续的导函数时,(3)式成为2(,)d(,())1()d;bLafxysfxxxx(),[,]yxxabL当曲线由方程表示,且在()x[,]cd上有连续导函数时,(3)式成为2(,)d((),)1()d.dLcfxysfyyyy(),[,]xyycd当曲线L由方程表示,且在()y如果方程为极坐标形式:),()(:rrL则)sin)(,cos)((rrf推广:设空间曲线弧的参数方程为)()(,)(),(:ttztytx则szyxfd),,(ttttd)()()(222d)()(22rr))(),(,)((tttf对弧长的曲线积分的计算步骤：(1)积分画出弧段的图形；(2)将积分弧段用参数方程表示；(3)用“”的方线积分法把化为三代一定定积分.:(),()()Lxtytt如：(,)dLfxys()xt“一代”；()yt“二代”；22d()()dsttt“三代”；,.“一定限”:小的是下限大的是上限化为：22[(),()]()()d.fttttt例1.计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:)10(:2xxyL10xxxxd4110210232)41(121x)155(121上点O(0,0)1Lxy2xyo)1,1(B例2.22222()d,,0,0LIxysLxyaxy计算其中为所围区域.的整个边界解:222xya0x0yoayxALOAOBAB(1):0,0OAyxa，21dOAIxs230110d3axxa，(2):0,0OBxya，22dOBIys2010dayy31.3a22(3):,0AByaxxa23dABIas212.4aa所以333312311121()33232IIIIaaaaＢ注：第一类曲线积分的对称性1.Ly若关于轴对称，则(,)dLfxys(,)(,)fxyfxy，0，(,)(,)fxyfxy，12(,)dLfxys，LL1Oyx2.Lx若关于轴对称，则LL1Oxy(,)dLfxys(,)(,)fxyfxy，0，(,)(,)fxyfxy，12(,)dLfxys，LL1Oxy3.L若关于原点对称，则(,)dLfxys(,)(,)fxyfxy，0，(,)(,)fxyfxy，12(,)dLfxys，4.Lyx若关于轴对称，则(,)dLfxys(,)d.Lfyxs例3.计算其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解:在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1arL利用对称性,得42204cos()()darr402dcos4ayox例4.计算曲线积分其中为螺旋的一段弧.解:szyxd)(222ttkakad][2022222)43(3222222kaka线例5.计算其中为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知sxd2szyxsxd)(31d2222sad312aa2312332asyd2szd2dds例6.计算其中为球面22yx解:,11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)sin2(18d22920Id2cos221z.1的交线与平面zx292z化为参数方程21cos2xsin2y则思考与练习1.已知椭圆134:22yxL周长为a,求syxxyLd)432(22提示:0d2sxyL原式=syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用对称性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2)(2x分析:作业：P2011(2)(3)(4)(7);2内容小结1.定义szyxfd),,(2.性质Lsyxfd),(szyxgzyxfd),,(),,()1(21d),,(d),,(d),,()2(szyxfszyxfszyxf),(21组成由lsd)3((l曲线弧的长度)),(为常数szyxgLd),,(3.计算•对光滑曲线弧Lsyxfd),(•对光滑曲线弧Lsyxfd),(baxxf))(,(Lsyxfd),()sin)(,cos)((rrf•对光滑曲线弧tttd)()(22xxd)(12d)()(22rr)](),([ttf