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第四章几何图形初步4.3角第4课时余角和补角的性质1课堂讲解余角和补角的定义余角和补角的性质方位角2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业1知识点余角和补角的定义知1－导如果两个角的和等于90º(直角)，就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角.如果两个角的和等于180º(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.知1－导探究1（1）在一副三角板中，每块都有一个角是90°，那么其余两个角的和是多少？（2）已知∠1=36°，∠2=54°，那么∠1+∠2=？探究2（1）观察如图所示的两个角，你能猜想∠1+∠2等于多少度？（2）如果∠1=144°，∠2=36°，那么∠1+∠2=？知1－讲分类名称图形数学语言性质互余若∠1＋∠2＝90°，就说∠1是∠2的余角，或∠1与∠2互为余角同角(等角)的余角相等互补若∠3＋∠4＝180°，则说∠3是∠4的补角，或∠3与∠4互为补角同角(等角)的补角相等知1－讲要点精析：(1)互余，互补必须是两个角之间的关系．(2)当互补的两个角有公共顶点和公共边时，又称这两个角互为邻补角(简称邻补角)．如图所示，∠AOC和∠BOC互为邻补角．(3)互补的角不一定互为邻补角，但互为邻补角的角一定互为补角．(4)互余或互补的角只与数量有关，与位置无关．知1－讲例1下列说法正确的有()①锐角的余角是锐角，锐角的补角是锐角；②直角没有补角；③钝角没有余角，钝角的补角是锐角；④直角的补角还是直角；⑤一个角的补角与它的余角的差为90°；⑥两个角相等，它们的补角也相等．A．3个B．4个C．5个D．6个导引：主要紧扣锐角、钝角、余角、补角的特征进行判断，除①②不正确外，其他说法都正确．B总结知1－讲由于互余的两个角之和为90°，所以这两个角都为锐角；互补的两个角之和为180°，所以这两个角为一个锐角一个钝角或两个角都为直角．知1－讲例2如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？解：因为点A，O，B在同一条直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角.又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=90°.所以，∠COD和∠COE互为余角，同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.1212121(中考•株洲)已知∠α＝35°，那么∠α的余角等于()A．35°B．55°C．65°D．145°(中考•金华)已知∠α＝35°，那么∠α的补角的度数是()A．55°B．65°C．145°D．165°知1－练2BC3下列说法正确的是()A．两个锐角一定互余B．锐角和钝角一定互补C．互余且相等的两角一定是45°D．同一角的余角与它的补角一定相等知1－练C2知识点余角、补角的性质知2－导思考∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3的大小有什么关系？答：∠1与∠2，∠3都互为补角，那么∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1，所以∠2=∠3.知2－导归纳同角（等角）的补角相等.对于余角也有类似的性质：同角（等角）的余角相等.知2－讲1.补角的性质：同角的补角相等，即：若∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠C＝180°，则∠B＝∠C.等角的补角相等，即：若∠A＋∠B＝180°，∠D＋∠C＝180°，∠A＝∠D，则∠B＝∠C.2.余角的性质：同角的余角相等，即：若∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠C＝90°，则∠B＝∠C.等角的余角相等，即：若∠A＋∠B＝90°，∠D＋∠C＝90°，∠A＝∠D，则∠B＝∠C.知2－讲例3如图①，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E，F，∠1＋∠2＝180°.找出图中与∠2相等的角，并说明理由．导引：已知∠1＋∠2＝180°，说明∠2是∠1的补角．根据同角(或等角)的补角相等，找出图中∠1的其他补角和∠2的其他补角的补角，便可确定与∠2相等的角．知2－讲解：如图②，因为∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°，所以∠3＝∠2.因为∠1＋∠4＝180°，∠1＋∠2＝180°，所以∠4＝∠2.因为∠2＋∠5＝180°，∠6＋∠5＝180°，所以∠2＝∠6.所以图中与∠2相等的角有∠3，∠4，∠6.总结知2－讲“同角(或等角)的余角相等”“同角(或等角)的补角相等”的实质是等量代换，只不过在特定的背景下使用起来更便捷罢了．1若∠α＋∠β＝90°，∠β＋∠γ＝90°，则∠α与∠γ的关系是()A．互余B．互补C．相等D．∠α＝90°＋∠γ如图，直线AB，CD交于点O，因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2的依据是()A．同角的余角相等B．等角的余角相等C．同角的补角相等D．等角的补角相等知2－练2CC3如图所示，∠AOB＝∠COD＝90°，那么∠AOC＝∠BOD，这是根据()A．直角都相等B．同角的余角相等C．同角的补角相等D．互为余角的两个角相等如图所示，点O在直线AE上，OB平分∠AOC，∠BOD＝90°，则∠DOE和∠COB的关系是()A．互余B．互补C．相等D．和是钝角知2－练4BA3知识点方位角知3－讲1.定义：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角．注意事项：方位角在叙述时，一般先说南北，后说东西，如南偏东30°.但与南北方向夹角为45°时，常简称为东北、东南、西北、西南，如南偏东45°，即为东南方向．知3－讲例4如图(1)，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.知3－讲画法：以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东与北之间.射线OB的方向就是北偏东40°(图(2))，即客轮B所在的方向.请你在图(2)上画出表示货轮C和海岛D方向的射线.（来自教材）总结知3－讲有时以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，如“北偏东30°”“南偏东25°”.表示方向的角在航行、测绘等工作中经常用到.（来自教材）知3－讲例5如图，下列说法不正确的是()A．OC的方向是南偏东30°B．OA的方向是北偏东45°C．OB的方向是北偏西60°D．∠AOB的度数是75°D知3－讲例6学校、电影院、公园在平面图上的标点分别是A，B，C.电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西15°方向，那么平面图上的∠CAB等于()A．105°B．115°C．155°D．65°导引：本题中未给出图形，根据方位角的叙述画出正确的图形是解决本题的关键．如图，根据图形可得∠CAB＝105°.A总结知3－讲解决几何问题通常情况下都需借助图形中包含的数量关系，当一个题中没有图形时，正确地根据题意画出图形便成为解题的关键．1如图，下面说法中不正确的是()A．射线OA表示北偏东30°B．射线OB表示西北方向C．射线OC表示西偏南80°D．射线OD表示南偏东70°如图所示，A在B的()A．北偏东60°B．南偏东60°C．南偏西60°D．南偏西30°知3－练2CC3如图所示，某测绘装置一枚指针原来指向南偏西50°，把这枚指针按逆时针方向旋转周，则结果指针的指向是()A．南偏东50°B．西偏北50°C．南偏东40°D．东南方向一轮船A观测灯塔B在其北偏西50°，灯塔C在其南偏西40°，试问此时∠BAC＝()A．80°B．90°C．40°D．不能确定知3－练414CB互余的角互补的角数量关系对应图形性质1＋2＝90°CDENAOBM1＋2＝180°同角(等角)的余角相等同角(等角)的补角相等余角、补角理解要点：(1)互余和互补是指两个角的数量关系，而不是多个角之间的关系．(2)互余、互补的两个角，只与它们的数量(和)有关，与它们的位置无关．1.余角和补角的性质同角或等角的补角相等同角或等角的余角相等2.方位角方位角的表示方位角的特征1.必做:完成教材P139习题4.3T8，T12，T14，T152.补充:请完成《高分突破》对应习题