【名校使用】2014高考(文)复习资料：5-3等比数列及其前n项和

聚焦考向透析第3课时等比数列及其前n项和聚焦考向透析1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系．聚焦考向透析【知识梳理】1．等比数列的定义如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝.3．等比中项若，那么G叫做a与b的等比中项．二同一个公比qa1·qn－1a，G、b成等比数列聚焦考向透析4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·，(n，m∈N*)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为.qn－mak·al＝am·anqn聚焦考向透析5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝；当q≠1时，Sn＝＝.na1聚焦考向透析【基础自测】1．(教材改编)在等比数列{an}中，如果公比q＜1，那么等比数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．无法确定数列的增减性答案：D聚焦考向透析2．(教材改编)等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于()A．4B．8C．16D．32答案：C聚焦考向透析3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q等于()A．－12B．－2C．2D.12解析：a5a2＝q3＝18，∴q＝12.答案：D聚焦考向透析4．(教材改编)在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别是________．答案：2，2,22或－2，2，－225．(课本精选题)在等比数列{an}中，an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5的值为________．答案：5,聚焦考向透析◆一个常数等比数列anan－1＝q(q≠0)是一个不变常数．◆两种防范(1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．聚焦考向透析◆等比中项的存在情况(1)任何两个数不一定有等比中项G2＝ab＞0(a、b同号)如－1、1之间无等比中项．(2)两个数之间可能有一个或者两个．如：2、3之间等比中项可为6、－6(之一或之二)．聚焦考向透析聚焦考向透析考向一等比数列的基本计算(1)(2012·高考江西卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，则对任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________.(2)(2013·辽宁鞍山模拟)数列{an}的前n项之和为Sn，Sn＝1－23an，则an＝________.【审题视点】(1)用“特殊值”法求公比q后求S5.(2)用Sn与an的关系求公比q求an.聚焦考向透析【解析】(1)由题意知a3＋a2－2a1＝0，设公比为q，则a1(q2＋q－2)＝0.由q2＋q－2＝0解得q＝－2或q＝1(舍去)，则S5＝a11－q51－q＝1－－253＝11.(2)n＝1时，a1＝S1＝1－23a1，得a1＝35，n≥2时，Sn＝1－23an，Sn－1＝1－23an－1.两式相减得an＝23an－1－23an，即53an＝23an－1，anan－1＝25.聚焦考向透析所以{an}是等比数列，首项为a1＝35，公比为25，所以an＝35·25n－1.【答案】(1)11(2)35·25n－1聚焦考向透析【方法总结】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．聚焦考向透析1．(2012·高考大纲全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()A．7B．5C．－5D．－7解析：(方法1)利用等比数列的通项公式求解．由题意得a4＋a7＝a1q3＋a1q6＝2，a5a6＝a1q4×a1q5＝a21q9＝－8，∴q3＝－2，a1＝1或q3＝－12，a1＝－8，∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.聚焦考向透析(方法2)利用等比数列的性质求解．由a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8解得a4＝－2，a7＝4或a4＝4，a7＝－2.∴q3＝－2，a1＝1或q3＝－12，a1＝－8，∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.答案：D聚焦考向透析考向二等比数列的判定或证明(2013·湖南衡阳市六校联考)已知数列{an}的满足条件：a1＝t，an＋1＝2an＋1.(1)判断数列{an＋1}是否为等比数列；(2)若t＝1，令cn＝2nanan＋1，记Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn，证明：①cn＝1an－1an＋1；②Tn＜1.【审题视点】构造an＋1＋1与an＋1的关系，并断定a1＋t，故讨论t的取值．聚焦考向透析【解】(1)由题意得an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)，又a1＋1＝t＋1，所以，当t＝－1时，{an＋1}不是等比数列，当t≠－1时，{an＋1}是以t＋1为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知an＝2n－1，①cn＝2nanan＋1＝2n2n－12n＋1－1＝12n－1－12n＋1－1＝1an－1an＋1.②Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝1－13＋13－17＋…＋12n－1－12n＋1－1＝1－12n＋1－1＜1.聚焦考向透析2．(2013·长安模拟)已知数列{an}中，a1＝23，a2＝89.当n≥2时，3an＋1＝4an－an－1(n∈N*)．(1)证明：{an＋1－an}为等比数列；(2)求数列{an}的通项．聚焦考向透析解：(1)证明：数列{an}中a1＝23，a2＝89，当n≥2时，3an＋1＝4an－an－1(n∈N*)．∴当n≥2时3an＋1－3an＝an－an－1，即an＋1－an＝13(an－an－1)．∴{an＋1－an}是以a2－a1＝29为首项，以13为公比的等比数列．聚焦考向透析(2)由(1)知an＋1－an＝2913n－1，故an－an－1＝2913n－2，an－1－an－2＝2913n－3，…a2－a1＝29130，累加得an－a1＝13－13n，∴an＝1－13n.聚焦考向透析考向三等比数列的性质及应用(1)(2013·辽宁沈阳一模)已知各项不为0的等差数列{an}满足2a2－a27＋2a12＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b3b11等于()A．16B．8C．4D．2(2)(2013·江西临川模拟)在等比数列中，已知a1a38a15＝243，则a39a11的值为()A．3B．9C．27D．81聚焦考向透析【审题视点】利用等比数列的性质或等比中项求解．【解析】(1)由等差数列性质得a2＋a12＝2a7，所以4a7－a27＝0，又a7≠0，所以a7＝4，b7＝4，由等比数列性质得b3b11＝b27＝16，故选A.(2)a1a38a15＝243，∴a8＝3，又∵a39a11＝a8q3a8q3＝a28，∴a39a11＝9.故选B.【答案】(1)A(2)B聚焦考向透析【方法总结】求解数列问题，利用其性质可使求解过程简单．等比中项是数列“脚码和”性质的特例．涉及到等比数列的“两项积”时，可考虑此性质的应用．聚焦考向透析3．(2012·高考安徽卷)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝()A．4B．5C．6D．7解析：利用等比数列的性质和通项公式求解．∵a3·a11＝16，∴a27＝16.又∵等比数列{an}的各项都是正数，∴a7＝4.又∵a10＝a7q3＝4×23＝25，∴log2a10＝5.故选B.答案：B聚焦考向透析(2012·高考湖北卷)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()A．①②B．③④C．①③D．②④有关数列与函数的创新题型聚焦考向透析【解题指南】根据等比数列的定义及本题的有关定义，逐个验证其正确性．【解析】验证①fan＋1fan＝a2n＋1a2n＝q2，③fan＋1fan＝|an＋1||an|＝|q|，∴①③为“保等比数列函数”．而(2)fan＋1fan＝2an＋12an＝2an＋1－an不是常数．(4)fan＋1fan＝ln|an＋1|ln|an|不是常数．【答案】C聚焦考向透析阅卷点评数列是特殊的函数，把数列与函数结合也是教材本身的知识．创新点拨(1)考查内容创新，把等比数列的判定与函数性质结合创新衍生出新概念．(2)考查方式上创新，本题改变了以往求函数值an＝f(n)的计算的传统模式，而是求新求变，求f(an)．聚焦考向透析备考建议在解决与数列有关的创新问题时，要注意以下几点：(1)解答此类问题应采取先局部后整体的策略，即先单独考虑等比数列和函数，再从整体上考虑两部分相关联的地方．(2)对两部分知识的结合点，要从其如何产生和有何作用两个方面来考虑．(3)另外注意阅读理解能力和知识迁移能力的培养与运用．聚焦考向透析1．(2012·高考大纲全国卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝()A．2n－1B.32n－1C.23n－1D.12n－1聚焦考向透析解析：利用等比数列知识求解．∵Sn＝2an＋1，∴当n≥2时，Sn－1＝2an，∴an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，∴3an＝2an＋1，∴an＋1an＝32.又∵S1＝2a2，∴a2＝12，∴a2a1＝12，∴{an}从第二项起是以32为公比的等比数列，∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝1＋121－32n－11－32＝32n－1.聚焦考向透析也可以先求出n≥2时，an＝3n－22n－1，再利用Sn＝2an＋1，求得Sn＝32n－1.答案：B聚焦考向透析2．(2012·高考北京卷)已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是()A．a1＋a3≥2a2B．a21＋a23≥2a22C．若a1＝a3，则a1＝a2D．若a3＞a1，则a4＞a2解析：设出等比数列{an}的首项与公比，利用等比数列的通项公式求解．设{an}的首项为a1，公比为q，则a2＝a1q，a3＝a1q2.∵a1＋a3＝a1(1＋q2)，又1＋q2≥2q，当a1＞0时，a1(1＋q2)≥2a1q，即a1＋a3≥2a2；当a1＜0时，a1(1＋q2)≤2a1q，即a1＋a3≤2a2，故A不正确．聚焦考向透析∵a21＋a23＝a21(1＋q4)，又1＋q4≥2q2且a21＞0，∴a21＋a23≥2a22.故B正确．若a1＝a3，则q2＝1.∴q＝±1.当q＝1时，a1＝a2；当q＝－1时a1≠a2.故C不正确．D项中，若q＞0，则a3q＞a1q，即a4＞a2；若q＜0，则a3q＜a1q，此时a4＜a2，故D不正确．答案：B聚焦考向透析3．(2012·高考浙