复数及其应用17.3-17.4

17.3复数的几何意义及三角形式（1）理解复平面、实轴、虚轴的概念（2）掌握求复数的模、辐角主值的计算方法（3）掌握复数的三角形式的定义并能进行代数形式和三角形之间的互化1.复平面任何一个实数a都可以用数轴上的一个点表示．例如，实数1.5可以用数轴上的点A表示.问题：复数z=a+bi能否也用一种类似的方法来表示呢？由复数相等的定义知，任何一个复数z=a+bi都对应唯一的有序实数对(a，b)，其中a，b分别为复数z的实部和虚部，而有序实数对(a，b)又对应直角坐标平面内的唯一的一个点Z，其坐标为(a，b)，如图所示就建立了复数与直角坐标平面内的点Z(a，b)之间的一一对应关系瑞士数学家阿甘特在1806年提出的“阿甘特图”（复平面）实轴虚轴（原点除外）ab复数z=a+bi复平面内的点Z（a,b）平面向量OZ例1、在复平面内作出表示下列复数的点（1）4i（2）4（3）2+i（4）-2+2i（5）2-3i（6）-2-2i1.表示纯虚数的点在复平面内的什么位置？2.表示实数的点在复平面内的什么位置？3.表示复数0的点是复平面内的哪个点？P70练习1、22.复数的模与辅角复平面内，表示复数z=a+bi的点Z（a,b）到原点的距离叫做复数的模，记作|z|，即.同时，以x轴正半轴为始边，OZ为终边的角θ叫做复数的辐角.22baz说明：1、复数的辐角不唯一，区间（-π，π]内的辐角叫做辐角主值，记作argz.2、复数0的辐角是任意值.3、当点Z（a，b）在某个象限内时，其辐角θ可以由和点Z（a，b）所在的象限确定.abtan的辐角分别是多少？ii,1,,1例2、求复数1+i的模与辐角主值.例3、用计算器求复数-2-3i的模和辐角.例4、求证：2zzz1.模相等的所有复数在复平面内形成一个什么样的图形？2.辅角相等的所有复数在复平面内形成一个什么样的图形？P72练习1、2圆射线3.复数的三角形式有了复数的模和辐角，我们可以用另一种形式来表示复数rθOxyZ(a,b)a=rcosθb=rsinθicossini(cosisin)zabrrr——复数的三角形式说明：复数的三角形式中：（1）r0；（2）实部为rcosθ，虚部为rsinθ；（3）实部与虚部之间用“+”号连接.如果两个非零复数的模相等，辐角不相等，那么这两个复数会相等吗?为什么？与复数的代数形式不同，一个复数的三角形式不是唯一的，设，则都是z的三角形式.为了使运算结果一致，本章中，如果不加说明，复数的辐角指的是辐角主值.(cosisin)zr[cos(2π)isin(2π)](Z)zrkkk例5、指出下列复数的模和辅角P74练习1P74练习11.复数0的三角形式是什么？2.非零实数的三角形式是什么？3.纯虚数的三角形式是什么？结论：共轭复数的模相等，辐角互为相反数。P75练习317-4棣莫弗定理与欧拉公式（1）理解复数的指数形式与极坐标形式，并会利用它们进行复数的运算（2）会进行复数的代数形式、三角形式和指数形式之间的互化（3）掌握复数三角形式的乘除法运算和棣莫弗定理、欧拉公式一、复数三角形式的乘法和除法运算实际运算时，经常使用复数的三角形式进行乘法、乘方、除法运算.11112222(cosisin)(cosisin),zrzr，12121212[cos()isin()]zzrr1、乘法设：则：结论：乘积的模等于两个复数的模的乘积，乘积的辐角等于两个复数的辐角的和.上面的结论可推广到有限个复数相乘．即))(sin(cos)]sin(cos[*Nnninrirnn结论：复数的n次幂的模等于这个复数的模的n次幂，辐角等于这个复数的辐角的n倍.2、除法两个复数的商仍然是复数，它的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.11121222[cos()isin()]zrzr．例1、计算：（1）（2）)12sin12(cos4)6sin6(cos3ii)40sin40(cos3)50sin50(cos2ii例2、计算：)]40sin40(cos3[)]70sin70(cos6[ii例3、计算下列各题，并将结果用代数形式表示:（1）（2）（3）3)3sin3(cosi7)3(i)]32sin32(cos2[)65sin65(cos4ii的值分别为多少？与那么若32),6sin6(cos3zzizP77练习二、棣莫弗定理2)]sin(cos[ir3)]sin(cos[ir一般的，.这个结论叫做棣莫弗定理.*[(cossin)](c(ossin),)nnrirninnN2(cos2sin2)ri3(cos3sin3)ri例3、计算：（1）（2）9)40sin40(cosi2012)31(i当n取什么正整数时，是一个实数？niz)31(P78练习三、欧拉公式（复数的指数形式）欧拉在研究指数函数与三角函数间的关系时，证明了一个重要公式：iecosisin——欧拉公式利用欧拉公式来表示复数，有：——复数的指数形式.izre规定:复数的指数形式中，辐角只能用弧度表示.说明：复数指数形式的乘法、除法与乘方的运算法则，与我们学习过的实数指数幂的运算法则相一致．例4、计算（1）（2）（3）31051iiee)9(362iiee612)2(ie等式“eiπ+1=0”把数学中常用的五个数e，i，π，1，0联系在了一起，因而被称为“最具数学魅力”的等式。你能验证这个等式么？它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数——自然对数的底e，圆周率π；两个单位——虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”在电学中，经常用r∠θ来表示模为r、辐角为θ的复数，我们将这种形式叫做复数的“极坐标形式”，即r∠θ=r（cosθ+isinθ).①②③)∠(∠∠21212211rrrr)∠(∠∠21212211rrrr∠n)∠(nnrr例5、在图17-1所示的串联电路中，已知R=5Ω，L=0.1H，f=10Hz，C=0.0125F，求电路中总阻抗Z的大小.例6、在并联电路中，各支路电流分别为求电路总电流i.)310sin(4),610sin(221titi