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数系的扩充和复数概念和公式总结1.虚数单位i:它的平方等于-1,即21i=-2.i与-1的关系:i就是-1的一个平方根,即方程x2=-1的一个根,方程x2=-1的另一个根是-i3.i的周期性:i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=14.复数的定义:形如(,abiabR+∈的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复数的虚部的集合叫做复数集,用字母C表示复数通常用字母z表示,即(,=+∈zabiabR5.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:对于复数(,+∈,当且仅当b=0时,复数a+bi(a、abiabRb∈R是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;a≠0且b≠0时,z=bi叫做非纯虚数的纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系:NZQRC.6.两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di⇔a=c,b=d一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都是实数,就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小7.复平面、实轴、虚轴:点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b∈R可用点Z(a,b表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数(1实轴上的点都表示实数(2虚轴上的点都表示纯虚数(3原点对应的有序实数对为(0,0设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R是任意两个复数,8.复数z1与z2的加法运算律:z1+z2=(a+bi+(c+di=(a+c+(b+di.9.复数z1与z2的减法运算律:z1-z2=(a+bi-(c+di=(a-c+(b-di.10.复数z1与z2的乘法运算律:z1·z2=(a+bi(c+di=(ac-bd+(bc+adi.11.复数z1与z2的除法运算律:z1÷z2=(a+bi÷(c+di=idcadbcdcbdac2222+-+++(分母实数化12.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z的共轭复数为z。例如z=3+5i与z=3-5i互为共轭复数13.共轭复数的性质(1实数的共轭复数仍然是它本身(222ZZZZ==⋅(3两个共轭复数对应的点关于实轴对称14.复数的两种几何意义:15几个常用结论(1(ii212=+,(2(ii212-=-(3ii-=1,(4iii=-+1116.复数的模:(5iii-=+-11复数biaZ+=的模22baZ+=(6((22babiabia+=-+复数基础2一、选择题1.下列命题中:①若z=a+bi,则仅当a=0,b≠0时z为纯虚数;②若(z1-z22+(z2-z32=0,则z1=z2=z3;③x+yi=2+2i⇔x=y=2;④若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系.其中正确命题的个数是(A.0B.1C.2D.32.在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于(A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.a为正实数,i为虚数单位,z=1-ai,若|z|=2,则a=(A.2B.3C.2D.14.(2011年高考湖南卷改编若a,b∈R,i为虚数单位,且ai+i2=b+i,则(A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=-1,b=-1D.a=1,b=-15.复数z=3+i2对应点在复平面(A.第一象限内B.实轴上C.虚轴上D.第四象限内6.设a,b为实数,若复数1+2i=(a-b+(a+bi,则(点,(baZ向量OZ一一对应一一对应一一对应复数(RbabiaZ∈+=,A.a=32,b=12B.a=3,b=1C.a=12,b=32D.a=1,b=37.复数z=12+12i在复平面上对应的点位于(A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.已知关于x的方程x2+(m+2ix+2+2i=0(m∈R有实根n,且z=m+ni,则复数z等于(A.3+iB.3-IC.-3-iD.-3+i9.设复数z满足关系式z+|z|=2+i,那么z等于(A.-34+iB.34-IC.-34-iD.34+i10.已知复数z满足z+i-3=3-i,则z=(A.0B.2iC.6D.6-2i11.计算(-i+3-(-2+5i的结果为(A.5-6iB.3-5iC.-5+6iD.-3+5i12.向量OZ1→对应的复数是5-4i,向量OZ2→对应的复数是-5+4i,则OZ1→+OZ2→对应的复数是(A.-10+8iB.10-8iC.0D.10+8i13.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1+z2在复平面内对应的点位于(A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.如果一个复数与它的模的和为5+3i,那么这个复数是(A.115B.3IC.115+3iD.115+23i15.设f(z=z,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2=(A.1-3iB.11i-2C.i-2D.5+5i16.复数z1=cosθ+i,z2=sinθ-i,则|z1-z2|的最大值为(A.5B.5C.6D.617.设z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为(A.0B.1C.22D.1218.若z∈C,且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值为(A.2B.3C.4D.519.(2011年高考福建卷i是虚数单位,若集合S={-1,0,1},则(A.i∈SB.i2∈SC.i3∈SD.2i∈S20.(2011年高考浙江卷把复数z的共轭复数记作z,i为虚数单位.若z=1+i,则(1+z·z=(A.3-iB.3+IC.1+3iD.321.化简2+4i(1+i2的结果是(A.2+iB.-2+IC.2-iD.-2-i22.(2011年高考重庆卷复数i2+i3+i41-i=(A.-12-12iB.-12+12IC.12-12iD.12+12i23.(2011年高考课标全国卷复数2+i1-2i的共轭复数是(A.-35iB.35iC.-iD.i24.i是虚数单位,(1+i1-i4等于(A.iB.-IC.1D.-125.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2=(A.4+2iB.2+IC.2+2iD.3+i26.设z的共轭复数是z,若z+z=4,z·z=8,则zz等于(A.iB.-iC.±1D.±i27.(2010年高考浙江卷对任意复数z=x+yi(x,y∈R,i为虚数单位,则下列结论正确的是(A.|z-z|=2yB.z2=x2+y2C.|z-z|≥2xD.|z|≤|x|+|y|二、填空题28.在复平面内表示复数z=(m-3+2mi的点在直线y=x上,则实数m的值为________.29.复数z=x+1+(y-2i(x,y∈R,且|z|=3,则点Z(x,y的轨迹是________.30.复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-3-2i,z4=3-2i,z1,z2,z3,z4在复平面内的对应点分别是A,B,C,D,则∠ABC+∠ADC=________.31.复数4+3i与-2-5i分别表示向量OA→与OB→,则向量AB→表示的复数是________.32.已知f(z+i=3z-2i,则f(i=________.33.已知复数z1=(a2-2+(a-4i,z2=a-(a2-2i(a∈R,且z1-z2为纯虚数,则a=________.34.(2010年高考上海卷若复数z=1-2i(i为虚数单位,则z·z+z=________.35.(2011年高考江苏卷设复数z满足i(z+1=-3+2i(i为虚数单位,则z的实部是________.36.已知复数z满足|z|=5,且(3-4iz是纯虚数,则z=________.答案一、选择题1.解析:选A.在①中没有注意到z=a+bi中未对a,b的取值加以限制,故①错误;在②中将虚数的平方与实数的平方等同,如:若z1=1,z2=i,则z21+z22=1-1=0,从而由z21+z22=0⇒/z1=z2=0,故②错误;在③中若x,y∈R,可推出x=y=2,而此题未限制x,y∈R,故③不正确;④中忽视0·i=0,故④也是错误的.故选A.2.解析:选D.∵π22π,∴sin20,cos20.故z=sin2+icos2对应的点在第四象限.故选D.3.解析:选B.|z|=|1-ai|=a2+1=2,∴a=±3.而a是正实数,∴a=3.4.解析:选D.ai+i2=-1+ai=b+i,故应有a=1,b=-1.5.解析:选B.∵z=3+i2=3-1∈R,∴z对应的点在实轴上,故选B.6.解析:选A.由1+2i=(a-b+(a+bi得⎩⎪⎨⎪⎧a-b=1a+b=2,解得a=32,b=12.7.解析:选A.∵复数z在复平面上对应的点为⎝⎛⎭⎫12,12,该点位于第一象限,∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限.8.解析:选B.由题意知n2+(m+2in+2+2i=0,即n2+mn+2+(2n+2i=0.∴⎩⎪⎨⎪⎧n2+mn+2=02n+2=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧m=3n=-1,∴z=3-i.9.解析:选D.设z=x+yi(x、y∈R,则x+yi+x2+y2=2+i,∴⎩⎨⎧x+x2+y2=2,y=1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x=34,y=1.∴z=34+i.10.解析:选D.由z+i-3=3-i,知z=(3-i+(3-i=6-2i.11.解析:选A.(-i+3-(-2+5i=(3+2-(5+1i=5-6i.12.解析:选C.OZ1→+OZ2→对应的复数是5-4i+(-5+4i=(5-5+(-4+4i=0.13.解析:选D.∵z1+z2=(3-4i+(-2+3i=(3-2+(-4+3i=1-i,∴z1+z2对应的点为(1,-1,在第四象限.14.解析:选C.设这个复数为z=a+bi(a,b∈R,则z+|z|=5+3i,即a+a2+b2+bi=5+3i,∴⎩⎨⎧b=3a+a2+b2=5,解得⎩⎪⎨⎪⎧b=3a=115.∴z=115+3i.15.解析:选D.先找出z1-z2,再根据求函数值的方法求解.∵z1=3+4i,z2=-2-i,∴z1-z2=(3+2+(4+1i=5+5i.∵f(z=z,∴f(z1-z2=z1-z2=5+5i.故选D.16.解析:选D.|z1-z2|=|(cosθ-sinθ+2i|=(cosθ-sinθ2+4=5-2sinθcosθ=5-sin2θ≤6.17.解析:选C.|z+1|=|z-i|表示以(-1,0、(0,1为端点的线段的垂直平分线,而|z+i|=|z-(-i|表示直线上的点到(0,-1的距离,数形结合知其最小值为22.18解析:选B.法一:设z=x+yi(x,y∈R,则有|x+yi+2-2i|=1,即|(x+2+(y-2i|=1,所以根据复数模的计算公式,得(x+22+(y-22=1,又|z-2-2i|=|(x-2+(y-2i|=(x-22+(y-22=(x-22+1-(x+22=1-8x.而|x＋2|≤1，即－3≤x≤－1，∴当x＝－1时，|z－2－2i|min＝3.法二：利用数形结合法．|z＋2－2i|＝1表示圆心为(－2,2，半径为1的圆，而|z－2－2i|＝|z－(2＋2i|表示圆上的点与点(2,2的距离，由数形结合知，其最小值为3，故选B.219．解析：选B.因为i2＝－1∈S，i3＝－i∈/S，＝－2i∈/S，故选B.i20．解析：选A.(1＋z·z＝(2＋i·(1－i＝3－i.2＋4i2＋4i1＋2i21．解析：选C.＝＝＝2－i.故选＋＋i3＋i4－1－i＋1－－＋i－i1122．解析：选C.＝＝＝＝＝－i.2221－i1－i1－－＋＋i(2＋i(1＋2i2＋i＋4i－22＋i23．解析：选C.法一：∵＝＝＝i，∴的共轭复数为－i.51－2i(1－2i(1＋2i1－2i2＋i－2i2＋ii(1－2i法二：∵＝＝＝i，1－2i1－2i1－2i2＋i∴的共轭复数为－i.1－2i1＋i4