教案-平面向量的数乘运算

【教学过程】*揭示课题7.2.3平面向量的数乘运算*情境导入有一同学从O点出发，向东行进，1秒后到达A点，按照相同的走法，问3秒后人在哪里，用向量怎么表示？观察图7－15可以看出，向量OC与向量a共线，并且OC＝3a．图7−15*引入新知一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为||||||aa（7．3）若||a0，则当＞0时，a的方向与a的方向相同，当＜0时，a的方向与a的方向相反．当λ＝0时，a=0。实数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算。由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当0时，有abab∥（7．4）容易验证，对于任意向量a,b及任意实数、，向量数乘运算满足如下的法则：111aaaa　　，　；2aaa　　；3aaa　　；abab４　．【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数aaaaOABC的运算的意义是不同的．*例题讲解例1在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图7－16，AB＝a，AD＝b，试用a,b表示向量AO、OD．例2计算：（1）（-3）×4a（2）5（a+b）-2（a-b）（3）（a+4b-3c）-（2a-3b-5c）*练习强化1．计算：（1）3（a−2b）－2（2a＋b）；（2）3a−2（3a−4b）＋3（a−b）．2．设a,b不共线，求作有向线段OA，使OA＝12（a＋b）．*揭示课题7.4.1平面向量的内积*情境导入如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100N的力，朝着与水平线成30角的方向拉小车，使小车前进了100m．那么，这个人做了多少功？我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则Fxi+yjcos30sin30FiFj，Fs图7—2130O图7－16即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即W＝｜F｜cos30·｜s｜＝100×23·10＝5003（J）*引入新知力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a,b，作OA＝a,OB＝b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，记作a,b．我们规定，0180两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b,即a·b＝｜a||b|cosa,b(7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s.由内积的定义可知a·0＝0,0·a＝0．由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1）当a,b＝0时，a·b＝|a||b|；当a,b＝180时，a·b＝−|a||b|.（2）cosa,b＝||||abab.（3）当b＝a时，有a,a＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝aa.（4）当,90ab时，ab，因此，a·b＝cos900,ab因此对非零向量a，b，有a·b＝0ab.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（1）a·b＝b·a．（2）(a)·b＝(a·b)＝a·(b)．（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a·(b·c)≠（a·b）·c.BAO图7－23ab*例题讲解例1已知|a|＝3,|b|＝2,a,b＝60,求a·b．例2已知|a|＝|b|＝2,a·b＝2,求a,b．*练习强化1.已知|a|＝7，|b|＝4，a和b的夹角为60，求a·b．2.已知a·a＝9,求|a|．3.已知|a|＝2,|b|＝3,a,b＝30，求(2a＋b)·b．*归纳小结向量的数乘运算得到的是什么向量？向量的内积运算得到的是什么？结论：向量的数乘运算得到的是平行向量，向量的模为||||||aa向量的内积运算得到的是数量，a·b＝｜a||b|cosa,b