第三章 可靠性的数学基础

第3章可靠性的数学基础随机事件与概率随机变量可靠性设计的几种常用概率分布第三章可靠性的数学基础3.1随机事件与概率3.1.1随机事件及其运算随机事件是随机试验的结果。1．随机现象客观世界中有两类现象：确定性现象和不确定性现象。在确定性现象中，事物的因果关系是确定的。在不确定性现象中，事物的因果率是有缺陷的。其特点是试验结果不可预知，也称为随机现象。简单事件：随机现象的一个基本结果（一个事件）复杂事件：由随机现象的若干个基本结果组成必然事件：必然发生的事件S，由全体基本事件组成，记为Ω不可能事件：不可能发生的事件，记为Φ。互斥事件：又称为互不相容事件，如果事件A和事件B不可能同时发生。第三章可靠性的数学基础2.随机事件随机现象的某种可能结果称为随机事件，常用大写字母A、B、C、…等表示。3．样本空间对于某一随机现象，一切可能发生的基本结果都称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为样本空间，常用S表示。①掷骰子的样本空间S＝{1,2,3,4,5,6}。②抽检产品等级的样本空间S＝{1,2,3,4}。③电视机寿命的样本空间S＝{t：t≥0}。样本空间根据需要而定。一个样本空间中的基本事件可以是有限个，也可以是无限可数个，亦可以是无穷不可数个。3.1.2概率及其特点1．概率若基本事件总数为n，一个事件A包含k个基本事件，则事件A的概率规定为2．概率的基本特点性质1：0≤≤1。性质2：)(AP1)(SP0)(P1)事件之间的关系和事件的运算事件包含,若事件A发生必然导致事件B发生事件等价A＝B事件的和事件的积事件的差E＝A-B对立事件互不相容事件AB＝Ø事件A和B不可能同时发生BABAABBABACnkkAC11kkACABBADnkkAD11kkADSAAAA3．概率运算的基本公式2)事件概率的运算性质①0≤P(A)≤1②对必然事件S，有：P(S)＝1③对不可能事件Ø，有：P(Ø)＝0④对于两对立事件A和，有⑤对包含事件，有≥，⑥对于等价事件A＝B，有：⑦对于事件的和A＋B，有：BA)(AP)(BP)()()(BPAPBAPA)(1)(APAP)()()()(ABPBPApBAP)()(BPAP⑧对于两两互不相容事件Ak(k＝1,2,…)，有nkknkkAPAP11)()(11)()(kkkkAPAP概率的有限可加性公式概率的可列无限可加性公式3)条件概率与事件的独立性1.条件概率：设A、B是任意二个事件,且则称为事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。2.乘法公式：由条件概率可导出概率乘法公式。设事件A、B有，，则0)(AP0)(BP)()|()(BPBAPABP)()|()(APABPABP0)(BP)()()|(BPABPBAP例1：有100个零件，其中正品为96个，次品为4个，现从中任取5个，求取到次品的概率？解：取到次品和全取到正品是互补事件，全取到正品的事件的概率：取到次品的概率：例2：有100个零件，其中一级品有70个，二级品有25个，次品有5个。规定一、二级品都为合格品，现从合格品中任取一个，求这个零件是一级品的概率。解：例3：某设备由各自独立的装置1和装置2组成，两装置各自失效概率分别为PA1=0.02，PA2=0.01，试分别计算以下两种情况时设备不发生失效的概率。(1)两装置必须同时工作才能保证设备正常运转；(2)两装置之一能正常工作就能保证设备正常运转。3.全概率公式：由概率有限可加性和条件概率可以导出定义：设S为样本空间，为一组事件，若①②则称为样本空间S的一个划分。0)(kBP全概率公式：设样本空间中事件A发生的概率nkkkBPBAPAP1)()|()(nBBB,,,21nBBB,,,21)(jiBBjiSBBBn21例4：设有一批零件是由甲、乙两个工人加工的，工人甲加工了全部的2/3，工人乙加工了其余的1/3，甲的次品率是3%，乙的次品率是5%，如从此批零件中任取一零件，可能抽到次品的概率是多少？解：令事件B=抽到次品；因素A1、A2=抽到甲、乙的零件已知每人加工的概率P(Ai)，每人的次品率P(B|Ai)则有：4.贝叶斯(Bayes)公式__可靠性统计推断设为样本空间S的一个划分，且，，对于任一事件A，，由条件概率的定义和全概率公式，有nBBB,,,210)(kBP),,2,1(nk0)(AP条件概率)()()|()()()|(APBPBAPAPABPABPkkkk全概率公式nkkkBPBAPAP1)()|()(nkkkkkkBPBAPBPBAPABP1)()|()()|()|(贝叶斯公式例5:对以往数据的分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90％，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。试求某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？解记A为事件“产品合格”B为事件“机器调整良好”。则由题意知9.0)|(BAP3.0)|(BAP75.0)(BP25.0)(BP由贝叶斯公式，所需求的概率为9.025.03.075.09.075.09.0)()|()()|()()|()|(BPBAPBPBAPBPBAPABP5.先验概率：由以往的数据分析得到的概率后验概率：在得到信息（即生产出的第一件产品是合格品）之后再重新加以修正的概率。0)(kBP)|(BAP①对两独立事件A、B，有②对于有限个独立事件，有)()()(BPAPABPnAAA,,,21)()()()(2121nnAPAPAPAAAP6.事件的独立性定义：如果事件B的发生不影响事件A的概率，即则称事件A对事件B是独立的。)()|(APBAP3.2随机变量的分布与数字特征一、随机变量随机变量&.确定性变量定义：如果某个随机现象的结果可以用一个“变量”X来表示，且具有如下两个特点：①取值的随机性。即X取哪个值事先不能肯定。②取值的统计规律性。即X取某个值或X在某个区间内取值的概率是确定的。则称此“变量”为随机变量。3.2随机变量的分布与数字特征,2,1,}{kpxXPkk二、离散型随机变量的概率分布离散型随机变量X的特征是:它们可能取的值是有限个或无穷可数个由概率的定义，分布列具有如下二个性质：①②,,2,1,0kpk11kkp3.2随机变量的分布与数字特征三、随机变量（连续型）的分布函数研究随机变量所取的值落在一个区间内的概率。由于，所以我们只需知道和就可以了。21xXxP1221xXPxXPxXxP2xXP1xXP定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数称为X的分布函数。xXPxF)(三、随机变量（连续型）的分布函数对于任意实数x1，x2(x1x2)，有因此，若已知X的分布函数我们就能知道X落在任一区间(x1，x2]上的概率。在这个意义上来说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。如果将X看成是数轴上随机点的坐标，则分布函数F(x)在x处的函数值就表示点X落在区间(－∞，x]上的概率。)()(121221xFxFxXPxXPxXxP3.2随机变量的分布与数字特征③，即F(x)是右连续的。)()0(xFxF②，且1)(0xF1)(lim)(0)(lim)(xFFxFFxx三、随机变量（连续型）的分布函数分布函数的基本性质：①F(x)是一个不减函数)(,0)()(122112xxxXxPxFxF3.2随机变量的分布与数字特征第三章可靠性的数学基础3.2随机变量的分布与数字特征定义：如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负的函数f(x)，使对于任意实数x有则称X为连续型随机变量。函数f(x)称为X的概率密度函数。xdxxfxF)()(四、连续型随机变量的概率密度第三章可靠性的数学基础3.2随机变量的分布与数字特征四、连续型随机变量的概率密度概率密度函数f(x)具有以下性质：①②③④若f(x)在点x处连续，则有。0)(xf1)(dxxf21)()()(1221xxdxxfxFxFxXxP)()(xfxF第三章可靠性的数学基础3.2随机变量的分布与数字特征随机变量X分布随机变量函数（g是连续实函数）分布)(XgY概率密度f(x)设y＝g(x)处处可导对任意x有或0)(xg0)(xg其它。,0,,)()()(yyhyhfy概率密度)(),(max)(),(mingggg其中：是的反函数)(yh)(xg五、随机变量函数的分布1)(ikkpxxE第三章可靠性的数学基础3.2随机变量的分布与数字特征六、随机变量的数字特征1.数学期望=均值=平均数定义：设离散型随机变量X的分布列为(k=1,2,…)，则X的数学期望为kkpxXP连续型随机变量XdxxxfXE)()(随机变量X的函数)(XgY离散连续1)()(kkkpxgXgEdxxfxgXgE)()()(从矩的观点来看，数学期望是一阶原点矩。常用符号μ代表数学期望。第三章可靠性的数学基础3.2随机变量的分布与数字特征六、随机变量的数字特征2.众数定义：众数是指一个随机变量出现概率最大的值离散型随机变量X，设其分布列为(k=1,2,…)，则X的众数m是相应于最大pk值的xk连续型随机变量X，设其概率密度函数为，则X的众数是使概率密度函数达到极大值的x值kkpxXP)(xf)(xf第三章可靠性的数学基础3.2随机变量的分布与数字特征六、随机变量的数字特征定义：中位数是指一个随机变量取值比它大的值的概率与取值比它小的概率正好都相等的值。3.中位数第三章可靠性的数学基础3.2随机变量的分布与数字特征六、随机变量的数字特征4.方差方差是描述随机变量X与其数学期望的偏离程度的。定义：设X是一个随机变量，则X的方差为})]({[)(2XEXEXD离散型随机变量12)]([)(kkkpXExXD连续型随机变量dxxfXExXD)()]([)(2重要公式22)]([)()(XEXEXD从矩的观点看，方差是二阶中心矩，而E(X2)为二阶原点矩。第三章可靠性的数学基础3.2随机变量的分布与数字特征六、随机变量的数字特征5.标准差在应用上引入了与随机变量X具有相同量纲的量，称为标准差或均方差，记为σ6.变异系数随机变量X的变异系数是一个无量纲量，定义为其标准差与数学期望绝对值之比。用以表示相对分散程度。C第三章可靠性的数学基础3.2随机变量的分布与数字特征六、随机变量的数字特征7.偏态系数定义：偏态系数描述随机变量x的概率密度函数的对称程度，是对分布偏斜方向及程度的测定。即(1)若θX＝0，则X的概率密度函数对称于μX，即其概率密度函数无偏。(2)若θX＞0，则为正偏。(3)若θX＜0，则为负偏。从矩的观点看，偏态系数是三阶中心矩。第三章可靠性的数学基础3.2随机变量的分布与数字特征六、随机变量的数字特征8.峰度系数EX定义：峰态系数描述随机变量X的概率密度函数上凸（高峰）的状态，即(1)若EX＝0，则为正态曲线(2)若EX＞0，则分布密度曲线上凸较尖峭（高峰曲线）(3)若EX＜o，则曲线较平坦（低峰曲线）从矩的观点看，峰态系数是四阶中心矩。第三章可靠性的数学基础3.2随机变量的分布与数字特征六、随机变量的数字特征9.随机变量间的协方差Cov(Xi,Xj)定义：随机变量Xi,Xj的协方差可定义为jijiXXjiXjXijiXXEXXEXXCov)()])([(),(协方差的基本性质第三章可靠性的数学基础3.2随机变量的分布与数字特征六、随