第一节数列极限概念-1分析

1第二章极限与连续2第一节数列极限2.1.1数列极限概念2.1.2、收敛数列的性质2.1.3、数列极限存在的条件3一、数列极限概念4极限的重要性（1）极限是一种思想方法（2）极限是一种概念（3）极限是一种计算方法从认识有限到把握无限从了解离散到理解连续数学分析中许多概念是用极限定义的许多经济、物理、几何量需要用极限来求5“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.割圆术：——刘徽播放一极限概念的引入15R正六边形的面积A1正十二边形的面积A2正6×2n−1形的面积An123,,,,,nAAAAS割圆术问题：162.截棰问题（P23例1）：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄周《庄子·天下篇》11;2a第一天截下的棰长为221;2a第二天截下的棰长为1;2nnna第天截下的棰长为01,221,21,,2n173.数列的概念定义如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数an，则得到一个序列a1,a2,a3,,an,,这一序列称为无穷数列，简称数列.记为{an}，其中第n项an称为数列的通项(或一般项).例如:2,4,8,,2n,,1,-1,1,,(-1)n-1,,123,,,,,,2341nn1111,,,,,,2482n2.n1;2n1(1);n--;1nn114(1)2,,,,,,23nnn--11(1)(1)1;nnnnn----记为：记为：记为：记为：记为：18注(1)数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取12,,,,naaa,如图所示1a2a3a4ana(2)数列{an}可以看作自变量为正整数n的函数:an=f(n),nN.定义果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数an，则得到一个序列a1,a2,a3,,an,,这一序列称为无穷数列，简称数列.记为{an}，其中第n项an称为数列的通项(或一般项).191a2a3a4a1o2x1(1){1}.nnn--观察数列当无限增大时的变化趋势二数列的极限1(1),11.nnnan--当无限增大时无限接近于从上述演示得到如下结果:当n无限增大时，如果数列{an}的一般项an无限接近于常数a，则常数a称为数列{an}的极限，或称数列{an}收敛于a，记为数列极限的通俗定义:lim().nnnaaaan或例如1(1)lim11,nnn--问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.1lim1,lim0.12nnnnn20当n无限增大时，an无限接近于a.当n无限增大时，an−a无限接近于0.当n无限增大时，|an−a|无限接近于0.当n无限增大时，|an−a|可以任意小，要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后，|an−a|能小于事先给定的任意小的正数.分析因此，如果n增大到一定程度以后，|an−a|能小于事先给定的任意小的正数，则当n无限增大时，an无限接近于常数a.当n无限增大时，如果数列{an}的一般项an无限接近于常数a，则数列{an}收敛a.数列极限的通俗定义:211,100给定11,100n由100,n只要时1,1000给定1000,n只要时11,10000na-有1,10000给定10000,n只要时如前例1(1)lim11,nnn--1na-因为11,100na-有11,1000na-有继续下去。。。。。。。1(1)11nn---1,n22由ε的任意性，不等式|an−1|ε表达了an与1无限接近，而当n无限增大可用nN表示.对无论多么小的正数ε都可以找到相应的一个正整数，使得从第N项以后(nN)各项都满足|an−1|ε，即1,N121,1,.NNaa--对使得当nN时,恒有|an−1|ε成立.0N，，从而当n→∞时以1为极限1(1)1nnan--继续下去，23数列极限的精确定义设{an}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当nN时，不等式|an-a|ε总成立，则称常数a是数列{an}的极限，或者称数列{an}收敛于a,记为如果不存在这样的常数a，说数列{an}没有极限，或说{an}发散.0,NN,当nN时,有|an-a|.数列极限定义的简记形式lim().nnnaaaan或limnnaa定义1称为数列极限的ε－N定义.24aa-a()数列极限的几何意义0,NN,当nN时,有|an-a|.当nN时,点an一般落在邻域(a-,a)外,当nN时,点an全都落在邻域(a-,a)内,即任意给定a的邻域(a-,a),存在NN,注;(1)naa的作用在于衡量与的接近程度(2).N与任意给定的正数有关limnnaa25分析例1证1,N0,NN,当nN时,有|an-a|.limnnaa对于ε0,要使只需1(1)lim11.nnn--所以1na-1(1)11nn---1.n1na-1(1)11nn---1.n因为0,当nN时,有1(1)lim11.nnn--证明n126分析例2证N0,NN,当nN时,有|an-a|.limnnaa对于ε0,要使只需2(1)lim0.(1)nnn-所以0na-2(1)0(1)nn--21(1)n11.n-0na-2(1)0(1)nn--1.1n因为0,当nN时,有2(1)lim0.(1)nnn-证明1.1n21(1)n11,-27分析例3证N对于ε0,要使只需13na-22213243nnnn---25103(324)nnn--1.n13na-1.n因为0,当nN时,有2221lim3243.nnnnn--证明259nn(当n2时)1n.22213243nnnn---25103(324)nnn--2221lim3243.nnnnn--所以1max2,,28分析例4设|q|1,证明等比数列q,q2,,qn,的极限是0.对于0，|qn-0||q|n，当nN时，有因为0，证法1N0.limnnq所以ln.ln||nq所以即可lnln||q，要使|an−0|=|qn−0|=|q|nε即ln|q|nln,即nln|q|ln，29|qn−0|=|q|n|qn-0||q|n,当nN时，有因为0，证法2N0.limnnq所以若q=0，则结果是显然的.现设0|q|1，11,||hq-设0.h则我们有1,(1)nh而(1+h)n1||(1)nnqh11nh1.nh1,h则(1+h)n≥1+nh，所以1221nnnnnChChCh，30例5lim1.0.nnaa证明其中为常数证(1)设a=1,结论显然成立.(2)设a1,1(0),nahh令从而122(1)1nnnnnnahChChCh1+nh1.ahn-得()nh或0,1nah-11.naNnNa--取，则当时，有lim1(1).nnaa故其中因此1,an-要使ε只需1-an31(3)(补充)设0a1,111,(2)lim1.nnaa则由知即0,N,当nN时,有11.na-1.nnaa-因此1nnaa-或.(因0a1)综合得lim1.(0).nnaalim1.(01).nnaa所以32结论(补充)：(),lim.nnnaCCaC设为常数则证naC-CC-,成立0,任给所以,0,n对于一切自然数lim.nnaC说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时，关键是任意给定ε0，寻找N，但不必要求最小的N.33例6证明1limnnn证令nnnnnhnhnh-1),0(1于是从而nnnnnhhnnnhhn-22)1(1)1(22)1(nhnn-注意n2时,nhhnnnnnn2,4,2122-即故因此0,要使只需-nhnnn21]4[2n取时，有则当NnN]},4[,2max{2-1nn由定义1limnnn34问题：数列{an}不以a为极限或数列{an}发散该如何描述？数列{an}不以a为极限的定义：00,NN,n0N时,有|an0-a|≥0.limnnaa数列{an}发散的定义：aR,00,NN,n0N时,有|an0-a|≥0.数列{an}发散{(1)}.n-明数列是例发散的证证0=1，aR分两种情况：当a≥0，NN，n0(奇数)N时,有0(1)na--1a--1a0.当a0，NN，n0(偶数)N时,有0(1)na--1a-1()a-0.{(1)}.n-即数列是发散的