第一节数列的极限

第二章极限与连续极限概念是贯穿整个微积分的基本概念，微分运算、定积分运算、级数运算等高等数学的运算的实质即是某种极限运算。极限观念的建立使我们从初等数学走向了高等数学。对于极限的思想，先看两个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。我国古代魏末晋初的杰出数学家刘徽“割圆术”求圆的面积和周率的方法:“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想.“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”播放——(魏晋)刘徽R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正形的面积126nnA,,,,,321nAAAAS说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率的近似值为3.1416一、数列的定义定义:按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数,,,,21nxxx(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,nx称为通项(一般项).数列(1)记为}{nx.例如;,2,,8,4,2n;,21,,81,41,21n}2{n}21{n第一节数列的极限注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,,,,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是自变量取正整数的函数：).(nfxn;,)1(,,1,1,11n})1{(1n;,)1(,,34,21,21nnn})1({1nnn定义:..,}{,2,1,}{1单调数列减数列统称为单调递增数列和单调递递减的数列类似地可以定义单调是单调递增的数列则称如果满足一个数列nnnnanaaa定义:.}{,,,}{,2,1,}{,0是无界数列则称满足某一项至少有何正数是有界数列；如果对任则称满足：使得数列如果存在常数nnnnnnaMaaManMaaM例如}2{n是单调递增数列；}21{n是单调递减数列；})1{(1n没有单调性..})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn播放二、数列极限的定义问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?nxn.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn通过上面演示实验的观察:记为的极限为数列或称收敛于数列则称无限趋于一个确定的数的通项数列且无限增大时中变化在正整数集如果,}{,}{,}{,,Nnnnnaaaaaaan)(lim时或者naaaannn.lim,}{不存在或发散否则，称数列nnnaa例1.21)5(;1)4(};23{)3(};)1{()2(};1{)1(nnnnn限形式表示其结果：时的变化情况，并用极考察下列数列在.1)1(lim由上例可知例如，1nnnn.21)5(;1)4(};23{)3(};)1{()2(};1{)1(nnnn解,,,2,1,1)1(是一个常数列数列nan,1,始终为时nan,1limnna因此.11limn即,,2,1,)1()2(nann数列;1,始终为按奇数无限增大时当nan;1,始终为按偶数无限增大时nan,,,没有明确的趋势时因此nan.)1(lim不存在即nn.21)5(;1)4(};23{)3(};)1{()2(};1{)1(nnnn解,,,2,1,23)3(是正整数数列数列nnan.)23(limnn记为,,也无限增大无限增大时nan,数的趋势不是一个确定的且na.)23(lim不存在因此nn,0,,,2,1,1)4(无限趋于无限增大时当数列nnannna.01limnn因此,0,,,2,1,21)5(趋于无限无限增大时当数列nnnanna.021limnn因此.21)5(;1)4(};23{)3(};)1{()2(};1{)1(nnnn解问题:“无限接近”意味着什么?和“接近”有何区别？如何用数学语言刻划它.,1001给定,10011n由,100时只要n,10010nx有,10001给定,1000时只要n,1000010nx有,100001给定,10000时只要n,100010nx有,0给定,])1[(时只要Nn.0成立有nx.01limnn例如0nxnn101定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数N,使得对于Nn时的一切nx,不等式axn都成立,那末就称常数a是数列nx的极限,或者称数列nx收敛于a,记为,limaxnn或).(naxn如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：;.1的无限接近与刻划了不等式axaxnn..2有关与任意给定的正数Nx1x2x2Nx1Nx3x几何解释:2aaa.)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当NaaxNnn:定义N其中;:每一个或任给的.:至少有一个或存在.,,0,0limaxNnNaxnnn总有时当axan),(axn即)(Nn即在a的任意小的邻域里都聚集着数列的无穷多项，只有有限个落在外面.数列极限的定义未给出求极限的方法.例：.1)1(lim1nnnn证明证1nx1)1(1nnnn1,0,1nx要使,1n只要,1n即所以,],1[N取,时则当Nn1)1(1nnn就有.1)1(lim1nnnn即注意：例：.1,0limqqnn其中证明证,0任给,0nnqx要使,lnlnqn则,lnlnqN取,时则当Nn,0nq就有.0limnnq,0q若;00limlimnnnq则,10q若,lnlnqn故2.收敛数列一定有界.证:设取,1,N则当Nn时,从而有aaxna1取,,,,max21NxxxMa1则有.),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.,1axn有三、收敛数列的性质1.收敛数列的极限唯一.3.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.1)1(n注:此性质反过来不一定成立.例如,数列虽有界但不收敛.注:若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散.例如，发散!1lim2kkx内容小结:1.数列极限的“–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;收敛数列的任一子数列收敛于同一极限※课后预习函数的极限、单侧极限的概念作业:P48.2（1）（2）（3）（4）