量子力学第2章-周世勋

第二章波函数与薛定谔方程ThewavefunctionandSchrödingerEquation2.1波函数的统计解释TheWavefunctionanditsstatisticexplanation2.2态叠加原理Theprincipleofsuperposition2.3薛定谔方程TheSchrödingerequation2.4粒子流密度和粒子数守恒定律Thecurrentdensityofparticlesandconservationlaws2.5定态薛定谔方程TimeindependentSchrödingerequation2.6一维无限深势阱Theinfinitepotentialwell2.7线性谐振子Thelinearharmonicoscillator2.8势垒贯穿Thetransmissionofpotentialbarrier微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描述必有别于经典力学对粒子运动状态的描述，即微观粒子的运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述。这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像。§2.1波函数的统计解释一、微观粒子状态的描述德布罗意指出：微观粒子的运动状态可用一个复函数来描述，函数—称为波函数。(,)rt(,)rt★描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波()(,)iPrEtPrtAedeBroglie波★如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：(,t)r()U,rtr描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。•三个问题？(1)是怎样描述粒子的状态呢？(2)如何体现波粒二象性的？(3)描写的是什么样的波呢？avI01XP电子单缝衍射实验电子源感光屏PPQQO电子小孔衍射实验二、波函数的统计解释电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。经典概念中粒子意味着1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化;2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。经典概念中波意味着电子既不是经典的粒子也不是经典的波。粒子性：只是经典粒子概念中的“原子性”或“颗粒性”，即：具有一定质量、电荷等属性的客体。波动性：波动性中最本质的东西，即：波的相干叠加性。电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子的衍射实验▲玻恩的解释：OPP电子源感光屏QQ衍射实验事实：（1）入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;（2）入射电子流强度大，很快显示衍射图样.1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函数的统计解释：波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方）与粒子在该点出现的概率成比例。可见，波函数模的平方与粒子时刻在处附近出现的概率成正比。rt2,rt波动观点粒子观点明纹处:(x,y,z,t)2大电子出现的概率大暗纹处:(x,y,z,t)2小电子出现的概率小2*(,)(,)(,)rtrtrt设粒子状态由波函数描述，波的强度是(,)rt2(,)(,)dWrtCrtd则微观粒子在t时刻出现在处体积元dτ内的几率r这表明描写粒子的波是几率波(概率波),反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数也称为几率幅。,rt2(,)(,)(,)dWrtrtCrtd称为几率密度(概率密度)按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中某一点处出现的概率与粒子的波函数在该点模的平方成比例r(,)(,)rtCrt令时刻，在空间任意两点和处找到粒子的相对几率是：t1r2r221122(,)(,)(,)(,)CrtrtCrtrt和所描写状态的相对几率是相同的。,rt,Crt粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小。可见，和描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。,rt,rtC这里的是常数为消除波函数有任一常数因子的这种不确定性，利用粒子在全空间出现的几率等于一的特性，提出波函数的归一化条件：和描述同一状态,rt,Crt这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大一倍（原来的2倍）时，则相应的波动能量将为原来的4倍，因而代表完全不同的波动状态。非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的几率等于一。1．波函数的归一化条件12d)t,r(d)t,r(满足此条件的波函数称为归一化波函数。,rt又因222(,)(,)1rtdCrtd21(,)Crtd其中称为归一化常数于是dtrtrtrtr222),(),(),(),(归一化条件消除了波函数常数因子的一种不确定性。2.单值条件——任意时刻概率密度是唯一的。有限、连续和单值称为波函数的标准化条件。3.连续性条件——任一点处波函数及其一阶导数连续必须注意（1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒子的波是几率波”，这是量子力学的一个基本假设（基本原理）。知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道，波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系的量子状态（简称状态或态）（2）波函数一般用复函数表示。（3）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。Ex.1已知一维粒子状态波函数为221(,)exp22irtAaxt求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处出现的几率最大。dxeAdxtrxa2222),(22Aa2/1/aA归一化常数Solve:12211/222(,)/iaxtrtae归一化的波函数(1).求归一化的波函数（2）几率分布：222),(),(xaeatxtx（3）由几率密度的极值条件222(,)20axdxtaaxedx由于220(,)0xdxtdx0x故处，粒子出现几率最大。0x微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。§2.2态叠加原理开1闭2，衍射花样（兰曲线）211开2闭1，衍射花样（紫红曲线）222同时开1，2，衍射花样（黑曲线）实验事实2212显然122212一.电子双缝衍射实验SD122P1PP12表明几率不遵守迭加原则，而波函数（几率幅）遵守迭加原则：21物理意义当两个缝都开着时，电子既可能处在态，也可能处在态，也可处在和的线性迭加态。可见，若和是电子的可能状态，则也是电子的可能状态。21212211反言之，电子经双缝衍射后处于态，则电子部分地既可处于态，也可部分地处在态。2112迭加态的概率:221222**121212干涉项电子穿过狭缝１出现在Ｐ点的几率密度电子穿过狭缝２出现在Ｐ点的几率密度当两个缝的几何参数或电子束相对位置不完全对称时，迭加态,其概率为2211cc22222112212121212cccccc干涉项态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的正确性也依赖于实验的证实。nccc32211112nkkc1.若是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性迭加态12,,,n二、态迭加原理2kc2.当体系处于态时，发现体系处于态的几率是，并且k(1,2,,,,)kn()3/21(,)(2)iPrEtPrteEx:电子在晶体表面的衍射，动量空间的波函数dP电子从晶体表面出射后，既可能处在态，也可能处在、等状态，按态迭加原理，在晶体表面反射后，电子的状态可表示成取各种可能值的平面波的线性叠加，即),(trP),,(trP),(trPP电子沿垂直方向射到单晶表面，出射后将以各种不同的动量运动，出射后的电子为自由电子，其状态波函数为平面波。PP)t,r()P(C)t,r(PdtrPCtrP3),()(),(考虑到电子的动量可以连续变化衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果]exp[）2（1)(2/3rpirppdrdrrtpcpp',pdrdetpcpphi/321,)'()'()(rrpdrrpprdtrrp,)(pdpptpc,tpc,,33/21(,)(,)(2)iPrCPtrtedr因此PdtrPCtrP3),()(),(33/21(,)(,)(2)iPrrtCPtedP即显然,二式互为Fourer变换式,所以与一一对应,是同一量子态的两种不同描述方式。),(tr),(tPCrdtrrp,)(),(tPC),(tr以坐标为自变量的波函数，坐标空间（坐标表象）波函数r以动量为自变量的波函数，动量空间（动量表象）波函数P给出t时刻粒子处在位置处的几率r给出t时刻粒子动量为的几率P二者描写同一量子状态2,CPt2,rt一维情况下，与的Fourer变换关系：(,)xt(,)xCPt1/21(,)(,)(2)iPxxtCPtedP1/21(,)(,)(2)iPxCPtxtedx§2.3薛定谔方程一、微观粒子运动方程应具有的特点（1）含有波函数对时间的一阶导数（2）方程必为线性的（3）质量为的非相对性粒子(即低速运动的粒子),其总能为ttr),(),(22trUPE本节研究量子力学的动力学问题，建立量子力学的动力学方程——Schrödinger方程)Etr,P(i/Pe)()t,r(2321PPiEt2221PPP22PE又（2）222PPP（3）22PPPE（1）PPEit二、自由粒子的运动方程将（1）和（2）式代入（3）式，得),(2),(22trttriPP（4）),(2),(22trttriPP（4）满足运动方程应具有的三个特点，此即自由粒子的Schrödinger方程。如果将能量关系式E=p2/2μ写成如下方程形式：2()02pEEitpi再做替换：即得自由粒子的Schrödinger方程（4）。称为动量算符三、势场中运动粒子的Schrödinger方程设势场中运动粒子的状态波函数为),(tr(,)Urt),(),(),(2),(2trtrUtrPtrE用能量关系式乘以波函数)t,r(UPE22,rtEitpi做替换：即得Schrödinger方程),(),(2),(22trtrUttri（6）哈密顿算符),(),(2),(22trtrUttri（6）将Schröding