流体力学 第八章

第8章理想流体的有旋流动和无旋流动§8.1微分形式的连续方程控制体的选取:边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。形心坐标：x,y,z三方向速度：vx,vy,vz密度：yvxvzvyxzo),,(zyx一、微分形式的连续方程§8.1微分形式的连续方程x轴方向流体质量的流进和流出左面微元面积流入的流体质量：右面微元面积流出的流体质量：x轴方向流体的净流出量：)2(dxxyvxvzv)2(dxxvvxx)2(dxx)2(dxxvvxxdydzdxxvvdxxxx)2)(2(dydzdxxvvdxxxx)2)(2(dxdydzvxdydzdxxvdxxvdydzdxxvvdxxdydzdxxvvdxxxxxxxxx)()()2)(2()2)(2(§8.1微分形式的连续方程y轴方向流体的净流出量：同理,y、z轴方向流体质量的流进和流出dxdydzvyy)(z轴方向流体的净流出量：dxdydzvzz)()2(dyy)2(dzz)2(dzzvvzz)2(dyyvvyyyvxvzv)2(dxx)2(dxxvvxx)2(dxx)2(dxxvvxx)2(dyy)2(dyyvvyy)2(dzzvvzz)2(dzzx轴方向流体的净流出量：dxdydzvxx)(§8.1微分形式的连续方程)2(dyy)2(dzz)2(dzzvvzz)2(dyyvvyyyvxvzv)2(dxx)2(dxxvvxx)2(dxx)2(dxxvvxx)2(dyy)2(dyyvvyy)2(dzzvvzz)2(dzz每秒流出微元六面体的净流体质量微元六面体内密度变化引起的每秒的流体质量的变化dxdydzxdvtCVdxdydzvzvyvxdAvzyxCSn)]()()([微分形式的连续方程CVCSndAvdvt00)()()(zyxvzvyvxt§8.1微分形式的连续方程二、其它形式的连续方程矢量形式：可压缩流体的定常流动：不可压缩流体的定常或非定常流动：0)(vdivt0)(vt0)()()()(zyxvzvyvxv0zvyvxvvzyx§8.1微分形式的连续方程二、其它形式的连续方程（续）二维可压缩流体的定常流动：二维不可压缩流体的定常或非定常流动：0)()(yxvyvx0yvxvyx§8.2流体微团运动的分解有旋流动和无旋流动流体和刚体的主要不同在于它有流动性，极易变形。因此，流体微团在运动过程中不仅像刚体那样可以有移动和转动，而且还会发生变形运动。控制体的选取:边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。xxxMxxvvvvvxyzxyzyyyMyyvvvvvxyzxyzzzzMzzvvvvvxyzxyzM点处速度：一、流体微团上各点速度的表示同时加减等于零的数11()()2211()()22yxxxzMxxyxxzvvvvvvvxyzxxyzxvvvvyzxyzx1111()()()()2222yyyyyxxzzMyyvvvvvvvvvvvyzxzxyyzxyyzxy1111()()()()2222yyxxzzzzzMzzvvvvvvvvvvvzxyxyzzxyzzxyz111()()()222111()()()222yyxxzzxyzyyxxzzxyxvvvvvvyzzxxyvvvvvvyzzxxy)22()22(2)22()22(2)22()22(2dxdydydxdzzvvvdzdxdxdzdyyvvvdydzdzdydxxvvvyxxyzzzExzzxyyyEzyyzxxxExyvv点Ayxxyvvvxvxxxyxxyvvvyvyyyyyxxxyvvvvvxyvxyxyxy点B点D点C§8.3理想流体的运动微分方程一、欧拉运动微分方程式控制体的选取:边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。形心坐标：x,y,z三方向质量力：fx,fy,fz压强：ppyfxfzfyxzo),,(zyx§8.3理想流体的运动微分方程一、欧拉运动微分方程式(续)x轴方向的受力2dxxpp2dxxpppyfxfzf左面中心受力：dydzdxxpp)2(右面中心受力：dydzdxxpp)2(质量力：x方向的运动微分方程：dydzdxxppdydzdxxppdxdydzfdxdydzdtdvxx)2()2(xfxpfdtdvxx1§8.3理想流体的运动微分方程一、欧拉运动微分方程式(续)同理,y、z方向的运动微分方程。2dyypp2dzzpp2dxxpp2dxxpp2dzzpp2dyypppyfxfzfzpfdtdvypfdtdvxpfdtdvzzyyxx111pfdtvd1欧拉运动微分方程式矢量形式§8.3理想流体的运动微分方程一、欧拉运动微分方程式(续)zpfzvvyvvxvvtvypfzvvyvvxvvtvxpfzvvyvvxvvtvzzzzyzxzyyzyyyxyxxzxyxxx1111()dvvvfpdtzpfdtdvypfdtdvxpfdtdvzzyyxx111pfdtvd1§8.3理想流体的运动微分方程二、兰姆运动微分方程式xvzvvxvyvvxvvxvvxvvtvzxzyxyzzyyxxxzvvyvvxvvtvdtdvxzxyxxxxzyyzzyxxvvvvvxtv22222)2(1)(22vxxpfvvtvxzyyzx§8.3理想流体的运动微分方程二、兰姆运动微分方程式(续))2(1)(2)2(1)(2)2(1)(2222vzzpfvvtvvyypfvvtvvxxpfvvtvzyxxyzyxzzxyxzyyzx兰姆运动微分方程式兰姆运动微分方程式直接反映了流体流动的特性.即不仅包含线速度,也包含角速度.理想流体流动的定解条件表述流动的方程(4个)zpfzvvyvvxvvtvypfzvvyvvxvvtvxpfzvvyvvxvvtvzzzzyzxzyyzyyyxyxxzxyxxx1110)()()(zyxvzvyvxt方程中的未知量(5个)pvvvzyx,,,,补充方程:Const)(p或一、起始条件起始瞬时所给定的流场中每一点的流动参数。),,()0,,,(),,()0,,,(),,()0,,,(),,()0,,,(),,()0,,,(54321zyxfzyxzyxfzyxpzyxfzyxvzyxfzyxvzyxfzyxvzyx定常流动：无需起始条件。非定常流动：必须起始条件。二、边界条件任一瞬时运动流体所占空间的边界上所必须满足的条件固体壁面上的运动学条件:不同流体交界面上的运动学条件：不同流体交界面或固体壁面上的动力学条件：wnnvv0nvnnvv21ppamb固体壁面静止作业1已知不可压缩流体运动速度在，两个轴方向的分量为，。且在处，有。试求轴方向的速度分量。vxyyxvx22zyvy220z0zvzzv作业2某一流动速度场为，，其中是不为零的常数，流线是平行于轴的直线。试判别该流动是有旋流动还是无旋流动。ayvx0zyvvax§8.4欧拉积分式和伯努利积分式伯努利方程一、两个积分式的前提条件(1)流动是定常的(2)质量力是有势的(3)流体不可压缩，流体是正压流体0tvtvtvtzyxzfyfxfzyxzpzpypypxpxpFFF111)(pdppF1.前提条件§8.4欧拉积分式和伯努利积分式伯努利方程一、两个积分式的前提条件(续)2.常见的正压流体(1)等温流动的可压缩完全气体(2)绝热流动的可压缩完全气体(3)不可压缩流体RTp/pRTpFln11CpppF1ConstppF§8.4欧拉积分式和伯努利积分式伯努利方程一、两个积分式的前提条件(续)3.前提条件下的兰姆方程)(2)2()(2)2()(2)2(222yxxyFxzzxFzyyzFvvvpzvvvpyvvvpx)2(1)(2)2(1)(2)2(1)(2222vzzpfvvtvvyypfvvtvvxxpfvvtvzyxxyzyxzzxyxzyyzx§8.4欧拉积分式和伯努利积分式伯努利方程二、欧拉积分式)(2)2()(2)2()(2)2(222yxxyFxzzxFzyyzFvvvpzvvvpyvvvpx无旋流动0zyx0)2(0)2(0)2(222vpzvpyvpxFFF§8.4欧拉积分式和伯努利积分式伯努利方程二、欧拉积分式(续)0)2()2()2(222dzvpzdyvpydxvpxFFF方程组三式分别乘以任意微元线段的三个轴向分量dx,dy,dz后再相加0)2(2vpdF常数22vpF欧拉积分式物理意义：非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在有势的质量力作用下作无旋流动，流场中任一点的单位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能的总和保持不变，且这三种机械能可以相互转换。§8.4欧拉积分式和伯努利积分式伯努利方程三、伯努利积分式)(2)2()(2)2()(2)2(222yxxyFxzzxFzyyzFvvvpzvvvpyvvvpx有旋流动0§8.4欧拉积分式和伯努利积分式伯努利方程二、伯努利积分式(续)0)2()2()2(222dzvpzdyvpydxvpxFFF方程组三式分别乘