流体力学(刘鹤年)第四章_

第四章流体动力学基础•本章导读•§4.1流体的运动微分方程•§4.2元流的的伯努利方程•§4.3恒定总流的伯努利方程（能量方程）•§4.4恒定总流的动量方程•§4.5无黏性流体的无旋流动•本章小结主要内容本章学习重点：•理解速度势函数、流函数，会建立简单的势函数和流函数方程；•透彻理解流体元流伯努利方程，会用毕托管测流速。•了解N—S方程。•掌握实际流体能量方程、动量方程；•掌握流体运动总流的分析方法，能熟练运用三大运动方程解决实际问题；（1）流体动力学——研究流体运动且涉及力的规律及在工程中的应用。（2）遵循的规律牛顿第二定律（3）对于理想流体，因没有黏性，故作用于流体的表面力只有压应力，即动水压强。p=p(x，y，z，t)（4）实际流体运动微分方程；伯努利方程；动量方程。学习内容：§4.1流体的运动微分方程公式推导1.取微元体在某一瞬时在运动无黏性流体中取出棱边为dx，dy，dz的一微小平行六面体。基本思路:(1)取微元体(2)受力分析(3)导出关系(4)得出结论一、无黏性流体运动微分方程2.受力分析作用在流体上力：(1)表面力；(2)质量力(1)表面力（以X方向为例）包括压应力和剪应力左表面右表面(2)质量力X、Y、Z表示流体单位质量力在坐标轴上的分量。这个微元体的质量为ρdxdydz，质量力在各个在坐标轴上的分量分别为：Xρdxdydz、Yρdxdydz、Zρdxdydz3.导出关系由牛顿第二运动定律，x方向有：化简得：4.结论dtduxpXx1dtduypYy1dtduzpZz1——无黏性流体运动微分方程——Euler运动微分方程dtduxpXx1dtduypYy1dtduzpZz1无黏性流体运动微分方程流体平衡微分方程（1）物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与表面力之代数和等于其加速度。（2）适用条件：a.无黏性流体。b.可压缩流体及不可压缩流体c.恒定流及非恒定流dtduxpXx1dtduypYy1dtduzpZz1单位质量流体的质量力在X、Y、Z坐标轴上分量单位质量流体的惯性力在X、Y、Z坐标轴上分量单位质量流体的表面力在X、Y、Z坐标轴上分量1、以应力表示的实际流体运动微分方程（1）、方程推导依据：牛顿第二定率：F=ma（2）、分析受力：因为是实际流体，故运动流体的表面力既有压应力（动压强）也有切应力。二、黏性流体运动微分方程τzyτzxτzyτzxMstAFCBDEGHyxZ设M点的相应要素为：py,uy,τzy,τxyτzy与Z轴垂直的平面上，沿y方向。τxy与x轴垂直的平面上，沿y方向。以y方向为例：τzyτzxτzyτzxMstAFCBDEGHyxZA.质量力：B.表面力：dxdydzypdxdzdyyppdyypp)21()21(压力：Yρdxdydz切应力（四个表面）：ABGHCDEFABCFGDEH切应力（四个表面）：dydzdxxxyxy)21(ABGH:dydzdxxxyxy)21(CDEF:dydxdzzzyzy)21(GDEH:dydxdzzzyzy)21(ABCF:mduydt整理，Fy=may=将以上所有的力代入即可得实际流体运动微分方程。dtduyxzpZdtduzxypYdtduzyxpXzyzxzzyzyxyyxzxyxx)(1)(1)(1式4-2（3）、公式：对于不可压缩均质流体，ρ=c，而X，Y，Z通常是已知的,故在三个方程中有九个表面应力、三个速度分量，共十二个未知量，既使加上连续性微分方程（四个方程，解十二个未知量），也无法求得唯一的解，所以还应再找出其它的关系。2、流体质点的应力状态（1）、切应力的特性：)()()(zuxuzuyuyuxuxzxzzxyzzyyzxyxyyx式4-3实际流体切应力普遍表达式，也称广义的牛顿内摩擦定律。（2）、压应力的特性和大小：pz=p+pz’px=p+px’py=p+py’p——平均压应力p=（px+py+pz）31切应力互等定律。原方程减少3个变量。因为实际流体运动存在切应力，故各方位的压应力不尽相等，可取其平均值，每个方向上的压应力均可看作由均值p加上附加压应力px’、py’、pz’。zuppzupyuppyupxuppxupzzzzzzyyyyyyxxxxxx222222222式4-4式4-53、N—S方程将以上关系式4-3、4-5代入实际流体运动微分方程4-3，结合不可压缩、均质流体连续性微分方程整理即可得N—S方程。拉普拉斯算子例：此N—S方程+连续性微分方程共4个方程，解4个未知量。ayuxbxuy0zu例4-1无黏性流体速度场为，a、b为常数，质量力忽略不计，试求等压面方程。解：本题为无黏性流体平面运动，由欧拉运动微分方程式，不计质量力abyxuuypabxyuuxpyxxy11将方程组化为全微分形式)()(1ydyxdxabdyypdxxp)(1ydyxdxabdp积分，得'222Cyxabp令p=常数，即得到等压面方程Cyx22等压面是以坐标原点为中心的圆。一、无粘性流体运动微分方程的伯努利积分00,0tututututpzyxdtduxpXx1dtduypYy1dtduzpZz1dxdxdydydzdzEuler方程三式分别乘以流线上微元线段的投影dx、dy、dz，则相加后得：dzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpZdzYdyXdxzyx)(1)(1、公式推导前提条件：恒定流（条件之一）即因为恒定流动时，流线与迹线重合，则此时的dx，dy，dz与时间dt的比为速度分量，即有：dtdzudtdyudtdxuzyx)(212udduuduuduudzdtdudydtdudxdtduzzyyxxzyx则：①§4.2元流的的伯努利方程②则（1）式变成1)(1)(dzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpZdzYdyXdxzyxdpdzzpdyypdxxp（3）2211)(uddpZdzYdyXdx（4）因此，方程是沿流线才适用的。——条件之二gZYX00)(2112uddpgdz（5）cupgz22cgupz22c（6）条件三：质量力仅为重力条件四：不可压缩流体对于任意两点1、2——（6）、（7）式为无粘性流体沿流线的伯努利方程。gupzgupz2222222111（7）（1）.公式适用条件：无粘性流体、恒定流动、质量力只有重力、不可压流缩体、沿流线或微小流束。（2）.几何意义和物理意义：二、方程的适用条件和意义cgupz22位置水头、比位能单位重量流体所具有的位能压强水头、比压能单位重量流体所具有的压能流速水头、比动能单位重量流体所具有的动能三种形式的能量和功在流动的过程中是可以相互转化的，三者之和始终保持一常数。三、毕托管AhuA图：AhuA原理：利用无粘性元流流体伯努利方程。测量点流速的仪器VBAZZ图3-17皮托管测速原理公式：ghu2理论流速：实际流速：μ：修正系数，数值接近于1，由实验确定，μ=0.97；h：为两管水头差。022gpzgugpzABgugpgphBA22ghppuBA22四、实际液体元流能量方程实际液体具有粘滞性，由于内摩擦阻力的影响，液体流动时，其能量将沿程不断消耗，总水头线因此沿程下降，固有H1＞H2设单位重量液体沿元流(或流线)两点间的能量损失为hw'，按能量守恒原理，上式可写成即上式即恒定流、不可压缩实际液体动能量方程，又称实际液体元流伯努利方程。§4－3恒定总流伯努利方程（能量方程）一、渐变流及其性质（1）按运动要素是否随流程改变，可将流动划分为均匀流与非均匀流。（2）在非均匀流中，按流线是否接近平行直线，可将流动划分渐变流与急变流。1、均匀流3各过流断面上流速分布沿程不变。1流体的迁移加速度为零；特点：2流线是平行的直线；——某时刻，流体各相应点（位于同一流线上的点）的流速都不随流程改变的流动。2、非均匀流——某一时刻，流体相应点的流速因位置的不同而不同的流动。3、均匀流与非均匀流的判别标准可据迁移加速度（位变导数）是否为零来判断。3、渐变流——流线之间夹角很小，各流线为近似的平行直线。特点：（1）过流断面近似平面；（2）同一过流断面上，流体各点的动压强分布符合静压强分布。（3）均匀流是渐变流的特例，同时具有以上两点。在渐变流过流断面上作任一微小柱体，长为dL，截面积为dA。然后，分析该微元体的受力情况。由于流体在n方向（轴向）上没有流速，故n方向上的合力应平衡。简单分析：ABGθnZ1Z2dA假设：ABGθnZ1Z2dAA点：压强为pA,面积为dAB点：压强为pB,面积为dA微元体的密度为ρABGθnZ1Z2dA平衡方程：－pAdA＋pBdA－ρgdAdlcosθ=0其中：cosθ=Z2-Z1dl=CZ+pρg代入上式即可得证：说明：1对不同的过水断面，常数C是不同的。2过水断面两侧液体互相作用的动水压力可按静水压力公式计算。4、急变流——流线间的夹角较大，流线的曲率半径较小的流动。如突扩、水跌等注：渐变流、急变流是相对而言的，两者的区分要视工程精度而言。渐变流简单、易计算。动压强特性：在断面上有渐变流过流断面12hp2=p1+γh12急变流过流断面二、恒定总流能量方程1.方程的推导设元流的流量为dQ=u1dA1=u2dA2，则在上述等式两端同乘以ρgdQ。沿总流过水断面上积分可得总流能量关系：'2,12222211122whgugpzgugpz（1）势能积分：在渐变流断面或均匀流断面上，有则：1122z1z2（2）动能积分：（3）损失积分：实际流体恒定总流的能量方程（对单位重流体而言）式中：z——比位能（位置水头）——比压能（压强水头，测压管高度）——比动能（流速水头）——比势能（测压管水头）——总比能（总水头）——平均比能损失（水头损失）,单位重流体克服流动阻力所做的功。2.方程的物理意义和几何意义wh3.总流能量方程的限制条件（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。（5）总流的流量沿程不变。（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。（7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ。1.在位置高度相同，管径相同的同一管道的两断面上，其势能、动能都相等。（×）2.运动水流的测压管水头线可以沿程上升，也可以沿程下降。（√）判断：（1）选择基准面：原则上可任选，一般可尽量使位置水头为零（即：Z=0）。（2）选择计算断面：1渐变流过流断面；2已知数较多的断面；3包含未知数的断面。4.解题步骤（三选一列）（3）选择计算点：2对明渠，可选择在液面上。1对圆形管路，可选择在轴心处；（4）列方程解题注意：1）公式中的压强p可以是绝对压强，也可以是相对压强，只要方程前后统一即可（对气体必须是绝对压强）。2)公式中的γ是指计算流体的重度，各项单位要统一。简言之，分析流动，划分断面，选择基准面，写出方程。注意与连续性方程的联合使用。•例1：如图所示的虹吸管泄水，已知断面1,2及2,3的损失分别为hw1,2=0.6