大学概率论与数理统计复习资料

第一章随机事件及其概率知识点：概率的性质事件运算古典概率事件的独立性条件概率全概率与贝叶斯公式常用公式)()()()()()2(加法定理ABPBPAPBAP),,()()(2111有限可加性两两互斥设nniiniiAAAAPAP),(0)()()()()(互不相容时独立时与BAABPBABPAPABP)()()()()5(ABPAPBAPBAP)()()()()(时当ABBPAPBAPBAP))0(,,()()/()()()6(211inniiiAPAAAABPAPBP且的一个划分为其中全概率公式),,()](1[1)(2111相互独立时nniiniiAAAAPAP)/()()/()()()4(BAPBPABPAPABP)(/)()/()3(APABPABP)()/()()/()()/()7(1逆概率公式niiiiiiABPAPABPAPBAP)(/)()(/)()1(SLALAPnrAP应用举例1、已知事件,AB满足)()(BAPABP，且6.0)(AP，则)(BP（）。2、已知事件,AB相互独立，,)(kAP6.0)(,2.0)(BAPBP，则k（）。3、已知事件,AB互不相容，,3.0)(AP)(,5.0)(BAPBP则（）。4、若,3.0)(AP)(,5.0)(,4.0)(BABPBAPBP（）。5、,,ABC是三个随机事件，CB，事件ACB与A的关系是（）。6、5张数字卡片上分别写着1，2，3，4，5，从中任取3张，排成3位数，则排成3位奇数的概率是（）。7、某人下午5:00下班。他所积累的资料表明：到家时间5:30~5:405:40~5:505:50~6:006:00以后乘地铁0.30.40.20.1乘汽车0.20.30.40.1某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。（1）试求他在5:40~5:50到家的概率；（2）结果他是5:47到家的。试求他是乘地铁回家的概率。解（1）设1A={他是乘地铁回家的}，2A={他是乘汽车回家的}，iB={第i段时间到家的}，4,3,2,1i分别对应时间段5:30~5:40，5:40~5:50，5:50~6:00，6:00以后则由全概率公式有)|()()|()()(2221212ABPAPABPAPBP由上表可知4.0)|(12ABP，3.0)|(22ABP，5.0)()(21APAP35.05.03.04.05.0)(2BP（2）由贝叶斯公式7435.04.05.0)()()|(22121BPBAPBAP8、盒中12个新乒乓球，每次比赛从中任取3个来用，比赛后仍放回盒中，求：第三次比赛时取到3个新球的概率。看作业习题1:4,9,11,15,16第二章随机变量及其分布知识点：连续型（离散型）随机变量分布的性质连续型（离散型）随机变量分布（包括随机变量函数的分布）常用分布重要内容）（Rxxf0)()()()(12121xFxFxxxF单调递增，即）（1)(lim)(0)(lim)(2xFFxFFxx）（)()0()(3xFxFxF右连续，即）（RxxF10)4(）（1iip2．分布律的性质...)2,1(,10ipi1.分布函数的性质（1）非负性（2）规范性3.分布密度函数的性质1)(dxxf（1）非负性（2）规范性4.概率计算5.常用分布）（或泊松分布PXX~)(~)0,...;1,0(,!)(kekkXPk1221()()()PxXxPXxPXx)()(aFaXP)0()()(aFaFaXP21)()(21xxdxxfxXxP0)0()()(aFaFaXPadxxfXaP)()(adxxfaXP)()(为连续型随机变量：X),(~,~pnbXpnBX）或（记为二项分布:),...1,0(,)(nkqpCkXPknkkn条件：ｎ较大且ｐ很小泊松定理)(,!)1(npekppCkknkkn，其他均匀分布0,1)(),(~bxaabxfbaUX，其他指数分布0)0(,0,)()(~xexfEXx),(,21)(),(~222)(2xexfNXx正态分布xxF)(5.0)0()1()(1)()2(xx73.99}3|{|%45.95}2|{|%27.68}1|{|XPXPXP应用举例1、设2()(0)xfxkex是某随机变量的密度函数，则k（）。2、设随机变量X的概率密度为)22(,cos21)(xxxf，则)01(XP＝（）。3、设随机变量X的分布函数为.,1,1,ln,1,0)(exexxxxF则)2(XP=（）。4、设),(~2NX,满足)1()1(XPXP的参数（）。5、离散型随机变量X的分布律为11()(1,2,3)!PXkkck，则c=（）。6、土地粮食亩产量（单位：kg）)60,360(~2NX.按亩产量高低将土地分成等级.若亩产量高于420kg为一级，在360~420kg间为二级，在315~360kg间为三等，低于315kg为四级.求等级Y的概率分布。(5.0)0(,8413.0)1(,7734.0)75.0()解3154360315342036024201XXXXY7、110在长度为t的时间(单位：h)间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为t21的泊松分布,而与时间间隔的起点无关.求某一天中午12时至下午3时至少收到1次呼救的概率。解X的分布律为),2,1,0(!)2()(2kktekXPkt中午12时到下午3时，表明3t求)1(XP8、一批产品由8件正品、2件次品组成。若随机地从中每次抽取一件产品后，无论抽出的是正品还是次品总用一件正品放回去，直到取到正品为止，求抽取次数X的分布律。解X所有可能的取值为1,2,3iA={第i次取到正品}（3,2,1i）看作业习题2:4，7,17，20，24，26,27，28第三章多维随机变量及其分布知识点：二维连续型（离散型）随机变量分布的性质二维连续型（离散型）随机变量的分布（包括边际分布）随机变量的独立性二维常用分布内容提要1.概率分布的性质2.二维概率计算3.边际密度函数计算4.常用分布,2,1,,0jipij离散型非负性111ijijp归一性1),(dxdyyxf连续型归一性;),()(dyyxfxfXdxyxfyfY),()({(,)}(,)GPXYGfxydxdy其他），（），（均匀分布01DyxAyxf二维正态分布5.随机变量的独立性6.正态分布的可加性)()(),(yFxFyxFYX),2,1,(jipppjiij)()(),(yfxfyxfYX21221211~(,)(1,2),,,~(,)iiinnnniiiiNinN设且相互独立则),(~),,(~222211NYNX),,,,(~),(222121NYX应用举例1、设YX,的密度函数其他,00,0,,2yxkeyxfyx则k=（）。2、设离散型随机变量(,)XY的联合分布律为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1/61/91/181/3XYP且YX,相互独立，则（）。3、某箱中有100件产品，其中一、二、三等品分别为70、20、10件，现从中随机的抽取一件，记等品抽到其它iXi10，3,2,1i求（1）1X和2X的联合分布律；（2）并求)(21XXP。4、设随机变量),(YX在曲线xy，xy围成的区域D里服从均匀分布，求联合概率密度和边缘概率密度。5、设二维随机变量),(YX的概率密度为其它01421),(22yxyxyxf求)(XYP6、设随机变量321,,XXX相互独立，并且均服从正态分布3,2,1),,(~2iNXiii，则31~)(iiiibXaX（）。看作业习题3：1,2,3,4,5,6,7,9,10，11,12,13,18第四章随机变量的数字特征知识点：随机变量的数学期望的性质与计算随机变量的方差（协方差、相关系数）的性质与计算主要内容1、数学期望的计算dxxxfXEpxXEXEXiii)()()().(,1连续型离散型求的分布已知）（dxxfxgYEpxgYEYEXgYXiii)()()()()().(),(,2连续型离散型求且的分布已知）（dydxyxyfYEpyYEdydxyxxfXEpxXEYEXEYXRjiijjRijiji22),()()(),()()(:1).()(,),(4连续型离散型连续型离散型方法或求的联合分布已知）（dydxyxfyxgZEpyxgZEZEYXgZYXRijijji2),(),()(),()().(),,(),(3连续型离散型求，且的联合分布已知）（dyyyfYEpyYEdxxxfXEpxXEYjjjXiii)()()()()()(,:2..连续型离散型连续型离散型则先求出边际分布方法2、性质当随机变量相互独立时3、方差的计算4,、方差性质5、协方差与相关系数协方差的计算EXEYEXYYXCOV),(DYDXYXCOVXY),(相关系数的计算DYDXYXCOVXY),()()()()(2121nnXEXEXEXXXE1212()()();()()()().nnEXYEXEYEXXXEXEXEX2()()DXEXEX即22()()[()]DXEXEX易证2(2)()()DaXbaDX2,()()DaXaDX特别地(3)()()()2{[()][()]}DXYDXDYEXEXYEY(1)()0Dc,,()()()XYDXYDXDY特别地当与独立时12:,,nXXX推广当相互独立时有niiniiDXXD11)((,)[()][()]CovXYEXEXYEY应用举例1.某农产品的需求量X(单位：吨)服从区间[1200,3000]上的均匀分布。若售出这种农产品1吨，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大平均利润？解设每年准备该种产品k吨（1200k3000）,则利润Y为　（此时有库存）（此时无库存）ｇkXXkXkXkXY)(22)()]([)(XgEYE2.设随机变量X和Y的方差存在且不等于０，则()()()DXYDXDY是X和Y（）。A、不相关的充分条件，但不是必要条件B、独立的充分条件C、不相关的充分必要条件D、独立的充分必要条件3.已知2)(,4)(YDXD，X与Y相互独立，则)(cbYaXD=（）。4.设随机变量X与Y相互独立，且X与Y有相同的概率分布，数学期望与方差均存在，记YX2，YX3，求解：因为X与Y相互独立，则EXEYXYE)(X与Y有相同的概率分布，则DYDXEYEX,DDEEEDDCov),(）YXYXEE3)((2)(=)3-52(22EYXYXE=22352EYEXEYEX=22)(5EXEX看作业习题4第五章大数定律和中心极限定理知识点：切比雪夫不等式大数定律和中