2-5控制系统的信号流图和梅森公式

20:101第五节信号流图和梅森公式第二章控制系统的数学模型20:102项目内容学习目的掌握由信号流图利用梅森公式求取传递函数的方法。重点利用梅森公式求取传递函数难点闭环系统有关传函的一些基本概念2-5信号流图和梅森公式20:103本节内容信号流图的组成和绘制MASON公式→求系统传递函数闭环系统有关传函的一些基本概念20:104一信号流图的组成和绘制对于复杂的控制系统，结构图的简化过程仍较复杂，且易出错。信号流图：对系统的结构和信号（变量）传递过程的数学关系的图解描述。优点：用梅森公式可以直接写出系统的传递函数，无需对信号流图进行化简和变换。20:105由节点、支路组成基本组成：节点：节点表示信号。输入节点表示输入信号，输出节点表示输出信号。支路：连接节点之间的线段为支路。支路上箭头方向表示信号传送方向。传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路增益。xyGxGy20:1062x3x4x5xabcdef1x有关术语输入节点：源节点。只有输出支路。输出节点：阱节点。只有输入支路。混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。相当于结构图中的信号比较点和引出点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。20:1072x3x4x5xabcdef1xg回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起点和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。20:1082x3x4x5xabcdef1x回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起点和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。g20:1092x3x4x5xabcdef1x回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起点和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。g不接触回路：各回路间没有公共节点的回路。回路增益：回路中所有支路增益的乘积。一般用La表示。20:10102x3x4x5xabcdef1xg前向通路增益：前向通路上各支路增益的的乘积。一般用Gk来表示。前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。20:10112x3x4x5xabcdef1xg前向通路增益：前向通路上各支路增益的的乘积。一般用Gk来表示。前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。20:1012232xxx2342xxxx343xxx2352xxxx23542xxxxx3543xxxx44xx232xxx和44xx2352xxxx和44xxOutputnode1Mixednodeinputnode(source)1x2x3x4x5x6x23a32a34a45a25a44a24a12a43a1235453a单独回路(7个)不接触回路(2组)20:10131信流图是线性代数方程组结构的一种图形表示，两者一一对应。说明1121233254355xxxaxdxexxbxxxcxxxf2x3x4x5xabcdef1x20:10142对于一个给定的系统，由于描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式，因此信号流图不是唯一的。3混合节点可以通过增加一个增益为1的支路变成为输出节点,且两节点的变量相同。2x3x4xabcde1xx5120:1015由原理图绘制信号流图(1)列写系统原理图中各元件的原始微分方程式。(2)将微分方程组取拉氏变换，并考虑初始条件，转换成代数方程组。(3)将每个方程式整理成因果关系形式。(4)将变量用节点表示，并根据代数方程所确定的关系，依次画出连接各节点的支路。信号流图的绘制20:1016例绘制RLC电路的信号流图，设电容初始电压为uo(0)，回路中电流的初始值为i(0)。20:1017o[()(0)]()()()iLsIsiRIsUsUs－＋＝－oo[()(0)]()CsUsuIs－＝1列写网络微分方程式如下：od()()()()diitLRitututt＋＝－od()()dutCitt＝2方程两边进行拉氏变换：20:10183按照因果关系，将各变量重新排列得方程组：oo[()(0)]()CsUsuIs－＝o[()(0)]()()()iLsIsiRIsUsUs－＋＝－o()()(0)()iUsUsiIsRLsRsL－＝＋＋＋oo(0)()()uIsUsCs＝＋20:1019o()()(0)()iUsUsiIsRLsRsL－＝＋＋＋oo(0)()()uIsUsCs＝＋1LsR1-1()()ioUsUs4按照方程组绘制信流图1s(0)ou()oUs()iUs()Is(0)i11RL1C20:1020由系统结构图绘制信号流图信号流图包含了结构图所包含的全部信息，在描述系统性能方面，其作用是相等的。但是，在图形结构上更简单方便。结构图：输入量比较点引出点信号线方框输出量信流图：输入节点混合节点支路输出节点20:1021由系统结构图绘制信号流图的步骤1）将方框图的所有信号(变量)换成节点，并按方框图的顺序分布好；2）用标有传递函数的线段(支路)代替结构图中的方框。20:1022画出系统的信流图。G1G6G7G2G3G5-H1-H2G4abcdR(s)C(s)20:1023注意：引出点和比较点相邻的处理20:1024例绘制下图所示系统结构图对应的信号流图。20:1025abc()Rs()Cs2()Gs1()Gs3()Gs114()Gs()Hs1将结构图的变量换成节点，并按结构图的顺序分布好；解：2用标有传递函数的线段(支路)代替结构图中的函数方框。abc20:1026输入与输出两个节点间的传递函数可用梅森公式来求取：Nkkk11GΣΔΔGm1m2m3mmm1LLL式中：Δ——信流图的特征式梅森公式=1-(所有单独回路增益之和)+(任意两个互不接触回路增益乘积之和)–(任意三个互不接触回路增益乘积之和)+¨¨¨20:1027Gk——N条前向通路中第k条前向通路的增益；Δk——第k条前向通路余因式，即与第k条前向通路不接触部分的Δ值（特征式）；去掉第K条前向通路后剩余的流图的特征式。N——前向通路的总数。Nkkk11GΣΔΔG20:1028例1利用梅森公式，求：C(s)/R(s)。20:1029G1G6G7G2G3G5-H1-H2G4abcdR(s)C(s)该系统中有四个独立的回路：用梅森公式141L=GH20:1030G1G6G7G2G3G5-H1-H2G4abcdR(s)C(s)该系统中有四个独立的回路：用梅森公式141L=GH2272L=GGH20:1031G1G6G7G2G3G5-H1-H2G4abcdR(s)C(s)该系统中有四个独立的回路：用梅森公式141L=GH2272L=GGH36452L=GGGH20:1032G1G6G7G2G3G5-H1-H2G4abcdR(s)C(s)该系统中有四个独立的回路：用梅森公式141L=GH2272L=GGH36452L=GGGH423452L=GGGGH20:1033G1G6G7G2G3G5-H1-H2G4abcdR(s)C(s)该系统中有四个独立的回路：用梅森公式互不接触的回路L1L2。141L=GH2272L=GGH36452L=GGGH423452L=GGGGH()123412=1-L+L+L+L+LL所以，特征式20:1034G1G6G7G2G3G5-H1-H2G4abcdR(s)C(s)前向通道有三个：112345P=GGGGG1120:1035G1G6G7G2G3G5-H1-H2G4abcdR(s)C(s)前向通道有三个：112345P=GGGGG26145P=GGGG112120:1036G1G6G7G2G3G5-H1-H2G4abcdR(s)C(s)前向通道有三个：112345P=GGGGG26145P=GGGG3712P=GGG1121311L20:1037G1G6G7G2G3G5-H1-H2G4abcdR(s)C(s)前向通道有三个：112345P=GGGGG26145P=GGGG3712P=GGG1121311L20:1038得系统的传递函数C(s)/R(s)为272142543225462721414721346154321332211HGGHGHGGGGHGGGHGGHG1)HG(1GGGGGGGGGGGG)ΔpΔpΔ(pΔ1GR(s)C(s)Δ=1-(L1+L2+L3+L4)+L1L2G1=G1G2G3G4G5Δ1=1G2=G1G6G4G5Δ2=1G3=G1G2G7Δ3=1-L1Nkkk11GΣΔΔG将代入20:1039e1abcdfghC(s)R(s)四个单独回路，两个回路互不接触。C(s)R(s)=1––––++前向通路两条。afbgchefhgahfced(1g)–bdabc例2：求系统传递函数。20:1040例3：求系统的传递函数12,LbgLbci单独回路:abcdefghi3456,,,LehgLeiLfLch45LLeif两两互不接触回路:1bgbciehgeifcheif20:104111,1Gabcdabcdefghi()(1)()1CsabcdadefRsbgbciehgeifcheif22,1Gadef由梅森公式，得传递函数20:1042G1G2-RC例4用梅森公式求系统传递函数。20:1043解：由结构图绘制出信号流图。G1G2C(s)R(s)1111111-1x1x2x3x4x5x620:1044单独回路有5条：1234111:xxxxxLGG1G2R(s)-1x1x2x3x4x5x620:1045单独回路有5条：1234111:xxxxxLG1654122:xxxxxLGG1G2R(s)-1x1x2x3x4x5x620:1046单独回路有5条：1234111:xxxxxLG1654122:xxxxxLG23652312:xxxxxLGGG1G2R(s)-1x1x2x3x4x5x620:1047单独回路有5条：1234111:xxxxxLG1654122:xxxxxLG1236541412:xxxxxxxLGG23652312:xxxxxLGGG1G2R(s)-1x1x2x3x4x5x620:1048单独回路有5条：1234111:xxxxxLG1654122:xxxxxLG1652341512:xxxxxxxLGG1236541412:xxxxxxxLGG23652312:xxxxxLGGG1G2R(s)-1x1x2x3x4x5x620:1049单独回路有5条：1234111:xxxxxLG1654122:xxxxxLG1652341512:xxxxxxxLGG1236541412:xxxxxxxLGG23652312:xxxxxLGG没有互不接触回路。前向通路有4条：123411:xxxxPGG1G2R(s)-1x1x2x3x4x5x620:1050单独回路有5条：1234111:xxxxxLG1654122:xxxxxLG1652341512:xxxxxxxLGG1236541412:xxxxxxxLGG23652312:xxxxxLGG没有互不接触回路。前向通路有4条：123411:xxxxPG165422:xxxxPGG1G2R(s)-1x1x2x3x4x5x620:1051单独回路有5条：1234111:xxxxxLG1654122:xxxxxLG1652341512:xxxxxxxLGG123