2-5线性方程组的解的结构

§2.5线性方程组解的一般理论第二章线性方程组一、线性方程组有解的判定定理二、齐次线性方程组解的结构三、非齐次线性方程组解的结构1122nnxxx1.线性方程组的向量表示11112211211222221122,,.nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb（1）一、线性方程组有解的判断定理A=(A)000000000000000000001''1,'2'21,2'2'221'1'1,1'1'12'11rrrnrrrrnrrnrrddaaadaaaadaaaaa行变换其中),,2,1(0'riaii.方程组的增广矩阵经过若干次的初等行变换,可以化为如下的行阶梯形矩阵(必要时可重新排列未知量的顺序):最后矩阵对应的线性方程组为：000001222222111212111rrnnrrrrnnrrnnrrddxcxcdxcxcxcdxcxcxcxc01rd（2），有解nr有唯一解nr有无穷多解，恰有个非自由未知量.r（1），无解01rdr=增广矩阵中元素不全为0的行数r增广矩阵中元素不全为0的行数r=未知量的个数r未知量的个数r:系数部分中元素不全为0的行数(有效方程的个数)证明:必要性。线性方程组（1）有解，则此方程组的向量形式可知：12n向量可由向量，，，线性表示，由此可得定理2.17线性方程组（1）有解的充要条件是它的系数矩阵A的秩等于增广矩阵的秩，即R（A）=R（）。AA1212nn，，，，，，，()()rArA等价向量组有相同的秩，即()(),AArArArA充分性：如果则与的列向量组有相同的秩，不妨设矩阵得列向量组的一个12,r极大无关组为，，，12Ar则，，，也是的列向量组的一个极大无关组，12r12r1rn而且，，，，，，，，，12n向量可以由，，，线性表示,即线性方程组（1）有解12r因此向量可以由，，，线性表示显然以下四种提法是等价的：1.方程组（1）有解；123.,,,n，与向量组12,,,,n等价；12,,,n2.能由线性表示；4.矩阵A与矩阵的秩相等，即R（A）=R（）。AA一、线性方程组有解的判定定理()()rArA定理1有解1122(I)nnxxx线性方程组()()rArA推论1线性方程组(I)无解()()rArAn推论2线性方程组(I)有唯一解推论3线性方程组(I)有无穷多解()()rArAn齐次线性方程组（Ⅱ）有非零解()rAn特别地,齐次线性方程组（Ⅱ）一定有解.齐次线性方程组（Ⅱ）仅有零解()rAn与前面对齐次线性方程组解的判定方法作比较定理1如果方程个数m小于未知量个数n，一定有非零解.()rAn【说明】当mn时,一定有,则齐次线性方程组一定有非零解.定理2n个未知量，n个方程的齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是系数行列式D≠0.12()(,,,)nrArn【说明】D≠0,一定有,n12,,,线性无关，对应的齐次线性方程组仅有零解.1.齐次线性方程组解的性质11220(II)nnxxx二、齐次线性方程组解的结构（1）若线性方程组（2）的解，则也是方程组（2）的解12,12证明111222nnnklklklo可得112212,nnklklkl112212.nnklklkl故＝也是方程组（2）的解都是线性方程组（2）的解11221122,nnnnkkkolllo（2）若为齐次线性方程组（2）的解，为实数，则也是齐次线性方程组（2）的解．1c1k证明1122nnkckcko可得c121,nkkk121.nkkck故＝c也是方程组（2）的解1122,nnkkko为齐次线性方程组（2）的解2221212,,,ssssccccc111利用性质和性质可得，若，，，为齐次线性方程组（2）的解，则他们的线性组合＝c，为任意常数，也是齐次线性方程组（2）的解12,,,,t称为齐次线性方程组（2）的基础解系如果12(1),,,;t是齐次线性方程组（2）的一组线性无关的解12(2),,,.t齐次线性方程组（2）的任一解都可由线性表出定义2.16基础解系的定义3、基础解系及其求法12,,,t即是齐次线性方程组（2）的解向量组的一个极大线性无关组12,,,,,t如果为齐次线性方程组（2）的一组基础解系那么齐次线性方程组（2）的通解可表示为ttkkkx221112,,,.tkkk其中是任意常数12,,,s【注1】齐次线性方程组的基础解系满足:①是方程组的解;②线性无关;③解向量组的任一向量都可由线性表示.12,,,s即基础解系是齐次方程组所有解向量构成的向量组的一个极大线性无关组【注3】仅有零解的齐次线性方程组没有基础解系.【注2】齐次线性方程组的基础解系不唯一.00001001~,1,111rnrrrnbbbbA证明：设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨设的前个列向量线性无关．r于是可化为AAA定理2.18如果齐次线性方程组（2）的系数矩阵的秩R（A）＝rn，则齐次线性方程组（2）有基础解系，并且它的任一基础解系中的向量的个数为n-rnrrnrrrnrnrrrrxbxbxbxxbxbxbx11111221,,1122整理可得对应的齐次线性方程组为它与原齐次线性方程组同解nrrnrrrnrnrrrrxbxbxbxxbxbxbx11111221,,112200现对取下列组数：nrx,,x1rnnrrxxx21分别代入nrr,nrrr,nrnrrrrxbxbxbxxbxbxbx111112211122.,100,010,001依次得rxx1.bb,rn,rrn,1,bbr212,bbr111,bbr0011111,0102122rbb.bbrn,rrn,rn1001从而求得原方程组的个解：rn,下面证明是齐次线性方程组解空间的一个基．rn,,,21100,,010,001由于个维向量rnrn线性无关，.,,,)1(21线性无关证明n线性无关.,bbr0011111,0102122rbb.bbrn,rrn,rn1001,所以个维向量亦线性无关.rnnrn,,,21.,,,2)(21线性表示可由证明解空间的任一解都rn,故是方程原方程的解此方程与原方程等价11111,,11nrnrrrnrnrrxbxbxxbxbx的解是11Trnr设11Trnr将带入此方程组中12212111121,,11212rrrnnrrnrrrnrnrrrrrnbbbbbb＝＝1112111100rrrrnbb0102122rrbb1001rn,rrn,nbbnrrrcc211用列向量表示为.rnnrr2211即齐次线性方程组的任意一个解都可由线性表示rn,,11122nrnrccc其中为任意常数.12,,,nrccc1.证明的过程给出了求齐次线性方程组的一个基础解系的方法;【说明】2．基础解系不唯一,如果，则任意n-r个线性无关的解都是一个基础解系;()rAr例1求齐次线性方程组0377,02352,0432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解.解111125327731A对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有A111107540141081111075401410811110754000011115401770000102737015747,0000.7475,7372432431xxxxxx便得341,0xx令122757xx对应有,107473,01757221即得基础解系37,4701线性无关的向量组).,(,10747301757221214321Rccccxxxx并由此得到通解13423423775477xxxxxx3410xx令122757xx可得1227575797,,1101即得基础解系1,,157,,97线性无关的向量组1212123427575797,(,).1101Rxxccccxx并由此得到通解解二对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，A求出方程组的解的过程中，但未知元总是非自由的未知元1x也可选为自由的未知元1x只须对矩阵A化为行最简矩阵的过程中稍做变化，对系数矩阵A作初等行变换，先将其中某一列（不一定是第一列）化为001111125327731A1111~431086201111~431000005201~431000003124124