第5章 截面的几何性质

第五章截面的几何性质概述●截面的几何性质NFApTIP(a)矩形钢板弯曲PP(a)矩形钢板弯曲(b)槽形钢板弯曲这些与构件横截面的形状、尺寸有关的量统称为截面的几何性质。●意义截面设计§5-1静矩和形心定义：和分别称为该截面对z轴和y轴的静矩OyzOyzdAAOyzdAzyyAzASzdASydA性质：●静矩是对一定的轴而言的，同一截面对不同的轴的静矩值是不同的；●静矩值可正、可负，也可能为零；●静矩的单位为：33mmm或AydAAzdA截面的形心坐标：AOyzCdAzzcycyACACydAyAzdAzAAzAyydASzdASCCyAzA什么情况下截面对轴的静矩为零？可见，截面对通过其形心的轴的静矩等于零，反之亦然。对组合截面：11nziiinyiiiSAySAz11zCniiyCniiSyASzA11nCiinCiiyAzA式中：Ai、yi、zi分别表示第i个简单图形的面积和形心坐标。602020C60例1求图示T形截面的形心位置。（尺寸单位mm）602020yC60yczO602020yC60ycz0zOⅡⅠ解：取图示的坐标系，因图形关于y轴对称，所以形心必在y轴上，即zC=0；只需求yC值。1zCniiSyA112212AyAyAA2060506020102060602030mm§5-2惯性矩和惯性积22yAzAIzdAIydA定义：和分别称为该截面对z轴和y轴的惯性矩前面学过极惯性矩：pI2AdA222zypyzIII即：截面对任意一对相互垂直轴的惯性矩之和等于截面对该二轴交点的极惯性矩。●惯性矩OyzdAzyρA2AydA2AzdA●惯性半径22yAzAIzdAIydAzzIrA截面对z轴的惯性半径yyIrA截面对y轴的惯性半径ArArzy22(2)惯性矩的值为正值；惯性积则可正可负。它们的常用单位都是。OyzOyzdAAOyzdAzy定义：称为该截面对z轴和y轴的惯性积AyzdA●惯性积yzAIyzdA●性质：(1)惯性矩、惯性积是对轴而言的，同一截面对不同的轴的数值是不同的；极惯性矩是对点（称为极点）而言的，同一截面对不同点的极惯性矩值也不同。44mmm或OyzdAzyAρ例：试求圆截面杆对z轴、y轴的惯性矩Iz、Iy在等直圆杆扭转问题中已求得：32πd42pdAIA32πddd4222pdIIAzAyAIyzAAA而由图可见，ρ2=y2+z2,从而知zoyyzdAd64π24pdIIIyz根据对称性可知，原截面对于形心轴z和y的惯性矩Iz和Iy是相等的，Iz=Iy，于是得例：试求图示矩形对z轴、y轴的惯性矩Iz、Iy。AydAzI2222bbzhdz312hbAzdAyI2222hhybdy312bhzybhydy同理§5-3惯性矩的平行移轴公式主轴和主惯性矩ACzyAOy1z1CzyabAOCdAzyzyaby1z1y1z1zIyI1zI1yI1:zI先求dAyIAz211ayy1121zAIydAAAAdAadAyadAy2222AyadA2zAIydA0zSA已知：求：一、惯性矩的平行移轴公式zIy、z轴通过形心C12zzIIaA12yyIIbA惯性矩的平行移轴公式注意：y和z轴必须通过截面的形心。可见：截面对通过其形心的轴的惯性矩是对所有平行轴的惯性矩中的最小者。（1）主轴：若截面对某一对坐标轴的惯性积等于零，这一对坐标轴就称为主惯性轴（简称为主轴）。（3）形心主轴：通过形心C的主惯性轴。注意：截面的对称轴一定是形心主轴。（4）形心主惯性矩：截面对形心主轴的惯性矩。（2）主惯性矩：图形对主轴的惯性矩。二、主轴和主惯性矩截面对于通过任一点的主惯性轴的主惯性矩之值，也就是通过该点所有轴的惯性矩中的极大值Imax和极小值Imin。部分图形形心主惯性轴的大致方位CCCCCCC§5-4组合截面惯性矩的计算1nzziiII12zzIIaAC26020a120yⅠC1z01z02ⅡC60yca2z0z000zzzIII2201110222zzIaAIaA2201110222zozzIIaAIaA3322206060202060202020601212yc=30mm641.3610mmC26020a120yⅠC1z01z02ⅡC60yca2z0z思考题AaIIAzaIIyyyy22022)2(22)1(101、图示为两根同一型号的槽钢截面组成的组合截面。已知每根槽钢截面面积A，每根槽钢截面对于自身形心轴y0的惯性矩Iy0以及通过槽钢截面腹板外侧的轴y1的惯性矩Iy1，试问是否可用下列两式中的任何一式求组合截面对于y轴的惯性矩Iy并说明理由：2、试求图a所示截面对于x轴的惯性矩Ix，对于y轴的惯性矩Iy。解：将截面看作由一个矩形和两个半圆形组成，半圆形的形心位置如图b所示。212xxxIII(1)求Ix设矩形对x轴的惯性矩为Ix1，每个半圆形对x轴的惯性矩为Ix2，则有其中：4433mm10333512mm200mm801221adIx8ππ32128π8ππ3222422dddddIIxxC先求IxC根据平行移轴公式可得于是得8ππ3222ddIICxx2xI求4π642d再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：将d=80mm，a=100mm代入后得从而得图a所示截面对x轴的惯性矩：8ππ328ππ32128π8ππ3222224222ddadddddaIICxx44mm1046732xI44mm1027012221xxxIII（2）求Iy此组合截面的y轴就是矩形和半圆形的形心轴，故不必应用平行轴公式而有将d=80mm，a=100mm代入后得128π212224321ddaIIIyyy44mm100541yI