定积分讲义

课程安排：2学期，周学时4,共96学时.主要内容：定积分的计算要求：听课、复习、作业本次课题（或教材章节题目）：第五章定积分第一节定积分的概念与性质教学要求：1.了解定积分的概念2.掌握定积分的性质重点：定积分的性质难点：1.定积分的概念2.定积分的性质教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：1复习5分钟2定积分问题举例15分钟3定积分定义15分钟4定积分的性质30分钟5例题及练习25分钟课后作业参考资料定积分的概念与性质一、复习不定积分的概念二、定积分问题举例曲边梯形的面积曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、)(xfy)0)((xf、bx所围成（如图1）.图1提问：怎样求曲边梯形的面积？方法：分割近似求和取极限(1)分割：用分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间1iixx，，各小区间的长度依次为：1iiixxx，),2,1(i，在各分点处做y轴的平行线，就把曲边梯形的面积分成n个小的曲边梯形(2)近似：在各小区间1iixx，上任取一点i),2,1(i，以)(if为高，ix为底的矩形面积近似代替该区间上的小曲边梯形的面积iA，即iiixfA)(，),2,1(i(3)求和：整个大的曲边梯形的面积等于n个小曲边梯形的面积之和，即niiAA1niiixf1)((4)取极限：设},,max{21nxxx，iniixfA10)(limdxxfba)())((abf.)(ba三、定积分定义1.定义设函数)(xf在],[ba上有界，在],[ba中任意插入若干个分点210xxxabxxnn1把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次记为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取一点i（iix），作乘积iixf)(，),2,1(i，并作和iinixfS)(1，记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba怎样的分法，也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数)(xf在区间],[ba上的定积分，记为baIdxxf)(iinixf)(lim10其中)(xf叫做被积函数dxxf)(叫做被积表达式x叫做积分变量a叫做积分下限b叫做积分上限],[ba叫做积分区间说明：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关.badxxf)(badttf)(baduuf)(（2）定义中区间的分法和i的取法是任意的（3）当函数)(xf在区间],[ba上的定积分存在时，称)(xf在区间],[ba上可积.（4）badxxfA)(曲边梯形面积2.定积分存在定理定理1当函数)(xf在区间],[ba上连续时，则)(xf在区间],[ba上可积.定理2设函数)(xf在区间],[ba上有界，且只有有限个间断点，则)(xf在区间],[ba上可积.3.定积分的几何意义,0)(],[1xfba上）在（baAdxxf)(曲边梯形的面积（2）,0)(],[xfba上在baAdxxf)(曲边梯形面积的负值（3）上变号，在若],[)(baxfxdxxfba)(下方的面积轴上方的面积x4.定积分的性质规定：当ba时，0)(badxxf；当ba时，abbadxxfdxxf)()(.在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小性质1badxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(性质2babadxxfkdxxkf)()((k为常数).性质3（定积分对于积分区间具有可加性）假设bca，badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.推广：不论cba,,的相对位置如何,下式总成立.badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.—+)(xfyy性质4dxba1dxbaab性质5（不等式性质）——比较性质如果在区间],[ba上0)(xf，则0)(dxxfba.)(ba推论：如果在区间],[ba上)()(xgxf，则dxxfba)(dxxgba)(.)(ba性质6设M及m分别是函数)(xf在区间],[ba上的最大值及最小值则baabMdxxfabm)()()()(ba性质7（定积分中值定理）如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则在积分区间],[ba上至少存在一个点，使dxxfba)())((abf.)(ba四、例题例1.用定积分的几何意义求10)1(dxx.解:函数xy1在区间[01]上的定积分是以xy1为曲边以区间[01]为底的曲边梯形的面积.因为以xy1为曲边以区间[01]为底的曲边梯形是一直角三角形其底边长及高均为1所以211121)1(10dxx.例2.用定积分的几何意义求sinxdx.解:因为sinyx在区间[,]上有正有负,所以sinxdx等于[,]上位于x轴上方的图形面积A减去x轴下方的图形面积A,所以00sinsinsin0xdxxdxxdxAA.例3.比较下列各对积分的大小：（1）10xdx与120xdx解：当01x时，2xx，从而11200xdxxdx（2）43lnxdx与432)(lndxx解：当43x时，1lnx，所以2)(lnlnxx，从而43243)(lnlndxxxdx五、练习1.用定积分的几何意义求:（1）10xdx（2）2204xdx（3）0cosxdx2.比较下列各对积分的大小（1）20xdx与20sinxdx（2）221xdx与231xdx（3）10xdx与10xedx课程安排：2学期，周学时4,共96学时.主要内容：定积分的计算要求：听课、复习、作业本次课题（或教材章节题目）：第五章定积分第二节微积分基本公式教学要求：1.了解变上限函数及导数的概念2.掌握牛顿莱布尼兹公式重点：牛顿莱布尼兹公式难点：1.变上限函数及导数2.牛顿莱布尼兹公式的应用教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：1复习10分钟2积分上限函数及其导数25分钟3牛顿莱布尼兹公式25分钟4例题及练习30分钟课后作业参考资料一、复习定积分的概念及性质二、积分上限函数及其导数设函数)(xff(x)在区间[ab]上连续并且设x为[ab]上的一点我们把函数)(xf在部分区间[ax]上的定积分dxxfxa)(称为积分上限的函数它是区间[ab]上的函数记为(x)dxxfxa)(或dttfxxa)()(定理1如果函数)(xf在区间[ab]上连续则函数dttfxxa)()(在[ab]上具有导数并且它的导数为)()(xfdttfdxdxxa(axb)定理2如果函数)(xf在区间[ab]上连续则函数dttfxxa)()(就是)(xf在[ab]上的一个原函数定理的重要意义一方面肯定了连续函数的原函数是存在的另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系三、牛顿莱布尼茨公式定理3如果函数)(xF是连续函数)(xf在区间[ab]上的一个原函数则)()()(aFbFdxxfba此公式称为牛顿莱布尼茨公式也称为微积分基本公式因为)(xF和dttfxxa)()(都是)(xf的原函数所以存在常数C使CxxF)(-)((C为某一常数)由CaaF)(-)(及0)(a得)(aFC，)()(-)(aFxxF.由)()()(aFbbF得)()()(aFbFb即)()()(aFbFdxxfba为了方便起见可把)()(aFbF记成baxF)(于是)()()()(aFbFxFdxxfbaba进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系四、例题例1.求下列函数的导数：（1）20xtdt；（2）xtaedt解（1）2'20()xtdtx（2）'()xtxaedte例2.计算102dxx解由于331x是2x的一个原函数所以31031131]31[33103102xdxx例3.计算2311xdx解由于xarctan是211x的一个原函数所以31231][arctan1xxdx)1arctan(3arctan127)4(3例4.计算121dxx解1212|]|[ln1xdxxln1ln2ln2例5.计算dxxxx)1(241解：原式=dxx4123411dxx4ln562例6.计算正弦曲线xysin在[0π]上与x轴所围成的平面图形的面积解：这图形是曲边梯形的一个特例它的面积00cossinxxdxA(1)(1)2五、练习1.求下列函数的导数：（1）0cosxtdt；（2）2lnxtdt（3）sin1extdt；（4）20sinxtdt2.计算下列定积分：（1）11edtx（2）2301xdx（3）102313-4dxxxx（4）40(1)xxdx（5）2202sin2xdx（6）2111edxx（7）2211()xdxx课程安排：2学期，周学时4,共96学时.主要内容：定积分的计算要求：听课、复习、作业本次课题（或教材章节题目）：第五章定积分第三节定积分的换元积分法及分部积分法教学要求：1.理解换元积分法2.会用换元积分法求解积分重点：换元积分法难点：换元积分法求解积分教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：1复习15分钟2换元积分法15分钟3例题及练习60分钟课后作业参考资料一、复习微积分基本定理及13个常见积分式1.牛顿莱布尼兹公式2.13个常见积分式二、换元积分法定理假设函数)(xf在区间[ab]上连续函数)(tx满足条件(1)a)(b)((2))(t在[](或[])上具有连续导数且其值域不越出[ab]则有dtttfdxxfba)()]([)(（1）这个公式叫做定积分的换元公式注：若将（1）式反过来使用，即交换等号两边式子的位置，按照使用习惯改变积分变量，得到不定积分的第一类换元积分法的定积分形式：dttfdxxxfba)()()]([（2）三、例题例1.计算40cos2xdx解设2tx，则1()22tdxddt当0x时，0t；当4x时，2t24200011cos2cos[sin]22xdxtdtt12例2.计算2211(3-1)dxx解：设31tx，则11()33tdxddt当1x时，2t；当2x时，5t2552221211111[](3-1)3310dxdtxtt例3.计算203sinxdx解：设xtcos，则xdxdtsin-当0x时，1t，2x时，0t.203sinxdx022222001sinsin(1cos)sin(1)xxdxxxdxtdt0313tt=32四、练习计算下列定积分1、3)3sin(dxx2、1221(112)dxx3、dxxex2304、320cosxdx课程安排：2学期，周学时4,共96学时.主要内容：定积分的计算要求：听课、复习、作业本次课题（或教材章节题目）：第五章定积分第三节定积分的换元积分法及分部积分法教学要求：会用换元积分法