天津市塘沽区紫云中学2014年高中数学 1.1.1 正弦定理与余弦定理课件 新人教A版必修5

本课栏目开关填一填练一练研一研1.1.1正弦定理(一)【读一读学习要求，目标更明确】1．掌握正弦定理的内容．2．了解正弦定理的证明方法．3．能初步运用正弦定理解斜三角形．【看一看学法指导，学习更灵活】1．学习本节内容时，要善于运用平面几何知识以及平面向量知识证明正弦定理．2．应熟练掌握利用正弦定理进行三角形中的边角关系的相互转化．1.1.1（一）本课栏目开关填一填练一练研一研1．在△ABC中，A＋B＋C＝，A2＋B2＋C2＝.2．在Rt△ABC中，C＝π2，则ac＝，bc＝.3．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做.4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即，这个比值是.ππ2sinAsinB元素解三角形asinA＝bsinB＝csinC三角形外接圆的直径2R填一填·知识要点、记下疑难点本课栏目开关填一填练一练研一研1.1.1（一）问题探究一正弦定理的证明问题1在Rt△ABC中，C＝90°，试根据直角三角形中正弦函数的定义，证明asinA＝bsinB＝csinC.证明在Rt△ABC中，C＝90°，研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）由正弦函数的定义知：sinA＝ac，sinB＝bc，sinC＝1.∴asinA＝c，bsinB＝c，csinC＝c.∴asinA＝bsinB＝csinC.本课栏目开关填一填练一练研一研问题2在锐角△ABC中，根据右图证明：asinA＝bsinB＝csinC.证明根据三角函数的定义：sinA＝CDb，sinB＝CDa.研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）∴CD＝bsinA＝asinB.∴asinA＝bsinB.同理，在△ABC中，bsinB＝csinC.∴asinA＝bsinB＝csinC成立．本课栏目开关填一填练一练研一研问题3在钝角△ABC中(不妨设A为钝角)，根据右图证明：asinA＝bsinB＝csinC.证明过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）D根据正弦函数的定义知：CDb＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，CDa＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB.∴asinA＝bsinB.同理，bsinB＝csinC.故asinA＝bsinB＝csinC.本课栏目开关填一填练一练研一研小结综上可知，对于任意三角形，均有asinA＝bsinB＝csinC，此即正弦定理．研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）本课栏目开关填一填练一练研一研问题探究二正弦定理的几何解释问题如图1所示，在Rt△ABC中，斜边c等于Rt△ABC外接圆的直径2R，故有asinA＝bsinB＝csinC＝2R，这一关系对任意三角形也成立吗？请你根据图2和图3对锐角三角形和钝角三角形进行探索，并证明你的结论．研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）本课栏目开关填一填练一练研一研证明如图1，当△ABC为直角三角形时，直接得到asinA＝bsinB＝csinC＝2R(a、b、c分别为△ABC中角A、B、C的对边，R为外接圆半径)．如图2，当△ABC为锐角三角形时，研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）D连接BO交圆O于D，连接CD.因为∠A＝∠D，则在△BCD中，asinA＝asinD＝2R.同理，bsinB＝csinC＝2R，即asinA＝bsinB＝csinC＝2R.本课栏目开关填一填练一练研一研如图3，当△ABC为钝角三角形时，研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）连接BO交圆O于D，连接CD，D∠A＝180°－∠D，所以asinA＝asin(180°－D)＝asinD＝2R.同理，bsinB＝csinC＝2R，即asinA＝bsinB＝csinC＝2R.综上所述，对于任意△ABC，asinA＝bsinB＝csinC＝2R恒成立．本课栏目开关填一填练一练研一研典型例题例1在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于()A．1∶2∶3B．2∶3∶4C．3∶4∶5D．1∶3∶2研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）本课栏目开关填一填练一练研一研研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）解析∵A＋B＋C＝π，A∶B∶C＝1∶2∶3，小结正弦定理在实现三角形的边角转化中非常方便，需要进行边角转化时，首先要考虑通过正弦定理来实现．答案D∴A＝π6，B＝π3，C＝π2，∴sinA＝12，sinB＝32，sinC＝1.设asinA＝bsinB＝csinC＝k(k＞0)，则a＝ksinA＝k2；b＝ksinB＝32k；c＝ksinC＝k；∴a∶b∶c＝12∶32∶1＝1∶3∶2，故选D.本课栏目开关填一填练一练研一研跟踪训练1在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()A．6∶5∶4B．7∶5∶3C．3∶5∶7D．4∶5∶6研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）本课栏目开关填一填练一练研一研研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）解析∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，答案B∴b＋c4＝c＋a5＝a＋b6.令b＋c4＝c＋a5＝a＋b6＝k(k0)，则b＋c＝4kc＋a＝5ka＋b＝6k，解得a＝72kb＝52kc＝32k.∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.本课栏目开关填一填练一练研一研例2在△ABC中，求证：a－ccosBb－ccosA＝sinBsinA.证明因为asinA＝bsinB＝csinC＝2R，研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）所以左边＝2RsinA－2RsinCcosB2RsinB－2RsinCcosA＝sin(B＋C)－sinCcosBsin(A＋C)－sinCcosA＝sinBcosCsinAcosC＝sinBsinA＝右边．所以等式成立．本课栏目开关填一填练一练研一研小结正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角与角的关系之间的相互转化的功能更加强大，更加灵活．研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）本课栏目开关填一填练一练研一研跟踪训练2在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则asinA＋b2sinB＋2csinC＝________.研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）解析∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，∴asinA＝bsinB＝csinC＝2R＝2，∴asinA＋b2sinB＋2csinC＝2＋1＋4＝7.7本课栏目开关填一填练一练研一研例3在△ABC中，已知a＝22，A＝30°，B＝45°，解三角形．研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）解∵asinA＝bsinB＝csinC，∴b＝asinBsinA＝22sin45°sin30°＝22×2212＝4.∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c＝asinCsinA＝22sin105°sin30°＝22sin75°12＝42sin(30°＋45°)＝2＋23.本课栏目开关填一填练一练研一研小结已知两角与任一边，利用正弦定理解三角形，有以下两种情况：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）本课栏目开关填一填练一练研一研跟踪训练3在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，解三角形．研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）解由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，得b＝a·sinBsinA＝5·sin45°sin30°＝52；c＝a·sinCsinA＝5·sin105°sin30°＝5·sin(60°＋45°)sin30°＝5·sin60°cos45°＋cos60°sin45°sin30°＝52(6＋2)．本课栏目开关填一填练一练研一研1．在△ABC中，sinA＝sinB，则△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形D练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.1（一）本课栏目开关填一填练一练研一研2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为()A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形解析sin2A＝sin2B＋sin2C⇔(2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．A练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.1（一）本课栏目开关填一填练一练研一研3．在△ABC中，若A＝30°，B＝60°，b＝3，则a等于()A．3B．1C．2D.12B练一练·当堂检测、目标达成落实处填一填练一练研一研1.1.1（一）本课栏目开关4．在△ABC中，若3a＝2bsinA，则B为()A.π3B.π6C.π3或23πD.π6或56π解析令asinA＝bsinB＝k，k＞0，则a＝ksinA，b＝ksinB.C练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.1（一）3a＝2bsinA⇔3sinA＝2sinAsinB⇔sinB＝32.∴B＝π3或23π.本课栏目开关填一填练一练研一研1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．1.1.1（一）本课栏目开关填一填练一练研一研