数字图像处理6 图象重建

第五章图像复原与重建12020年2月15日9时47分主要内容：1.图像退化模型2.图像复原方法无约束复原有约束最小二乘复原逆滤波恢复法运动图像复原维纳滤波复原方法第五章图象复原与重建*第五章图像复原与重建22020年2月15日9时47分3.图象重建的基本概念4.图象重建方法解联立方程组方法傅立叶变换法滤波-逆投影法5.典型应用第五章图像复原与重建32020年2月15日9时47分5.1图像退化模型一.图像退化1.图像退化图像在形成、传输和记录过程中，由于成像系统、传输介质和设备的不完善，使图像的质量变坏，这一过程称为图像的退化。2.图像复原图像的复原就是要尽可能恢复退化图像的本来面目，它是沿图像降质的逆向过程进行。第五章图像复原与重建42020年2月15日9时47分典型的图像复原是根据图像退化的先验知识建立一个退化模型，以此模型为基础，采用各种逆退化处理方法进行恢复，使图像质量得到改善。可见，图像复原主要取决于对图像退化过程的先验知识所掌握的精确程度。3.图像复原的一般过程：确定退化原因建立退化模型反向推演恢复图像第五章图像复原与重建52020年2月15日9时47分4.图像复原评价准则:最小均方准则加权均方准则最大熵准则评价准则是用来规定复原后的图像与原图像相比较的质量标准。第五章图像复原与重建62020年2月15日9时47分5.图像复原与图像增强①目的都是为了改善图像的质量。②图像增强不考虑图像是如何退化的，只通过试探各种技术来增强图像的视觉效果。图像复原则需知道图像退化的机制和过程的先验知识，据此找出一种相应的逆过程方法，从而得到复原的图像。③如果图像已退化，应先作复原处理，再作增强处理。第五章图像复原与重建72020年2月15日9时47分二.图像退化的数学模型g(x,y)=T[f(x,y)]成像系统：输入--f(x,y),输出--g(x,y)，成像系统的作用--T[‧]退化图像为：线性位移不变成像系统线性：T[k1f1(x,y)+k2(x,y)]=k1T[f1(x,y)]+k2T[f2(x,y)]若:g(x,y)=T[f(x,y)],则对任一个f(x,y)和常数a,b,均有：T[f(x-a,y-b)]=g(x-a,y-b)即运算结果仅取决于输入值，而与位置无关空间位移不变：第五章图像复原与重建82020年2月15日9时47分二.图像退化的数学模型1.线性位移不变成像系统图像退化模型g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(x,y)g(x,y)—退化图像f(x,y)--理想图像h(x,y)--点扩散函数n(x,y)--加性噪声Hf(x,y)g(x,y)n(x,y)降质系统第五章图像复原与重建●典型的降质原因(1).光学衍射降质的H(u,v)ddvDuDvuHDyxDyxyxiieee),(),(),(),(0),(1),(00其中，为所考虑光的波长，Do为光曈的直径，Di为出射光曈到影像平面的距离。这是由于相机聚焦不准确引起的，虽然不聚焦由许多参数决定，如相机的焦距、相机孔的大小、形状、物体和相机之间的距离等，但在研究中为了简单起见，我们用下列函数表示聚焦不准引起的模糊。第五章图像复原与重建102020年2月15日9时47分通常模糊算子相当于一个低通滤波器，因此当模糊算子作用于原始图像时，会引起图像中边缘和轮廓的模糊。7×7均匀二维模糊算子作用于图像Camera的结果如下图所示：原始图像7×7均匀二维模糊算子作用后的结果第五章图像复原与重建(2).相机与景物相对运动的降质设T为曝光时间，a(t)和b(t)分别为对象曝光期间在x和y方向位移的分量2/2/])()([2),(TTvtutjdtevuH通常在拍摄过程中，相机或物体移动造成的运动模糊可以用一维均匀邻域像素灰度的平均值来表示。1,()220,LLifihiL其他第五章图像复原与重建122020年2月15日9时47分(3).大汽湍流造成的图像降质这种模糊经常出现在遥感和航空摄影中，由于曝光时间过长引起的模糊可用高斯点扩散函数来表示：222(,)exp()2ijhijK式中K是一个归一化常数，保证模糊的大小为单位值，σ2可以决定模糊的程度。第五章图像复原与重建132020年2月15日9时47分2.线性位移不变系统离散化的退化模型若对图像f(x,y)和点扩散函数h(x,y)均匀采样就可以得到离散的退化模型。假设数字图像f(x,y)和点扩散函数h(x,y)的大小分别为A×B、C×D，可先对它们作大小为M×N的周期延拓图像，其方法是添加零。即：其它01010),(),(ByAxyxfyxfe1,1DBNCAM其它01010),(),(DyCxyxhyxhe第五章图像复原与重建142020年2月15日9时47分把周期延拓的fe(x,y)和he(x,y)作为二维周期函数来处理，即在x和y方向上，周期分别为M和N，则由此得到离散的退化模型为两函数的卷积：1010),(),(),(MmNneeenymxhnmfyxg加上一个延拓为M×N的离散噪声项，则：1010),(),(),(),(MmNneeeeyxnymxhnmfyxg式中x=0,1,2,…,M-1，y=0,1,2,…,N-1。函数ge(x,y)为周期函数，其周期与fe(x,y)和he(x,y)的周期一样。第五章图像复原与重建为便于讨论和求解，用堆叠方式将二维信号表为一维向量，即：将f、g和n皆相应各行顺时针旋转90度堆叠成M×N维向量，则退化模型可被表示为向量矩阵形式：g=Hf+nf=fe(0,0)fe(0,1)fe(0,N-1)…fe(1,N-1)fe(1,0)fe(1,1)…fe(M-1,N-1)fe(i,N-1)……g=ge(0,0)ge(0,1)ge(0,N-1)…ge(1,N-1)ge(1,0)ge(1,1)…ge(M-1,N-1)ge(i,N-1)……M×N行M×N行从而使g=H•f第五章图像复原与重建则H为MN×MN阶的分块矩阵，这一矩阵为M×M分块循环阵。H的任意元素Hj是由h(x,y)第j行循环构成，且Hj为N×N循环阵。M×M个分块其子块：N×N维03M2M1M301221M0112M1M0H...HHH...............H...HHHH...HHHH...HHHH)0,(...)3,()2,()1,(...............)3,(...)0,()1,()2,()2,(...)1,()0,()1,()1,(...)2,()1,()0,(jhNjhNjhNjhjhjhjhjhjhNjhjhjhjhNjhNjhjheeeeeeeeeeeeeeeejH第五章图像复原与重建因此，H为分块循环矩阵，分块Hj中元素的第二个下标也是按循环方式变化的。nfHg于是，二维离散的降质模型化为：解决降质的问题化为求解线性方程组的问题。可以用线性代数和数值分析的方法进行处理。由于h为循环矩阵，有可能进行对角化处理，简化求解。][1ngHf第五章图像复原与重建182020年2月15日9时47分例：设87654321,635241hf若忽略噪声，求退化图像。解：周期延拓M=4,N=500000000000876504321,00000000630005200041eehfadcbbadccbaddcbaHHHHHHHHHHHHHHHHH第五章图像复原与重建192020年2月15日9时47分0,5678005678805677805667805,1234001234401233401223401bbdaHHHH用堆叠行列式Tf00000360002500014000计算g得到退化图像。第五章图像复原与重建202020年2月15日9时47分5.2图像复原方法一.代数复原方法图像复原的目的是在假设具备有关g、h和n的某些知识的情况下，寻求估计原图像f的某些方法。本部分讨论在均方误差最小意义下，原图像f的最佳估计，第五章图像复原与重建212020年2月15日9时47分1.无约束复原由g=Hf+n式可得退化模型中的噪声项为Hfgnn—未知，有意义的准则函数是寻找一个使得在最小二乘意义上近似于f,即要使噪声项的范数尽可能小,也就是使minˆ22fHgn把这一问题等效地看作为求准则函数2ˆ)ˆ(fHgfJfˆ关于最小的问题fˆ第五章图像复原与重建根据范数定义：对向量求导的两个性质：设a和b为两个列向量，[A]为对称矩阵，J为一标量则：(1)若J＝aTb=bTa，则：(2)若J＝aTAa，则：因此可将图像复原问题看作是对求下式的最小值：为此通过J对求偏导数，并将结果设为零而达到。将上述性质用于对求偏导，有下面结果：第五章图像复原与重建于是求出：因此：向量性质1性质1性质2第五章图像复原与重建若设M＝N，即H为方阵，并设H－1存在，则：gHgHHHfTT111)(ˆ--逆滤波恢复法若H为奇异的，无论H-1或（HTH）-1都不存在。这会导致恢复问题的病态性或奇异性。第五章图像复原与重建252020年2月15日9时47分2.有约束最小二乘复原为了克服恢复问题的病态性质，常需要在恢复过程中施加某种约束。这就是有约束复原。令Q为f的线性算子，有约束最小二乘法复原问题是使形式为服从约束条件的最小化问题。这可以归结为寻找一个，使下面准则函数最小。2ˆfQ22ˆnfHgfˆ222ˆˆ)ˆ(nfHgfQfJ其中，Q是选来对进行某种线性运算的矩阵，λ为一常数,叫作拉格朗日系数。fˆ第五章图像复原与重建262020年2月15日9时47分令：对的导数为零，有)ˆ(fJfˆ0)ˆ(2ˆ2ˆ)ˆ(fHgHfQQffJTTgHQQHHfTTT1)(ˆ其中γ=1/λ。这是求有约束最小二乘复原图像的通用方程式。解得：第五章图像复原与重建272020年2月15日9时47分通过指定不同的Q,可以达到不同的复原图像。下面便利用通用方程式给出几种具体恢复方法。(1)能量约束恢复若取线性运算Q=I则得此解的物理意义是在约束条件为时，复原图像能量应保持不变。gHIHHfTT1)(ˆ2ˆ)ˆ(fHgfJ第五章图像复原与重建282020年2月15日9时47分(2)平滑约束恢复把考虑成x,y的二维函数，即同时考虑在x和y两个方向上的差分，那么光滑约束取为原图像的拉普拉斯运算。即fˆ),(4)1,()1,(),1(),1(),(),(2222yxfyxfyxfyxfyxfyyxfxyxf用卷积形式表示如下),(),(),(2020nmCnymxfyxfnm010141010),(nmc第五章图像复原与重建292020年2月15日9时47分约束条件为使下式为最小。10102)],(4)1,()1,(),1(),1([MxNyyxfyxfyxfyxfyxf令Q=C,复原就是在约束条件下使为最小。最佳复原解为2ˆ)ˆ(fHgfJ2ˆfcgHCCHHfTTT1)(ˆ第五章图像复原与重建302020年2月15日9时47分(3)均方误差最小滤波（维纳滤波）将f和n视为随机变量，并选择Q为噪声与信号之比其中和，分别为信号和噪声的协方差矩阵。则解为一般把γ≠1时为含参维纳滤波，γ=1时为标准维纳滤波。2121nfRRQTfffERTnnnERgHRRHHfTnfT11)(ˆ