小专题(二)-二次函数的应用

第21章二次函数与反比例函数小专题（二）二次函数的应用小专题-3-二次函数的应用是中考的高频考点,主要是与代数、几何、实际情景三个方面结合考查.二次函数与代数的结合常见题型有:求抛物线与坐标轴的交点坐标、利用一元二次方程根的判别式判断抛物线与x轴的交点个数等.掌握一元二次方程的解法和根的判别式是解答此类问题的关键.二次函数通常会与三角形、四边形等几何图形相结合,涉及求几何图形的顶点坐标、面积等问题.解答此类问题的关键是掌握二次函数表达式的确定、二次函数的图象及性质与几何图形的性质,最终解决问题.二次函数的实际应用,解题的关键是根据题意列出函数表达式,常见的应用题型有利润问题、图形面积问题、体育运动问题以及方案设计问题,经常需要建立函数模型,列出函数表达式进行求解.用二次函数解决实际问题是中考的必考内容.这部分内容多出现在解答题部分,也经常以选择题、填空题的形式考查.小专题-4-类型1二次函数与代数的结合1.抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点坐标是(C)A.(0,-1)B.(1,0)C.(1+2,0),(1-2,0)D.(-1+2,0),(-1-2,0)2.已知抛物线y=x2-5x-6.(1)若该抛物线与y轴交于点C,求点C的坐标;(2)若该抛物线与x轴交于点A和点B(点A在点B左侧),求点A、点B的坐标.解:(1)当x=0时,y=-6,所以点C坐标为(0,-6).(2)当y=0时,x2-5x-6=0,解得x1=-1,x2=6,因为点A在点B左侧,所以点A坐标为(-1,0),点B坐标为(6,0).小专题-5-3.(绵阳中考)将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点,则实数b的取值范围是(D)A.b8B.b-8C.b≥8D.b≥-84.求证:函数y=mx2-(3m-1)x+2m-2的图象与x轴必有交点.证明:①当m=0时,函数为一次函数y=x-2,其图象与x轴有交点(2,0);②当m≠0,函数为二次函数,∵Δ=(3m-1)2-4m(2m-2)=m2+2m+1=(m+1)2≥0,∴抛物线y=mx2-(3m-1)x+2m-2与x轴必有交点.小专题-6-5.如图,抛物线y=-2x2+nx-6与x轴交于点A(m,0),B(3,0).(1)求m,n的值;(2)点D是该抛物线在第一象限部分上的一动点,△ABD的面积是否能等于6?若能,求出点D的坐标;若不能,请说明理由.解:(1)抛物线y=-2x2+nx-6经过点B(3,0),所以0=-18+3n-6,n=8;抛物线为y=-2x2+8x-6,当y=0时,即-2x2+8x-6=0,解得x=1或x=3,所以点A坐标为(1,0),m=1.(2)不能.理由:设点D的横坐标为m,则点D的纵坐标为-2m2+8m-6,由(1)得点A坐标为(1,0),点B坐标为(3,0),所以AB=2,又点D在第一象限,结合三角形面积公式有12×2·(-2m2+8m-6)=6,整理为m2-4m+6=0,由于Δ=(-4)2-24=-80,此方程无实数解,所以△ABD的面积不能等于6.小专题-7-类型2二次函数与三角形的结合6.如图,二次函数y=-35x2+bx+c的图象经过点A(5,0)与B(0,3).(1)试确定该二次函数;(2)若点C是该二次函数图象的顶点,试确定点C的坐标;(3)点P是该二次函数对称轴上一动点,若以点P,点O,点B为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出点P的坐标(不用说理).小专题-8-解:(1)根据题意,得𝑐=3,-35×52+5𝑏+3=0,解得𝑏=125,𝑐=3,所以二次函数表达式为y=-35x2+125x+3.(2)y=-35x2+125x+3=-35(x2-4x)+3=-35(x-2)2+275,所以顶点C的坐标为2,275.(3)点P坐标为2,32或(2,5)或(2,-5)或(2,3-5)或(2,3+5).小专题-9-类型3二次函数与四边形的结合7.(湖南岳阳)如图,抛物线y=23x2+bx+c经过点B(3,0),C(0,-2),直线l:y=-23x-23交y轴于点E,且与抛物线交于A,D两点.P为抛物线上一动点(不与A,D重合).(1)求抛物线的表达式;(2)当点P在直线l下方时,过点P作PM∥x轴交l于点M,PN∥y轴交l于点N.求PM+PN的最大值;(3)设F为直线l上的点,以E,C,P,F为顶点的四边形能否构成平行四边形?若能,求出点F的坐标;若不能,请说明理由.小专题-10-解:(1)将B(3,0),C(0,-2)代入y=23x2+bx+c,得6+3𝑏+𝑐=0,𝑐=-2,解得𝑏=-43,𝑐=-2,∴抛物线的表达式为y=23x2-43x-2.(2)设P𝑎,23𝑎2-43𝑎-2(-1a2),则N𝑎,-23𝑎-23,∴PN=-23a2+23a+43=-23𝑎-122+32≤32,∵M,N在直线l:y=-23x-23上,PM∥x,PN∥y,∴𝑃𝑁𝑃𝑀=23,∴PM+PN=52PN≤154.即PM+PN的最大值为154.(3)能.F点的坐标为1,-43,(-1,0),1+172,-3+173,1-172,3-173.小专题-11-类型4最值问题8.如图,直线y=kx+b(k,b为常数)分别与x轴、y轴交于点C(-3,0),D(0,3),抛物线y=-23x2+43x+2与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧).(1)求直线y=kx+b的表达式;(2)求点A和点B的坐标;(3)若直线l与x轴垂直,在点A与点B之间移动,且与直线y=kx+b(k,b为常数)交于点E,与抛物线y=-23x2+43x+2交于点F,求EF的最小值.小专题-12-解:(1)∵直线y=kx+b经过点C(-3,0),D(0,3),∴-3𝑘+𝑏=0,𝑏=3,解得𝑘=1,𝑏=3,∴直线的表达式是y=x+3.(2)当y=0时,即-23x2+43x+2=0,解得x1=-1,x2=3,又点A在点B的左侧,所以点A坐标为(-1,0),点B坐标为(3,0).(3)令点E,F的横坐标为a,EF=s,点F的纵坐标为-23a2+43a+2,点E的纵坐标为a+3,所以s=(a+3)--23𝑎2+43𝑎+2=23a2-13a+1(-1a3),又s=23a2-13a+1=23(a2-12a)+1=23(a-14)2+2324,由于230,所以抛物线的开口向上,又-1a3,所以当a=14时,s有最小值2324,且最小值为2324,即EF的最小值为2324.小专题-13-类型5利润问题9.已知老王一个月销售某种服装x(件)与获得利润y(元)满足表达式:y=-x2+1200x-120000,则当一个月卖出600件衣服时,获得最大利润240000元.10.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:w=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为y(元).(1)求y与x之间的函数表达式;(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?小专题-14-解:(1)y=(x-20)(-2x+80)=-2x2+120x-1600.(2)y=-2x2+120x-1600=-2(x-30)2+200,∴当x=30时,y有最大值200,即当销售价定为30元/千克时,每天可获最大销售利润200元.(3)当y=150时,可得方程-2(x-30)2+200=150,解得x1=25,x2=35,根据题意,x2=35不合题意,应舍去,∴当销售价定为25元/千克时,该农户每天可获得销售利润150元.小专题-15-类型6几何图形面积问题11.用长为6m的铝合金条制成“日”字型矩形窗户,使窗户的透光面积最大(如图),那么这个窗户的最大透光面积是(C)A.23m2B.1m2C.32m2D.3m2小专题-16-12.如图,用长20m的篱笆,一面靠墙(墙足够长)围成一个长方形的园子,园子的最大面积是50m2.小专题-17-13.如图所示,某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛.矩形的四个顶点分别在菱形的四条边上,菱形的边长AB=4米,∠ABC=60°.设AE=x米(0x4),矩形的面积为S平方米.(1)求S与x的函数表达式;(2)学校准备在矩形内种植红色花草,四个三角形内种植黄色花草,已知红色花草的价格为20元/平方米,黄色花草的价格为40元/平方米.当x为何值时,购买花草所需的总费用最低,最低总费用是多少?(结果保留根号)小专题-18-解:(1)连接AC,BD,AC与EH交于点M.∵花坛为菱形,∠ABC=60°,∴△ABC,△BEF是等边三角形,AC⊥EH.∴EF=BE=AB-AE=4-x.在Rt△AEM中,∠AEM=30°,易得EM=32x,∴EH=2EM=3x.∴S=EH·EF=3x·(4-x),即S=-3x2+43x.(2)∵红色花草价格比黄色花草便宜,∴当矩形面积最大时,购买花草的总费用最低.又∵S=-3x2+43x=-3(x-2)2+43,∴当x=2时,S最大=43.易得S菱形ABCD=83,此时四个三角形的面积为83-43=43.∴最低总费用为20×43+40×43=2403(元).小专题-19-类型7分段函数问题14.(达州中考)宏兴企业接到一批产品的生产任务,按要求必须在14天内完成.已知每件产品的出厂价为60元.工人甲第x天生产的产品数量为y件,y与x满足如下关系:y=7.5𝑥(0≤𝑥≤4),5𝑥+10(4𝑥≤14),(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件?(2)设第x天生产的产品成本为P元/件,P与x的函数图象如图.工人甲第x天创造的利润为W元,求W与x的函数表达式,并求出第几天时,利润最大,最大利润是多少?小专题-20-解:(1)当0≤x≤4,当x=4时,7.5×4=3070,当4x≤14时,70=5x+10,解得x=12,∴工人甲第12天生产的产品数量为70件.(2)当0≤x≤4时,W=(60-40)×7.5x=150x,当x=4时,w有最大值为600元;当4x≤14,设成本与x之间的函数表达式为P=kx+b,代入点(4,40),(14,50)得4𝑘+𝑏=40,14𝑘+𝑏=50,解得k=1,b=36,∴P=x+36.∴W=[60-(x+36)](5x+10)=-5(x-11)2+845,∴当x=11时,W有最大值为845.∴第11天时,利润为最大,最大值为845元.小专题-21-15.某超市以每件20元的价格新进一批商品,经市场调研发现:该商品每天的销售量y(件)与销售价格x(元/件)(20≤x≤60)的关系如下图所示.(1)试确定y与x之间的函数表达式(写出自变量的取值范围);(2)若超市一天销售该商品的利润为w(元),写出w与商品的售价x(元/件)之间的函数表达式;(3)求(2)中当销售价格x定为多少时,一天的利润w最大,最大利润是多少?小专题-22-解:(1)分两种情况:①当20≤x≤30时,设y=ax+b,根据题意得20+𝑏=200,30𝑎+𝑏=400,解得𝑎=20,𝑏=-200,∴y=20x-200;②当30x≤60时,设y=mx+n,根据题意得30𝑚+𝑛=400,60𝑚+𝑛=100,解得𝑚=-10,𝑛=700,∴y=-10x+700,故y与x之间的函数表达式是y=20𝑥-200(20≤𝑥≤30),-10𝑥+700(30𝑥≤60).(2)当20≤x≤30时,w=(x-20)(20x-200)=20x2-600x+4000;当30x≤60时,w=(x-20)(-10x+700)=-10x2+900x-14000.w=20𝑥2-600𝑥+4000(20≤𝑥≤30),-10𝑥2+900𝑥-14000(30𝑥≤60).