知识讲解_余弦定理_基础

余弦定理编稿：李霞审稿：张林娟【学习目标】1.掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法；2.熟记余弦定理及其变形形式，会用余弦定理解决两类基本解三角形问题；3.通过三角函数，余弦定理，向量的数量积等知识间的联系，理解事件之间的联系与辨证统一的关系.【要点梳理】要点一：学过的三角形知识1.ABC中（1）一般约定：ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c；（2）0180ABC；（3）大边对大角，大角对大边，即BCbc；等边对等角，等角对等边，即BCbc；（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即acb，acb.2.RtABC中，090C，（1）090BA，（2）222abc（3）sinaAc，sinbBc，sin1C；cosbAc，cosaBc，cos0C要点诠释：初中讨论的三角形的边角关系是解三角形的基本依据要点二：余弦定理及其证明三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：余弦定理的推导已知：ABC中，BCa，ACb及角C，求角C的对应边c.证明：方法一：向量法（1）锐角ABC中（如图），CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222∵ACCBAB，∴()()ABABACCBACCB222ACCBACCB22||2||||cos()||ACCBACCCB222cosbbaCa即：2222coscababC(*)同理可得：2222cosbacacB,2222cosabcbcA要点诠释：（1）推导（*）中，AC与CB的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此AC与CB的夹角应为C，而不是C.（2）钝角三角形情况与锐角三角形相同。（3）对于直角三角形中2C时，cos0C,222cab，也满足余弦定理。方法二：解析几何方法——利用两点间距离公式这里我们只讨论锐角三角形的情形，对于直角三角形和钝角三角形的情形的讨论相同。如图所示建立坐标系.则点(0,0)A，(,0)Bc，(cos,sin)CbAbA由B、C两点间的距离可知，22||(cos)(sin0)BCbAcbA即222cosabcbcA整理得到2222cosabcbcA.余弦定理的变形公式：222222222cos,cos,cos222bcaacbabcABCbcacab要点三：利用余弦定理解三角形1.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；②已知三角形的三条边，求其三个角。要点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.2.解斜三角形的基本问题：已知条件解法解的情况一边和两角（例如a,B,C)1．利用A+B+C=180，求A2．应用正弦定理求b,c唯一解两边和夹角（例如a,b,C）1．应用余弦定理求边c2．应用正弦定理求a,b中较短的边所对的角（该角一定是锐角）3．利用A+B+C=180，求第三个角.唯一解三边（例如a,b,c)法一:1、应用余弦定理先求任意两个角2．用A+B+C=180，求第三个角法二:1、应用余弦定理求a,b,c中最长边所对的角2、应用正弦定理求余下两个角中的任意一个（该角一定是锐角）3、利用A+B+C=180，求第三个角唯一解两边及其中一边的对角（例如a,b,A)此类问题首先要讨论解的情况1．应用正弦定理，求另一边的对角（即角B）2、利用A+B+C=180，求第三个角3、应用正弦或余弦定理求第三边两解、一解或无解要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解。要点三：利用正、余弦定理判断三角形的形状余弦定理、正弦定理与三角形中的三角变换结合在一起，运用三角函数的变换公式进行三角函数式的变形转化，在三角形中，解决有关含有边角关系的问题时，可以运用余弦定理完成边角互化，通过变形转化成三角形三边之间的关系，判断三角形的形状.判断三角形形状有两条思考路线：其一是化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；其二是化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式，两种转化主要应用正弦定理和余弦定理.【典型例题】类型一：余弦定理的简单应用例1．已知ABC中，3AB、37BC，4AC，求ABC中的最大角。【思路点拨】首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.【解析】∵三边中37BC最大，∴BC其所对角A最大，根据余弦定理：22222234(37)1cos22342ABACBCAABAC，∵0180A，∴120A故ABC中的最大角是120A.【总结升华】1.ABC中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.举一反三：【变式1】已知ABC中3a,5b,7c,求角C.【答案】根据余弦定理：2222225371cos22352abcCab，∵0180C，∴120oC【变式2】在ABC中，角,,ABC所对的三边长分别为,,abc，若::abc6:2:31（），求ABC的各角的大小．【答案】设6ak，2bk，31ck，0k根据余弦定理得：263142cos22316B，∵0180B，∴45B；同理可得60A；∴18075CAB【高清课堂：余弦定理376695题一】【变式3】在ABC中，若222abcbc，则角A等于（）.A.3B.6C.23D.3或23【答案】∵222bcabc，∴2221cos22bcaAbc∵2A，∴23A类型二：利用余弦定理判断三角形的形状例2．在△ABC中，sinsinsincoscosBCABC，判断这个三角形的形状.【思路点拨】判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.【解析】应用正弦定理、余弦定理，可得22222222bcacababccaab，所以22222222cababcbccb,化简得a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.【总结升华】恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cosA=0.举一反三：【变式1】在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状是______．【答案】等腰三角形由题设和正、余弦定理得2×2222acbac＝ca，化简得a2－b2＝0，即a＝b.【高清课堂：余弦定理376695题六】【变式2】三角形ABC中满足下列条件1cos1cosAaBb；试判断三角形的形状。【答案】利用余弦定理得2222221212bcaabcacbbac，化简得ab，所以三角形为等腰三角形类型三：正弦定理、余弦定理的综合应用例3．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及cBbsin的值.【思路点拨】因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理.由b2=ac可变形为cb2=a，再用正弦定理可求cBbsin的值.【解析】∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac.又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.在△ABC中，由余弦定理得cosA=bcacb2222=bcbc2=21，∴∠A=60°.解法一：在△ABC中，由正弦定理得sinB=aAbsin，∵b2=ac，∠A=60°，∴acbcBb60sinsin2=sin60°=23.解法二：在△ABC中，由面积公式得21bcsinA=21acsinB.∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB.∴cBbsin=sinA=23.【总结升华】解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.举一反三：【变式1】在△ABC中，0120,,21,3ABCAcbaS，求cb,。【答案】1sin3,4,2ABCSbcAbc2222cos,5abcbcAbc，而cb所以4,1cb【变式2】在ABC中，已知3b,4c,0135A.求B和C.【答案】由余弦定理得：21225135cos43243222oa，∴48.621225a由正弦定理得：sin3sin135sin0.327obABaa，因为0135A为钝角，则B为锐角，∴0/197B.∴00/180()2553CAB.【变式3】在ABC中，已知角,,ABC所对的三边长分别为,,abc，若2a，22b，62c，求角A和sinC【答案】根据余弦定理可得：222884343cos2222262bcaAbc∵0180A，∴30A；∴由正弦定理得：62sin3062sinsin24cACa.