流体力学课件2

本章除研究流体运动学之外，还将同时分析一些动力学的量。如流体微团的质量，作用在流体上的各种力等，即研究流体动力学。因为在研究时不考虑流体中的粘性，所以也叫理想流体运动学。3.1压强和压强梯度力1.作用于流体上的力在流体中任选一体积，则作用上的所有外力可分为二类：一类是作用于内所有流体微团（元）上的力，其大小与流体的质量成正比，我们称之为质量力（或体积力）。例重力，引力等都是质量力。:单位质量上的质量力，:有限体积上的质量力FdF另一类是与界面s接触的流体或固体作用于表面s上的力。我们称之为表面力。例压力、摩擦力都是表面力。np:单位面积上的表面力;sndsp:包含的有限曲面s上的表面力一般情况下，表面力都可以分解成：沿法线方向的法应和沿切线方向的切应力。对于理想流体,切应力为零,只需考虑法向应力。而且对于理想流体，因只能承受压力而不能承受拉力，所以理想流体中的法向应力就是压力，其方向与反向。snC.H.3理想流体动力学的周围流体对的表面有作用力；反之，内流体对周围流体亦有反作用力。dspn:外作用在面上的应力;dspn:内流体于面上的应力dsds则据牛顿第三定律，有：dspdspnnnnpp2.压强（单位面积上的法向表面力）对于理想流体，无切应力存在，所以在流体内部，应力处处与它所作用的面垂直，且指向的负向。压强数学表示：ndsdpspps0lim对于理想流体，实验说明，流体内部任一点的压强（数值）与计算该点的压强时所取表面的方向无关。因此，理想流体压力的大小与作用面的方向无关，仅决定于该点的位置和所考虑的时间。压力可表示为坐标和时间的函数，即：),,,(tzyxpp3.表面力合力的性质：压强梯度力于理想流体中任取一平行六面体。各面分别垂直于坐标轴。各边为dx,dy,dz。因在理想流体中，作用该体积面上的表面力就是压力。BACEDFHGzyxdxdzdyD’考虑垂直于x轴的两个平面上的压力之合力:作用在ABCD上的压力:作用在EFGH上的压力:作用在这两个面上表面力的合力为：),,,(tzyxpdydzdxxpp)21(dydzdxxpp)21(D’:dxpdxdydzxp作用于垂直于轴的各两个平面上表面力的合力：dypdzp作用于整个体积表面上的表面力之合力为：()pppijkdpdxyz作用于单位体积上表面力的合力为称之为压强梯度力:p3.2理想流体运动方程式封闭组1.欧拉型运动方程式BACEDFHGzyxdxdzdyD’V,D’:),,,(tzyxp1)表面力：x,y,z方向表面力的合力分别为：dxpdxdydzxpdypdxdydzypdzpdxdydzzp2)质量力：若作用单位质量上的质量力在x,y,z轴上的投影为X,Y,Z,则作用在上六面体上的质量力在x,y,z轴上的投影为：dxdydzXdxdydzYdxdydzZ据牛顿第二定律，马上可得运动方程：dzpZdddtdwdypYdddtdvdxpXdddtduzpZdtdwypYdtdvxpXdtdu111其向量形式为：pFdtvd1pFvvtv13)惯性力：dxdydzdtdudxdydzdtdvdxdydzdtdw欧拉型运动方程式2.封闭方程组欧拉方程中:包含八个物理量通常质量力已知的，而且大都是重力,剩下五个未知数,求解需要五个方程，有四个方程，即三个运动方程（标量形式）及一个连续方程：pwvuZYX,,,,,,,pFdtVd10Vdtd方程组不封闭。只能增加一个假设，以便使方程组封闭。例：1)假定流体不可压且均质，即：2)假定流体是正压:3)斜压流场:const)(pf0),(pF(,,,...)fpst引入新的变量，需引入所的方程，利用热力学中有关定律。例对于理想气体，其状态方程为：其中R为气体常数，T为绝对温度,需考虑热力学第一定律。RTp3.定解条件1)初始条件初始条件就是初始时刻时，流体运动应满足的初始状态tt),,(),,,(1zyxftzyxu),,(),,,(2zyxftzyxv),,(),,,(3zyxftzyxw),,(),,,(4zyxftzyx),,(),,,(5zyxftzyxp其中f是给定的已知函数。对于定常运动，流场上各点的物理量都不随时间改变,就不须要也不能给出初始条件。2)边界条件边界条件指的是反映流体运动方程组的解在边界上应满足的条件。在流体动力学中，边界条件起着重要的作用。一般来说，边界及边界条件是多种多样的。在我们流体力学中，最常见的有：运动边界（海面）边界固定边界（侧海岸海底）0),,(0),,,(zyxFtzyxF）边界上流体的受力状态动力学边界条件（反映）边界上流体的运动状态运动学边界条件（反映边界条件(1)运动边界的运动学边界条件运动边界的方程为。特征：对于这种边界，可近似地认为：流体质点一旦在边界上，它就永远留在边界上而不离开（边界总是由相同的流体质点组成）。换言之：于边界上流体质点的法向速度与边界本身移动的法向速度相同。数学表示：0),,,(tzyxF0dtdF0zFwyFvxFutF0FVtF例对于海-气界面，即自由海面，是一个运动边界，其方程可写成：),,(tyxz0),,(),,,(tyxztzyxF),,,(,0)(tzyxzdtdzwyvxutdtdzdtdF自由海面的运动学边界条件可写成：),,,(,tzyxzyvxutw(2)固定边界的运动学条件固定边界的方程可写成:即边界不随时间而变。对于这种边界，有一个重要的客观现实：即流体不可能穿过边界(不考虑海水的渗透等)，即流体质点的法向速度应为零:(3)运动边界的动力学边界条件这个问题比较复杂，在此仅给出运动边界上的压力条件。在运动界面，如海-气界面，即自由海面上，流体压力等于大气压，即：(,,)0Fxyz0nV0),,,(ptyxp大气压例：一垂直折管ABC，管截面相同，在C点装有开关，管中充满不可压均质液体，求当C点开关打开后管内各点的压强分布及流体的运动规律。解：0,()1uuutydupgdty0,()1uuutxdupdtx初始条件：0,,000uyayt边界条件：00000,,ppybaxxppyy衔接条件：00xypp据垂直管及水平管的运动方程，分别对y及x积分便有：2;)(cxdtdupcydtdugp)(,)(002001ybadtdupcydtdugpc0000)())((pxybadtduppyydtdugp0000ydtduydtdyuybagdtdu0)(ybagty)cos()(BtbagAty0,BaAtbagatycos)(0xxyoABC0yAB=a,BC=b3.4运动方程的积分普遍定理1.动量定理在流场中取一控制体,将欧拉运动方程乘以后对体积积分，即：pddFddtVdpFdtVdpddFdVdtd表明，内的动量时变化率（实质微商）就等于质量力与表面力的总合。dVMdtMddVdtdssnndsVVdspndFtM利用连续方程，经一系列演算可得：动量定理可以叙述如下：作用在控制体内流体上的合外力加上单位时间内通过控制面流入的流体动量就等于控制体内的动量对时间的变化率。定常运动:忽略质量力：0tMssnndsVVdspndFssnndsVVdspnsn例不可压流体定常流过等截面弯管，管截面积为a，求流体作用于弯管上的力F解：已知进出口截面流动均匀，若弯管水平放置，则可忽略质量力（重力）。且已知在两截面上的速度、压强等分别为由于管子截面均匀，据连续方程可知因运动定常，所以动量定理可写成：VVV21ssnndsVVdspn其中取控制面如图：侧ssss21管子对流体的作用力于x、y方向的投影分别为：ypxppyx-便是流体对管子的作用力pFs11n2n1v2vcss2111222:,();,:,,cossin,sVpnisVpnij大气压强112121222122212222()()()(cossinnnnsssnnnnssssxynpdsnpdsnpdsppnpnpVVdsVVdsVVdsVVdsVnVnppipjpVnpnVnpVipVi侧22)()(1cos)()sinjpVipVj2020()(1cos)()sinxyppqppq2.能量定理用速度点乘运动方程:v然后对进行体积分，经一系列演算后可得：zdzv221式中T=1,dzF动能势能1()dTdt：体积内总动能与势能本械能在运动过程中的变化率；:ds.v:VsnnnnSSPdsPdspdspVds作用在面上的表面力表面力在ds上的功率表面力在上作的功率.zpVdz：体积膨胀时压力所作的功率单位时间内体积膨胀时压力所作的功率与表面压力所作功率之和就等于体积内总能量的随体变化率。对于不可压缩流体:SndspVTtdd)(1如流体边界为固体边界面,=0nV0)(1Ttdd1T=常数sn...dvvvFvpdt1()nzSdTpVdpVdsdt例用能量定律求直角管ABC中流体的运动规律解1.分析(1)C点打开后，于t时刻管内水柱如图，S=Syo+Sxo+Ss(2)y=yo,p=po;x=xo,p=po,xo=a+b–yo;t=0,yo=a,y’o=0(3)流体均质不可压，密度为常数，(4)管子截面相同，所以管内各处速度值相同。2.求解能量方程nSpVds0XoYoSnSnSndspVdspVdspV侧0)(1Ttdd2'0)(21aybaT201.2yga0)()(''00'00yaybaygayTdtd0''0ybagy=00cos(.)gyAtBab据初值确定A=a，B=0x00cos.gyAtabxyoABC0y1()nzSdTpVdpVdsdtAB=a,BC=b1,,dzFgkgz3.伯努利定理对于正压理想流体，若质量力有势，且运动定常，则对运动方程积分一次可导出伯努利方程（或伯努利积分、伯努利定理）:22qPconstq为流线（或涡线）上的速度项，，常数对流线（或涡线）成立。()dpPp证明：据场论知识，有：2.2vvvv2.2vvvv21.2dvvvvvvvFpdttt欧拉方程可变成：212vvvFpt兰姆-葛罗米柯方程因质量力有势，