第7章5-8节二阶微分方程

一阶微分方程内容回顾：1、可分离变量方程（主要步骤）(())fxdxgydy（1）分离变量:（2）两端积分:(())gyfxdxyd2、齐次方程()dyfdxyx（解题思路：通过变量代换转化成可分离变量型）,yux主要步骤：再分离变量21(1)2yxxy引例：求的通解解：分离变量，得2(d21)dyxxyx两端积分:2dd2(1)yxxyx2lnln(1)ln,yxC22d(1)(1)xx3、一阶线性微分方程.（1）一阶齐次线性方程.0)(yxPdxdy齐次方程的通解为()PxdxyCe2、一阶非齐次线性方程()(.)dyyxdxQPx非齐次线性方程的通解：)()([()]PxdxPxdxyeQxedxC((()))().PxdxPxdxPxdxyeQxedxCe对应齐次方程通解非齐次方程特解也可为第七章微分方程第五节可降阶的高阶微分方程教学内容：123重点与难点型的微分方程型的微分方程型的微分方程根据具体类型进行降阶1、型的微分方程对此类方程只需通过连续两次积分就可得到通解．1'cossinyxdxCx211(sin)cosyxCdxxCxC例1求方程的通解．xycos解因为，所以xycos)()(xfyn型的微分方程一、例2.解:21cosxyexdxC211sin2xexCxey241xey281xsin21xC23CCxxcos21CCx推广：)()(xfyn令,)1(nyz因此1d)(Cxxfz即同理可得2)2(dCxynxd依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.21CxC型的微分方程),(yxfy型的微分方程二、例3.求解yxyx2)1(2,10xy30xy解:代入方程得pxpx2)1(2分离变量积分得,ln)1(lnln12Cxp,30xy利用,31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10xy,12C得133xxy因此所求特解为三、),(yyfy型的微分方程令,ypddpypx则ddddpyyxddppy例4.求解解:()y代入方程得两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp即(一阶线性齐次方程)故所求通解为例5.解初值问题解:令02yey,00xy10xy(),dypdyxd,dpypy则代入方程得积分得1221221Cepy利用初始条件,,0100xyyp,01C得根据yepxydd积分得,2Cxey,00xy再由12C得故所求特解为xey1得在实际解高阶微分方程时，还可考虑一些配导数的技巧例6.求解解：方程的左边可写成故得：分离变量后积分,得原方程的通解可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令,)(xpy令,)(ypy内容小结思考：1.方程如何代换求解?答:令或一般说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.第六节高阶线性微分方程教学内容：123重点与难点理解线性方程解的结构二阶线性微分方程举例线性齐次方程解的结构线性非齐次方程解的结构一、二阶线性微分方程举例当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,xxo解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻t物位移为x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.据牛顿第二定律得,2mck,2mn令则得有阻尼自由振动方程:0dd2dd222xktxntx阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力作用，tpHFsin，令mhH则得强迫振动方程:tphxktxntxsindd2dd222求电容器两两极板间电压0ddiRCqtiLE例2.联组成的电路,其中R,L,C为常数,所满足的微分方程.cu提示:设电路中电流为i(t),∼~‖LERKCqqi上的电量为q(t),自感电动势为,LE由电学知根据回路电压定律:设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串极板在闭合回路中,所有支路上的电压降为0LCLR1,20令tLCEututumCCCsindd2dd2022串联电路的振荡方程:如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得0dd2dd2022CCCututu~‖LERKCqqi22ddtuCLCtuCRCddCutEmsin化为关于cu的方程:故有n阶线性微分方程的一般形式为方程的共性为二阶线性微分方程.例1例2,)()()(xfyxqyxpy—可归结为同一形式:)()()()(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn时,称为非齐次方程;0)(xf时,称为齐次方程.复习:一阶线性方程)()(xQyxPy通解:xexQexxPxxPd)(d)(d)(xxPeCyd)(非齐次方程特解齐次方程通解Yy0)(xf])[(11yCxP][)(11yCxQ0证毕二、线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()(yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边,得][11yC22yC22yC22yC])()([1111yxQyxPyC])()([2222yxQyxPyC(叠加原理))()(2211xyCxyCy则定理1.说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是)()(2211xyCxyCy则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使1221()()yxkyxk(无妨设)01k线性无关)()(21xyxy常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则)()(2211xyCxyCy数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)推论.是n阶齐次方程的n个线性无关解,则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y三、线性非齐次方程解的结构)(*xy设是二阶非齐次方程的一个特解,)(*)(xyxYyY(x)是相应齐次方程的通解,定理3.则是非齐次方程的通解.证:将)(*)(xyxYy代入方程①左端,得)*(yY)*()(yYxP))()((YxQYxPY)(0)(xfxf)*()(yYxQ②①)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,方程有特解xCxCYsincos21对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而②也是通解.定理4.分别是方程的特解,是方程),,2,1()()()(nkxfyxQyxPyk)()()(1xfyxQyxPynkk的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.定理5.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程)()(xyxY是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy的解,21,CC是任意;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCCD例3.提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)例4.已知微分方程)()()(xfyxqyxpy个解,,,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件3)0(,1)0(yy的特解.解:1312yyyy与是对应齐次方程的解,且xexeyyyyxx21312常数因而线性无关,故原方程通解为)()(221xeCxeCyxx代入初始条件,3)0(,1)0(yy,2,121CC得.22xxeey故所求特解为有三基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化第七节常系数齐次线性微分方程(叠加原理)1、的解的性质0ypyqy21,(())yxyx是0ypyqy的两个的解,若也是该方程的解.1212()()yCCyyxx则有2、的通解的结构0yyypq则)()(2211xyCxyCy是该方程的通解.21,(())yxyx是0ypyqy的两个线性无关的解,若3、如何求的通解？0yyypqrxye(r为待定常数),设有一特解：)()(2211xyCxyCy通解结构：21,(())yxyx其中是两个线性无关的解。代入原方程得2()0rxrprqe20rprq特征方程：其根称为特征根.21,242ppqr特征根：故可根据特征根寻求线性无关的特解，进而得通解。特征方程02r+pr+q=根的判别式特征方程02r+pr+q=的根微分方程0y+py+qy=的通解240pq21,242ppqr（相异实根）1212rxrxy=Ce+Ce240pq122prr（重根）112rxxy=C+Ce240pq1,2ri2422piqp（共轭复根）12(cossin)xyeCxCx),(0为常数qpyqypy结论:以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.例１求方程3100yyy的通解．解特征方程23100rr的两个根原方程的通解是122,5rr2512xxyCeCe（1C，2C为任意常数）例２求方程440yyy的通解.解特征方程2440rr有重根122rr原方程的通解是212()xyCCxe(1C，2C为任意常数)例3求方程250yyy的通解.解特征方程2250rr有共轭复根所以，原方程的通解为12(cos2sin2)xyecxcx112ri，212ri1、求方程的通解.答案::0a通解为xCCy21:0a通解为xaCxaCysincos21:0a通解为xaxaeCeCy212、求以为通解的微分方程。答案:思考与练习：第八节常系数非齐次线性微分方程1()()xmePxfx、型2[()cos()sin]()xlnePxxfPxxx、型()ypyfxqy),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程:1)线性非齐次方程解的结构)(*xy设是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是的通解,定理2.①一、二阶常系数非齐次线性微分方程()*()yYyxx则是非齐次方程的通解.证:将)(*)(xyxYy代入方程①左端,得)*(yY)*